7.2.2探索平行线的性质-平行线模型(课件)七年级数学下册(苏科版)
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A．90° B．135° C．150° D．180°
【分析】 由鹰嘴模型可知：∠1=∠A+∠ABE， ∵∠ABE=180°-∠2， ∴∠1=∠A+180°-∠2， 即∠1-∠A+∠2=180°。
2种升级版本的平行线 模型
01 问题引入
Q1-1：如图， AB∥CD ，探究下图中∠B、∠P、∠E、∠C之间
∴CD∥EF，
∴∠3=∠4+∠2，
∴∠3=∠1+∠2。
鹰嘴模型1号
01 问题引入
Q3-2：如图， AB∥CD ，探究下图中∠1与∠2、∠3的关系。
解：如图，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥EF，
F 4
∴∠1+∠4=180°，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠3+∠2+∠4=180°，
∴∠1=∠2+∠3。
∠D之间的关系。
A
B P
解：如图，过点E作CD的平行线EM，
M
1E 2F
由铅笔模型可知：∠B+∠P+∠1=360°，C
Q D
由Q2-1中的铅笔模型可知：
铅笔模型升级版 -平行线之间4个拐点
∠2+∠F+∠Q+∠D=540°，
∴∠B+∠P+∠1+∠2+∠F+∠Q+∠D=900°，
即∠B+∠P+∠PEF+∠F+∠Q+∠D=900°。
A．100° B．120° C．140° D．90° 【分析】 子弹模型：∠B+∠C+∠D=360°
03 典例精析
例3、如图，AB∥CD，∠C=75°，∠E=35°，则∠A为（ C ）
A．90° B．35° C．40° D．75°
【分析】 鹰嘴模型：∠C=∠A+∠E
03 典例精析
例4、如图，已知FD∥BE，则∠1-∠A+∠2等于（ D ）
180(n+1)
(3)如图3，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=________°。 【分析】铅笔模型升级版：
角度和=180°·(n+1)
课后总结
【猪蹄模型】∠2=∠1+∠3； 【铅笔模型】∠1+∠2+∠3=360°。
【2个鹰嘴模型】 左图：∠3=∠1+∠2； 右图：∠1=∠2+∠3。
【锯齿模型】左角和=右角和； 【铅笔模型升级版】角度和=180°·(n+1)。
01 问题引入
Q2-3：通过以上三个铅笔模型图以及有关结论，你发现了什么？
A
BPA
2个拐点
Q
C
DC
B
A
P
3个拐点
E
Q
D
C
B P
4个拐点
E F
Q
D
∠B+∠P+∠Q+∠D
∠B+∠P+∠E+∠Q
∠B+∠P+∠E+∠F
=540°
+∠D=720°
+∠Q+∠D=900°
铅笔模型升级版的结论与两平行线之间的拐点数有关，若拐点数 为n，则结论为角度和=180°·(n+1)。
∠D之间的关系。
A
解：如图，过点E作AB的平行线EF，
由猪蹄模型可知：
C
F
P1 Q2
B E
D
∠P=∠B+∠1，∠Q=∠2+∠D，
∴∠P+∠Q=∠B+∠1+∠2+∠D， 即∠P+∠Q=∠B+∠PEQ+∠D。
锯齿模型-平行 线之间3个拐点
01 问题引入
Q1-3：如图， AB∥CD ，探究下图中∠B、∠P、∠E、∠Q、
【分析】 锯齿模型：左角和=右角和
03 典例精析
例2、从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问
题的解。
(1)如图1，AB∥CD，点E为AB、CD之间的一点，∠1+∠MEN+∠2=__3_6_0_°
；
(2)如图2，AB∥CD，点E、F、9G0、0 H为AB、CD之间的四点，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=________°；
B A
P C
D
【分析】图中也无“三线八角”模型，无法使用平行线的性质定理， 同样需要先画辅助线，且辅助线应为已知直线的平行线。
01 问题引入
Q2：如图， AB∥CD ，探究下图中∠P与∠B、∠D的关系。
解：如图，过点P作AB的平行线PQ， A
∵AB∥PQ，
Q
∴∠B+∠1=180°，
C
∵AB∥CD，∴PQ∥CD，
01 问题引入
