吉水县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

吉水县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A ．1：2：3
B ．2：3：4
C ．3：2：4
D ．3：1：2
2． 函数y=f （x ）在[1，3]上单调递减，且函数f （x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（ ）
A ．f （2）＜f （π）＜f （5）
B ．f （π）＜f （2）＜f （5）
C ．f （2）＜f （5）＜f （π）
D ．f （5）＜
f （π）＜f （2）
3． 已知，，则“”是“”的（ ）
α[,]βππ∈-||||βα>βαβαcos cos ||||->-A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
4． 在等差数列中，，公差，为的前项和.若向量，，{}n a 11a =0d ≠n S {}n a n 13(,)m a a =133(,)n a a
=-且，则的最小值为（ ）
0m n ×=2163
n n S a ++A ． B ．
C ．
D ．
4329
2
【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在
n 考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．
5． 已知三棱锥A ﹣BCO ，OA 、OB 、OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M
在棱OA 上运动，另一个端点
N 在△BCO 内运动（含边界），则MN
的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）
A ．
B ．或36+
C ．36﹣
D ．或36﹣
6． 已知是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）22ai
Z i
+=+A ．-2
B ．1
C ．2
D ．3
7． 函数y=log 3|x ﹣1|的图象是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 下列正方体或四面体中，、、、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是P Q R S （
）
9． 若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．π
10．设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ．
11．已知函数f （x ）＝若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）
{log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1
)
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为
真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q
⌝∧二、填空题
13．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=，对任意的m ∈[﹣2，2]，f （mx ﹣3x x +2）+f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为_____．
14．在平面直角坐标系中，，，记，其中为坐标原点，
(1,1)=-a (1,2)=b {}
(,)|M OM λμλμΩ==+
a b O 给出结论如下：
①若，则；
(1,4)(,)λμ-∈Ω1λμ==②对平面任意一点，都存在使得；M ,λμ(,)M λμ∈Ω③若，则表示一条直线；1λ=(,)λμΩ④；
{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ= ⑤若，，且，则表示的一条线段且长度为
0λ≥0μ≥2λμ+=(,)λμΩ其中所有正确结论的序号是 ．
15．从等边三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+
，则这两个正方形的面积之和
的最小值为 ．
16．已知，则不等式的解集为________．
,0()1,0
x e x f x x ì³ï=í<ïî2
(2)(
)f x f x ->【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力．17．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=
，且|ω|=5
，则复数ω= ．
18．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ．
三、解答题
19．已知a ＞0，a ≠1，命题p ：“函数f （x ）=a x 在（0，+∞）上单调递减”，命题q ：“关于x 的不等式x 2﹣2ax+≥0对一切的x ∈R 恒成立”，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．
20．（本题满分15分）
正项数列满足，．
}{n a 12
12
23+++=+n n n n a a a a 11=a （1）证明：对任意的，；
*
N n ∈12+≤n n a a （2）记数列的前项和为，证明：对任意的，．
}{n a n n S *
N n ∈32121
<≤-
-n n S 【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.
21．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．（1）求∠BDA 的大小（2）求BC 的长．
22．已知集合A={x|a ﹣1＜x ＜2a+1}，B={x|0＜x ＜1}（1）若a=，求A ∩B ．
（2）若A ∩B=∅，求实数a 的取值范围．
23．已知函数f （x ）=|x ﹣10|+|x ﹣20|，且满足f （x ）＜10a+10（a ∈R ）的解集不是空集．（Ⅰ）求实数a 的取值集合A
（Ⅱ）若b ∈A ，a ≠b ，求证a a b b ＞a b b a ．
24．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点南偏西方向10海里的处有一艘海A 45
B 难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东，正以每小时9海里的速度向
75
一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；（2）若最短时间内两船在处相遇，如图，在中，求角的正弦值.
C ABC B
吉水县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，则圆柱、圆锥的底面半径也为R ，高为2R ，则球的体积V 球=圆柱的体积V 圆柱=2πR 3圆锥的体积V 圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR 3：：
=3：1：2
故选D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．　
2． 【答案】B
【解析】解：∵函数y=f （x ）在[1，3]上单调递减，且函数f （x+3）是偶函数，∴f （π）=f （6﹣π），f （5）=f （1），∵f （6﹣π）＜f （2）＜f （1），∴f （π）＜f （2）＜f （5）故选：B
【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．　
3． 【答案】A.
