反比例函数复习小结教案

第十七章 反比例函数
第4课时 反比例函数概念 反比例函数图像
函数知识是初中数学的核心内容，本课内容是本学期《反比例函数》的第一、二课时，在同学们学会一次函数之后，接触的另一类新函数，它位居初中阶段三大函数的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，又为以后更高次函数的学习奠定了基础。

所以本节内容有着举足轻重的地位。

理解反比例函数的实际意义，体会反比例函数的不同表示方法，会判断反比例函数，会用待定系数法确定反比例函数的解析式 ，会画出反比例函数图像。

在学生学习了用描点法画函数图象的基础上，学习画反比例函数的图象，其中列表取值很关键。

反比例函数 （k ≠0）自变量的取值范围是x ≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。

连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。

点击一：反比例函数的概念
1．定义：一般地，形如
k
y x
=
（k 是常数，0k ≠）的函数为反比例函数．其中自变量x 的取值范围是不等于零的实数． 注意：（1）要能理解反比例函数所表示两个变量的乘积是一个常数； （2）在k
y x
=中，自变量x 的取值范围是不等于零的实数，且0k ≠；
（3）k
y x
=
的表达形式常写成1y kx -=的形式便于应用． 针对练习1:
1.当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.以上均不正确
2.如果y =1
22
-+k k
kx 是反比例函数,k 的值为（ ）
A.k =0；
B.k =－
21；C.k =0或k =－21；D.k =0且k =－2
1 3.已知y 与x 成反比例,并且当x =－1时,y =2,那么该函数的解析式为（ ）
A.y =－2x ；
B.y =－21x ；
C.y =x
2
- ；D.y =21x
4.下列函数中，哪些表示y 是x 的反比例函数？
(1)y =43x ；(2)y =x
21；(3)xy =6；(4)3x +y =0；(5)x －2y =1；(6)3xy +2=0.
5.判断下列两个变量是否成比例？如果成比例，是成正比例，还是成反比例？
（1）人的身高y （厘米）与他的年龄x （岁）的关系； （2）圆的面积S （cm 2
）与它的半径R(cm)的关系；
（3）等腰三角形的顶角y 与底角x 的关系；
（4）某人每分钟走200米，则她从家到学校用的时间t(分)与她行走的速度v （米／分）的关系． 6.近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (米)成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0.25米，则眼镜度
数y 与焦距x 之间的函数关系式是_____________.
7.在下列各问题中，函数关系式是一次函数的有 个，是正比例函数的有 个，是反比例函数的有 个．
（1）正方形的面积S 与边长x 的函数关系；
（2）面积为常数m 的三角形一边长为y 与这条边上的高x 之间的函数关系；
（3）一本500页的书，每天看15页，x 天后尚未看完的页数y 与天数x 之间的函数关系； （4）一年期的存款利率为a ，带期后的利息y （元）与存入的金额x （元）之间的关系． 8.写出下列函数关系式：
（1）一个矩形面积是20 cm 2
，相邻两边长分别为xcm 和ycm ，那么变量y 是x 的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
（2）某村有耕地360公顷，人口数n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m （公顷／人）是全村人口数n 的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
（3）北京到上海skm ，一列火车从北京到上海，所用时间t(h)与速度v(km ／h)之间的关系是函数关系吗？是反比例函数吗？为什么？
9.已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与2
x 成反比例，且x=2时，y=0；x=-1时，142
y =， 求y 与之间的x 函数关系式．
10.已知某电路两端电压不变，当R=12.5Ω时，I=0.2A ， 求：（1）I 与R 的函数关系式； （2）当R=5Ω时，求电流强度I ； （3）当I=2A 时，求电阻R ．
11.如图1，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，P 是BC 边 上与B 、C 两点不重合的任意一点，设PA=x ，D 点到PA 的距离为y ，求y 与x 之间的函数关系式是 ，自 变量x 的取值范围是 ． 答案：