Q1：如图， AB∥CD ，探究下图中∠P与∠B、∠D的关系。
解：如图，过点P作AB的平行线PQ， A
∵AB∥PQ，
Q
∴∠B=∠1，
C
∵AB∥CD，∴CD∥PQ，
B
1
P
2
D
∴∠D=∠2，
又∵∠P=∠1+∠2，
∴∠P=∠B+∠D。
猪蹄模型
01 问题引入
Q2：如图， AB∥CD ，探究下图中∠P与∠B、∠D的关系。
B
1
P
2
D
∴∠D+∠2=180°，
又∵∠P=∠1+∠2，
铅笔模型
∴∠P=180°-∠B+180°-∠D，即∠B+∠D+∠P=360°。
01 问题引入
Q3-1：如图， AB∥CD ，探究下图中∠1与∠2、∠3的关系。
解：如图，过点E作AB的平行线EF， F
4
∵AB∥EF，
∴∠1=∠4，
∵AB∥CD，
∠M、∠C之间的关系。
A
解：如图，过点E作AB的平行线EF，
由猪蹄模型可知：∠P=∠B+∠1， C
F
P1 Q2
B
E M D
由Q1-1中的锯齿模型可知：
∠Q+∠C=∠2+∠M，
∴∠P+∠Q+∠C=∠B+∠1+∠2+∠M， 锯齿模型-平行
即∠P+∠Q+∠C=∠B+∠PEQ+∠M。 线之间4个拐点
01 问题引入
鹰嘴模型2号
02 知识精讲
猪蹄模型与铅笔模型
【猪蹄模型】∠2=∠1+∠3； 【铅笔模型】∠1+∠2+∠3=360°。
02 知识精讲
2个鹰嘴模型
【2个鹰嘴模型】 左图：∠3=∠1+∠2；右图：∠1=∠2+∠3。
03 典例精析 例1、如图，直线a∥b，∠P=75°，∠2=30°，则∠1=___4_5_°___。
Q1-4：通过以上三个锯齿模型图以及有关结论，你发现了什么？
A
B
A
B
A
B
P E
P E
P E
Q
Q
M
C
DC
DC
D
∠P+∠C=∠B+∠E
∠P+∠Q=∠B+∠E+∠D ∠P+∠Q+∠C=∠B+∠E+∠M
锯齿模型是猪蹄模型的升级版，无论两平行线之间有几个拐点， 其结论都为左角和=右角和。
01 问题引入
Q2-1：如图， AB∥CD ，探究下图中∠B、∠P、∠Q、∠D之间
的关系。
A
B
解：如图，过点E作AB的平行线EF，
F
P1 2
E
∵AB∥CD ，AB∥EF，
C
D
∴CD∥EF，∴∠C=∠2，
由猪蹄模型可知：∠P=∠B+∠1，
∴∠P+∠C=∠B+∠1+∠2， 即∠P+∠C=∠B+∠PEC。
锯齿模型-平行 线之间2个拐点
01 问题引入
Q1-2：如图， AB∥CD ，探究下图中∠B、∠P、∠E、∠Q、
02 知识精讲 【锯齿模型】左角和=右角和。
锯齿模型
02 知识精讲
铅笔模型升级版
【铅笔模型升级版】角度和=180°·(n+1)。
03 典例精析
例1、如图，AB∥EF，∠C=90°，则α、β和γ的关系是（ C ）
A．β=α+γ B．α+β+γ=180° C．α+β-γ=90° D．β+γ-α=180°
教学目标
01 掌握3种基本的平行线模型，并熟练应用于角度计算 02 掌握2种升级版的平行线模型，并熟练应用于角度计算
3种基本的平行线 模型
01 问题引入
Q1：如图， AB∥CD ，探究下图中∠P与∠B、∠D的关系。
A
B
P
C
D
【分析】图中无“三线八角”模型，无法使用平行线的性质定理，
需要先画辅助线，且辅助线应为已知直线的平行线。
【分析】 猪蹄模型：∠P=∠1+∠2
03 典例精析
例2、如图是中国机器人创意设计大赛中一参赛队员设计的机器 人比赛时行走的路径；机器人从A点出发，到达B点，第一次拐的 ∠B是140°，第二次拐的∠C是100°，第三次拐的角是∠D，这时 机器人行走的路径恰好和出发时行走的路径平行，那么∠D的度
数是（ B ）
∠D之间的关系。
A
解：如图，过点E作CD的平行线EF， F
B
P
1E 2Q
由铅笔模型可知：CD∠B+∠P+∠1=360°，
铅笔模型升级版 -平行线之间3个拐点
∠2+∠Q+∠D=360°，
∴∠B+∠P+∠1+∠2+∠Q+∠D=720°，
即∠B+∠P+∠PEQ+∠Q+∠D=720°。
01 问题引入
Q2-3：如图， AB∥CD ，探究下图中∠B、∠P、∠E、∠F、∠Q、
的关系。
A
B
P
解：如图，过点Q作CD的平行线QF， F
∵CD∥QF，
C
1
Q
2
D
∴∠2+∠D=180°，
铅笔模型升级版 -平行线之间2个拐点
由铅笔模型可知：∠B+∠P+∠1=360°，
∴∠B+∠P+∠1+∠2+∠D=540°，