【解析】，设，，||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-()||cos f x x x =-[,]x ππ∈-显然是偶函数，且在上单调递增，故在上单调递减，∴，()f x [0,]π()f x [,0]π-()()||||f f αβαβ>⇔>故是充分必要条件，故选A.4． 【答案】A
【
解
析
】
5． 【答案】D
【解析】
【分析】由于长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），有空间想象能力可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，故MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．【解答】解：因为长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界）， 有空间想象能力可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：
或
．
故选D 6． 【答案】A 【解析】试题分析：
，对应点在第四象限，故，A 选项正确.()()()()2224(22)2225ai i ai a a i
i i i +-+++-==
++-40220a a +>⎧⎨-<⎩
考点：复数运算．7． 【答案】B
【解析】解：当x ﹣1≥0时，即x ≥1时，函数 y=log 3（x ﹣1），此时为增函数，当x ﹣1＜0时，即x ＞1时，函数 y=log 3（1﹣x ），此时为减函数，故选：B
【点评】本题考查了复合函数的单调性和函数图象的识别，属于基础题．
8． 【答案】D 【解析】
考点：平面的基本公理与推论．
9．【答案】B
【解析】解：根据几何体的三视图，得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体，
底面圆的半径为1，高为2，
所以该几何体的体积为V几何体=×π•12×2=．
故选：B．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目．
10．【答案】C
【解析】解：由于q=2，
∴
∴；
故选：C．
11．【答案】
【解析】选C.由题意得log2（a＋6）＋2log26＝9.
即log2（a＋6）＝3，
∴a＋6＝23＝8，∴a＝2，故选C.
12．【答案】D
【解析】
考点：命题的真假.
二、填空题
13．【答案】
2 2,
3⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
14．【答案】②③④
【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力．
由得，∴，①错误；(1,4)λμ+=-a b 124λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩21
λμ=⎧⎨=⎩与不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；a b 记，由得，∴点在过点与平行的直线上，③正确；
OA = a OM μ=+ a b AM μ= b M A b 由得，，∵与不共线，∴，∴，∴④2μλ+=+a b a b (1)(2)λμ-+-=0a b a b 12λμ=⎧⎨=⎩
2(1,5)μλ+=+=a b a b 正确；
设，则有，∴，∴且，∴表示的一(,)M x y 2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩21331133x y x y λμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩260x y -+=(,)λμΩ条线段且线段的两个端点分别为、，其长度为，∴⑤错误．
(2,4)(2,2)
-15．【答案】 ．
【解析】解：设大小正方形的边长分别为x ，y ，（x ，y ＞0）．则+x+y+=3+，
化为：x+y=3．
则x 2+y 2=，当且仅当x=y=时取等号．
∴这两个正方形的面积之和的最小值为．故答案为：．
16．
【答案】(-【解析】函数在递增，当时，，解得；当时，，()f x [0,)+¥0x <220x -
>0x -
<<0x ³22x x ->解得，综上所述，不等式的解集为．
01x £<2(2)()f x f x -
>(-17．【答案】　±（7﹣i ）　．
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），∵（1+3i ）z=（1+3i ）（a+bi ）=a ﹣3b+（3a+b ）i 为纯虚数，∴
．
又ω===，|ω|=，∴
．
把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±=±（7﹣i）．
故答案为±（7﹣i）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
18．【答案】　﹣2　．
【解析】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，
得，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：若p为真，则0＜a＜1；
若q为真，则△=4a2﹣1≤0，得，
又a＞0，a≠1，∴．
因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q中必有一个为真，且另一个为假．
①当p为真，q为假时，由；
②当p为假，q为真时，无解．
综上，a的取值范围是．
【点评】1．求解本题时，应注意大前提“a＞0，a≠1”，a的取值范围是在此条件下进行的．20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
21．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…=…
∴∠BDA=60°…
（2）∵AD⊥CD，
∴∠BDC=30°…
在△ABC中，由正弦定理得，…
∴．…
22．【答案】
【解析】解：（1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x＜1}
∴A∩B={x|0＜x＜1}
（2）若A∩B=∅
当A=∅时，有a﹣1≥2a+1
∴a≤﹣2
当A≠∅时，有
∴﹣2＜a≤或a≥2
综上可得，或a≥2
【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=∅时，要考虑集合A=∅的情况，体现了分类讨论思想的应用．
23．【答案】
【解析】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集，
则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，
根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，
即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10，
所以，10＜10a+10，解得a＞0，
所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）；
（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b，
∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，
则＞1恒成立，即＞1，
所以，a a﹣b＞b a﹣b，
将该不等式两边同时乘以a b b b得，
a a
b b＞a b b a，即证．
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．　
24．【答案】（1）
小时；（2
23
【解析】试
题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在处相遇.
C 在中，，，，.ABC ∆4575120BAC ∠=+=
10AB =9AC t =21BC t =由余弦定理得：，2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠A A
所以，2221
(21)10(9)2109()2
t t t =+-⨯⨯⨯-化简得，解得或（舍去）.2
369100t t --=23t =512
t =-所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时.23
（2）由，.2963AC =⨯=22114
3BC =⨯=在中，由正弦定理得
.ABC ∆sin 6sin120sin 14
AC BAC B BC
∠====
A A 所以角
B 考点：三角形的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示，再根据正弦定理和余弦定理，即,A
C BC 可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键．。