1、B ；
2、B ；
3、C ；
4、解:(1)y =43x 不是反比例函数.(2)∵y =x
21
,∴xy =21.∴y =x 21
,是反比例函数.
(3)∵xy =6,∴y =
x
6
,是反比例函数.(4)∵3x +y =0,∴y =－3x ,不是反比例函数. (5)∵x －2y =1,∴2y =x －1.∴y =21
x －1,不是反比例函数.
(6)∵3xy +2=0,∴xy =－3
2
.∴y =x 32-
,是反比例函数.
5、（1）（2）（3）不成比例；（4）成比例．
6、解:∵y 与x 成反比例，∴y =
x k ,将x =0.25，y =400代入y =x
k
,得 400=25.0k ,∴k =100.∴y =x 100,即y 与x 之间的函数关系式是y =x
100.
7、（1）2
s x =，它不是正比例函数，也不是一次函数，也不是反比例函数；
图1
（2）2m
y x
=
是反比例函数；（3）y=500-15x 是一次函数 （4）y=ax 是正比例函数，也是一次函数．所以，应该填2，1，1．
8、（1）是，是，因为20y x =
；（2）是，是，因为360m n =；（3）是，是，因为s t v
=（s 是常数，s≠0）． 9、由1y 与x 成正比例，所以可设1y =k 1x ，由2y 与2
x 成反比例，所以可设22k y x
=，又由于12y y y =+，
所以，21k y k x x =+，x=2时，y=0；x=-1时，1
42
y =，所以有
2112
202
142
k k k k ⎧
+=⎪⎪⎨
⎪--=⎪⎩，解得12326k k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以y 与之间的x 函数关系式为362y x x =-． 10、（1）由U I R =
，可得U=IU=12.5×0.2=2.5，所以 2.5
I R
=； （2）当R=5Ω时，电流强度I=2.50.55=（A ）；（3）当I=2A 时，电阻R 2.5
1.252
=（Ω）． 11、过D 点作DE⊥PA，垂足为E ，所以△ABP∽△DEA，所以可以得到y=x
6
．当P 与B 重合时，PA=BA=2，
即x=2；当P 与C 重合时，PA=CA=13，即x=13， 所以自变量的取值范围为2＜x ＜13．
点击二：反比例函数的图象
反比例函数图象的画法是描点法，其步骤是：
1．列表：自变量的取值应以O 为中心，沿0的两边取三对以上相反数，分别计算y 的值； 2．描点：先画出一侧，另一侧根据关于原点的对称性去找．
3．连线，按从左到右的顺序连接各点，图象的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不能与坐标轴相交．
4．在图象上注明函数的关系式．
注意：（1）在连线过程中，应从x 由大到小的顺序用平滑的曲线连接． （2）不能把图象画成与坐标轴相交． 针对练习2：
1.在下列函数中，当x 增大时，y 反而减小的函数是（ ）
A.y =
31
x ；B.y =－x 4；C.y =2x ；D.y =x
3 2.已知反比例函数y =x
k
(k ≠0)的图象过点(－2，1)，则它的图象所在的象限是（ ）
A.一、三；
B.三、四；
C.二、四；
D.一、二
3.已知点(x 1,－1)、(x 2,－
4
25
)、(x 3,－25)在函数y =－x 1的图象上，则下列关系式正确的是（ ）
A.x 1<x 2<x 3；
B.x 1>x 2>x 3；
C.x 1>x 3>x 2；
D.x 1<x 3<x 2
4.已知y 与x 成反比例，当x =3时，y =4,那么当y =3时，x =_____________.
5.已知双曲线1
1k y x
=
与直线22y k x =都过点（-2，1），求两个函数解析式，双曲线与直线是否还有其它交点，若有求出这个交点的坐标，若没有请说明情况 6.已知反比例函数y=
x
k
2和一次函数y=2x-1,其中一次函数的图象经过(a,b)、(a+1,b+k)两点.(1)求反比例函数的解析式;
(2)如图2,已知点A 在第一象限,且同时在上述两个图象上,求A 点坐标； (3)利用(2)的结果,请问:在x 轴上是否存在点P,使△AOP 为等腰三角形? 若存在,把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在,请说明理由.
7.如图3,直线b x y +-=（b ＞0）与双曲线x
k
y =
（k ＞0）在第一象限的一支相交于A 、B 两点，与坐标轴交于C 、D 两点，P 是双曲线上一点，且PD PO =．
（1）试用k 、b 表示C 、P 两点的坐标；
（2）若△POD 的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式； （3）若△OAB 的面积等于34，试求△COA 与△BOD 的面积之和． 8.两个反比例函数x
y 3=