即∠B+∠P+∠PQD+∠D=540°。
01 问题引入
Q2-2：如图， AB∥CD ，探究下图中∠B、∠P、∠E、∠Q、
【分析】 由鹰嘴模型可知：∠1=∠A+∠ABE， ∵∠ABE=180°-∠2， ∴∠1=∠A+180°-∠2， 即∠1-∠A+∠2=180°。
2种升级版本的平行线 模型
01 问题引入
Q1-1：如图， AB∥CD ，探究下图中∠B、∠P、∠E、∠C之间
∴CD∥EF，
∴∠3=∠4+∠2，
∴∠3=∠1+∠2。
鹰嘴模型1号
01 问题引入
Q3-2：如图， AB∥CD ，探究下图中∠1与∠2、∠3的关系。
解：如图，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥EF，
F 4
∴∠1+∠4=180°，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠3+∠2+∠4=180°，
∴∠1=∠2+∠3。
∠D之间的关系。
A
B P
解：如图，过点E作CD的平行线EM，
M
1E 2F
由铅笔模型可知：∠B+∠P+∠1=360°，C
Q D
由Q2-1中的铅笔模型可知：
铅笔模型升级版 -平行线之间4个拐点
∠2+∠F+∠Q+∠D=540°，
∴∠B+∠P+∠1+∠2+∠F+∠Q+∠D=900°，
即∠B+∠P+∠PEF+∠F+∠Q+∠D=900°。
A．100° B．120° C．140° D．90° 【分析】 子弹模型：∠B+∠C+∠D=360°
03 典例精析
例3、如图，AB∥CD，∠C=75°，∠E=35°，则∠A为（ C ）
A．90° B．35° C．40° D．75°
【分析】 鹰嘴模型：∠C=∠A+∠E
03 典例精析
例4、如图，已知FD∥BE，则∠1-∠A+∠2等于（ D ）
180(n+1)
(3)如图3，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=________°。 【分析】铅笔模型升级版：
角度和=180°·(n+1)
课后总结
【猪蹄模型】∠2=∠1+∠3； 【铅笔模型】∠1+∠2+∠3=360°。
【2个鹰嘴模型】 左图：∠3=∠1+∠2； 右图：∠1=∠2+∠3。
【锯齿模型】左角和=右角和； 【铅笔模型升级版】角度和=180°·(n+1)。
01 问题引入
Q2-3：通过以上三个铅笔模型图以及有关结论，你发现了什么？
A
BPA
2个拐点
Q
C
DC
B
A
P
3个拐点
E
Q
D
C
B P
4个拐点
E F
Q
D
∠B+∠P+∠Q+∠D
∠B+∠P+∠E+∠Q
∠B+∠P+∠E+∠F
=540°
+∠D=720°
+∠Q+∠D=900°
铅笔模型升级版的结论与两平行线之间的拐点数有关，若拐点数 为n，则结论为角度和=180°·(n+1)。
∠D之间的关系。
A
解：如图，过点E作AB的平行线EF，
由猪蹄模型可知：
C
F
P1 Q2
B E
D
∠P=∠B+∠1，∠Q=∠2+∠D，
∴∠P+∠Q=∠B+∠1+∠2+∠D， 即∠P+∠Q=∠B+∠PEQ+∠D。
锯齿模型-平行 线之间3个拐点
01 问题引入
Q1-3：如图， AB∥CD ，探究下图中∠B、∠P、∠E、∠Q、
【分析】 锯齿模型：左角和=右角和
03 典例精析
例2、从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问
题的解。
(1)如图1，AB∥CD，点E为AB、CD之间的一点，∠1+∠MEN+∠2=__3_6_0_°
；
(2)如图2，AB∥CD，点E、F、9G0、0 H为AB、CD之间的四点，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=________°；
B A
P C
D
【分析】图中也无“三线八角”模型，无法使用平行线的性质定理， 同样需要先画辅助线，且辅助线应为已知直线的平行线。
01 问题引入
Q2：如图， AB∥CD ，探究下图中∠P与∠B、∠D的关系。
解：如图，过点P作AB的平行线PQ， A
∵AB∥PQ，
Q
∴∠B+∠1=180°，
C
∵AB∥CD，∴PQ∥CD，
01 问题引入
Q1：如图， AB∥CD ，探究下图中∠P与∠B、∠D的关系。
解：如图，过点P作AB的平行线PQ， A
∵AB∥PQ，