，x y 6=在第一象限内的图象如图4所示, 点P 1，P 2，P 3，…，P 2 005在反比例函数x y 6=
图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2 005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2 005个连续奇数，
过点P 1， P 2，P 3，…，P 2 005分别作y 轴的平行线，与x
y 3
=的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），
Q 3（x 3，y 3），…，Q 2 005（x 2 005，y 2 005），则y 2 005= ．
答案：
1、D ；
2、C ；
3、B ；
4、4；
5、两交点的坐标为（2，-1）和（-2，1）；
6、(1)由条件可得b=2a-1,b+k=2(a+1)-1,解得k=2.因此所求的反比例函数解析式为y=
x
1. (2)由y=
x 1,y=2x-1, 得x 1=1,x 2=-2
1
(舍去).从而y=1,所以点A 的坐标为(1,1). (3)若符合条件的点P 存在,①A=2211+=2,OA 与x 轴所夹的锐角为45°. ②若OA 为底,则由∠AOP 1=45°,OA=2,OP 1=P 1A,得OP 1=1,所以点P 1的坐标为(1,0). ③若OA 为腰,AP 为底,则由OP=OA,得P 2(-2,0),P3(2,0). ④若OA 为腰,OP 为底,则由AO=AP=2,得OP=2.所以P 4(2,0).
图2
图4 图 3
因此,这样的点有4个,分别是(1,0),(-2,0),(2,0),(2,0). 7、（1）C （0，b ），D （b ，0），∵PO＝PD ，∴22b OD x P ==，b k y P 2=，∴P（2b ，b
k
2） （2）∵1=∆POD
S ，有1221=⋅
⋅b k b ，化简得：k ＝1∴x
y 1
=（x ＞0） （3）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），由AO B CO D BO D CO A S S S S ∆∆∆∆-=+得：
342
1
2121221-=+b by bx ，又b x y +-=22得38)(221-=+-+b b x b bx ，即38)(12=-x x b 得[
]
1924)(212
212
=-+x x x x b ，再由⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=x y b
x y 1
得012
=+-bx x ，从而b x x =+21，121=x x ，从而推出0)12)(4)(4(2=++-b b b ，所以4=b ．故348-=+∆∆BO D CO A S S ． 8、2005y =
2
4009
． 点击三：用待定系数法来确定反比例函数的解析式：
由于反比例函数k
y x
=
中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x 、y 值，或已知其图象上一个点的坐标即可求出k ，进而确定反比例函数的表达式．
点击四：正确理解反比例函数表达式中k 的几何意义：
如图1，过双曲线k
y x
=上任意一点P(x ,y)作x 轴，y 轴的垂线PM 、PN ，所得矩形PMON 的面积S=PM •PN=|x |•|y|,而k
y x
=，所以x y=k ，所以S=|x y|=|k|．即过双曲线上用意一点作x 轴，y 轴的垂线所得矩形的面积为|k|．
点击五：函数图像
一次函数和反比例函数是两类重要的函数，也是考试的热点内容．在各类考试中，常常出现两类函数的图象融合在一起的题目
针对练习：１．（2007 福建龙岩市）函数y x m =+与(0)m
y m x
=
≠在同一坐标系内的图象可以是（ ）．
x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O
2． 函数1y kx =+与函数k
y x
=在同一坐标系中的大致图象是下图中的 （ ）
3．正比例函数kx y 2=与反比例函数x
k y 1
-=在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
答案：
１．Ｂ； ２．Ａ； 3．Ｄ．
类型之一：反比例函数的意义
例1 若函数y=（m 2
-1）x
235
m m +-为反比例函数，则m=________．
【解析】在反比例函数y=k x
中，其解析式也可以写为y=k ·x -1，故需满足两点，一是m 2
-1≠0，二是3m 2
+m-5=-1 【点评】函数y=
k
x
为反比例函数，需满足k ≠0，且x 的指数是-1，两者缺一不可． 答案：m=
43
- 类型之二：反比例函数图象