Q
∴∠B=∠1，
C
∵AB∥CD，∴CD∥PQ，
B
1
P
2
D
∴∠D=∠2，
又∵∠P=∠1+∠2，
∴∠P=∠B+∠D。
猪蹄模型
01 问题引入
Q2：如图， AB∥CD ，探究下图中∠P与∠B、∠D的关系。
B
1
P
2
D
∴∠D+∠2=180°，
又∵∠P=∠1+∠2，
铅笔模型
∴∠P=180°-∠B+180°-∠D，即∠B+∠D+∠P=360°。
01 问题引入
Q3-1：如图， AB∥CD ，探究下图中∠1与∠2、∠3的关系。
解：如图，过点E作AB的平行线EF， F
4
∵AB∥EF，
∴∠1=∠4，
∵AB∥CD，
∠M、∠C之间的关系。
A
解：如图，过点E作AB的平行线EF，
由猪蹄模型可知：∠P=∠B+∠1， C
F
P1 Q2
B
E M D
由Q1-1中的锯齿模型可知：
∠Q+∠C=∠2+∠M，
∴∠P+∠Q+∠C=∠B+∠1+∠2+∠M， 锯齿模型-平行
即∠P+∠Q+∠C=∠B+∠PEQ+∠M。 线之间4个拐点
01 问题引入
鹰嘴模型2号
02 知识精讲
猪蹄模型与铅笔模型
【猪蹄模型】∠2=∠1+∠3； 【铅笔模型】∠1+∠2+∠3=360°。
02 知识精讲
2个鹰嘴模型
【2个鹰嘴模型】 左图：∠3=∠1+∠2；右图：∠1=∠2+∠3。
03 典例精析 例1、如图，直线a∥b，∠P=75°，∠2=30°，则∠1=___4_5_°___。
Q1-4：通过以上三个锯齿模型图以及有关结论，你发现了什么？
A
B
A
B
A
B
P E
P E
P E
Q
Q
M
C
DC
DC
D
∠P+∠C=∠B+∠E
∠P+∠Q=∠B+∠E+∠D ∠P+∠Q+∠C=∠B+∠E+∠M
锯齿模型是猪蹄模型的升级版，无论两平行线之间有几个拐点， 其结论都为左角和=右角和。
01 问题引入
Q2-1：如图， AB∥CD ，探究下图中∠B、∠P、∠Q、∠D之间
的关系。
A
B
解：如图，过点E作AB的平行线EF，
F
P1 2
E
∵AB∥CD ，AB∥EF，
C
D
∴CD∥EF，∴∠C=∠2，
由猪蹄模型可知：∠P=∠B+∠1，
∴∠P+∠C=∠B+∠1+∠2， 即∠P+∠C=∠B+∠PEC。
锯齿模型-平行 线之间2个拐点
01 问题引入
Q1-2：如图， AB∥CD ，探究下图中∠B、∠P、∠E、∠Q、
02 知识精讲 【锯齿模型】左角和=右角和。
锯齿模型
02 知识精讲
铅笔模型升级版
【铅笔模型升级版】角度和=180°·(n+1)。
03 典例精析
例1、如图，AB∥EF，∠C=90°，则α、β和γ的关系是（ C ）
A．β=α+γ B．α+β+γ=180° C．α+β-γ=90° D．β+γ-α=180°
教学目标
01 掌握3种基本的平行线模型，并熟练应用于角度计算 02 掌握2种升级版的平行线模型，并熟练应用于角度计算
3种基本的平行线 模型
01 问题引入
Q1：如图， AB∥CD ，探究下图中∠P与∠B、∠D的关系。
A
B
P
C
D
【分析】图中无“三线八角”模型，无法使用平行线的性质定理，
需要先画辅助线，且辅助线应为已知直线的平行线。
【分析】 猪蹄模型：∠P=∠1+∠2
03 典例精析
例2、如图是中国机器人创意设计大赛中一参赛队员设计的机器 人比赛时行走的路径；机器人从A点出发，到达B点，第一次拐的 ∠B是140°，第二次拐的∠C是100°，第三次拐的角是∠D，这时 机器人行走的路径恰好和出发时行走的路径平行，那么∠D的度
数是（ B ）
∠D之间的关系。
A
解：如图，过点E作CD的平行线EF， F
B
P
1E 2Q
由铅笔模型可知：CD∠B+∠P+∠1=360°，
铅笔模型升级版 -平行线之间3个拐点
∠2+∠Q+∠D=360°，
∴∠B+∠P+∠1+∠2+∠Q+∠D=720°，
即∠B+∠P+∠PEQ+∠Q+∠D=720°。
01 问题引入
Q2-3：如图， AB∥CD ，探究下图中∠B、∠P、∠E、∠F、∠Q、
的关系。
A
B
P
解：如图，过点Q作CD的平行线QF， F
∵CD∥QF，
C
1
Q
2
D
∴∠2+∠D=180°，
铅笔模型升级版 -平行线之间2个拐点
由铅笔模型可知：∠B+∠P+∠1=360°，
∴∠B+∠P+∠1+∠2+∠D=540°，
即∠B+∠P+∠PQD+∠D=540°。
01 问题引入
Q2-2：如图， AB∥CD ，探究下图中∠B、∠P、∠E、∠Q、