例2 已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）是反比例函数y=•的图象上的三点，且x 1<x 2<0<x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A ．y 3<y 2<y 1
B ．y 1<y 2<y 3
C ．y 2<y 1<y 3
D ．y 2<y 3<y 1 【解析】反比例函数y=
2
x
的图象是双曲线、由k=2>0•知双曲线两个分支分别位于第一、三象限内，且在每一个象限内，y 的值随着x 值的增大而减小，点P 1，P 2，P 3•的横坐标均为负数，故点P 1，P 2均在第三象限内，而P 3的第一象限．故y>0．•此题也可以将P ，P ，P 三点的横坐标取特殊值分别代入y=2
x
中，求出y 1，y 2，y 3的值，再比较大小．
x
y O B ． x
y
O D ．
O x
y
C ．
x
y O A ． x y
x y
x y
x
y
Ａ
Ｄ
Ｃ Ｂ
答案：C
例3 如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=
m
x
图象交于A （-2，1），B （1，
n ）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
【解析】（1）求反比例函数解析式需要求出m 的值．把A （-2，1）代入y=m x
中便
可求出m=-2．把B （1，n ）代入y=
2
x
-中得n=-2．由待定系数法不难求出一次函数解析式．（2）认真观察图象，结合图象性质，便可求出x 的取值范围． 答案：（1）y=-
2
x
，y=-x-1 （2）x<-2或0<x<1 类型之三：确定函数关系式
例1 已知函数43m y mx +=是反比例函数，试求出m 的值，并写出函数关系式． 解析：此类问题，一般采用反比例函数的另一种表达方式)0(1≠=-k kx y 来列式求解． 由题意得：m+4=－1，解得m =－5．将m 值代入得函数关系式15y x
=-
． 例2 已知反比例函数的图象经过点（－3，4），则此函数关系式是 ． 解析：将点（－3，4）代入x
k y =
，得k =－12，所以此函数关系式为.12x y -=
例3 如图（1）所示的函数图象的关系式可能是 （ ）． A ． y =x B ． y x 1=
C ． y =x 2
D ． y =|
|1x 解析：由图象知，x ＞0或x ＜0时，y ＞0，只有D 符合，故选D ．
例4 一个反比例函数在第三象限的图象如图（2），若A 是图象上任意一点，AM ⊥x 轴于M ，O 是原点，
如果△AOM 的面积是5，求这个反比例函数的解析式．
解析：此题除了利用△AOM 的面积等于||2
1
k 外，还要用双曲线的 位置确定k 的符号．因为
||2
1k =5，所以|k |=10，又因为双曲线在第三
象限，所以k ＞0，所以k =10．所以x
y 10=．
例5 正比例函数y =x 的图象与反比例函数x
k
y =的图象有一个交点的纵坐标是2， 求反比例函数的
解析式．
解析：由题意将y =2代入y =x 中求出x =2，得出交点（2，2），将（2，2）代入x
k
y =得k =4，所以反比例函数解析式为x
y 4=
． 类型之四：函数图像
A
x y
图（2） O M
例１（2007滨州市）如图1，点P 为反比例函数2
y x
=上的一动点，作PD x ⊥轴于点D ，POD △的面积为k ，则函数1y kx =-的图象为（ ）
析解：设P 点坐标为（b a ,），因为P 点在反比例函数2
y x
=图象上，所以a b ＝2，又因为P 点在第一象限，所以POD △的面积为k ＝
2
1
a b ＝１，则一次函数的解析式为ｙ＝ｘ－１，它的图象与两坐标轴的交点分别是（１，０）和（０，－１），应选（A ）．
例2（2007深圳市）在同一直角坐标系中，函数(0)k
y k x
=
≠与(0)y kx k k =+≠的图象大致是（ ）
解析：在同一坐标系中，同时确定一次函数与反比例函数的图象，解答这类问题一般 使用排除法，对每一个选项进行讨论．先根据选项中其中一个函数图象的位置特点确定k 的符号，再根据k 的符号确定另一个函数图象的位置．在选项（Ａ）与（Ｃ）中，由反比例函数的图象知k ＞０，则一次函数(0)y kx k k =+≠的图象应当过第一、二、三象限，（Ａ）中的一次函数图象不合题意，（Ｃ）中的一次函数图象符合题意；在选项（Ｂ）与（Ｄ）中
由反比例函数的图象知k ＜０，则一次函数(0)y kx k k =+≠的图象应当过第二、三、四象限，但（Ｂ）与（Ｄ）中的一次函数图象都不符合题意．故答案选（Ｃ）．
类型之五：“点”在反比例函数的图象上
所谓点在反比例函数的图象上，也就是反比例函数的图象经过该点，则该点的坐标一定满足其解析式．
例1在ABC △的三个顶点(23)(45)(32)A B C ----，
，，，，中，可能在反比例函数(0)k
y k x
=>的图象上的点是 ．
解析：由反比例函数k
y x
=知，k xy =．∵0k >，∴若点(,)x y 在该函数的图象上，需横坐标与纵坐标同号．则只有点B 满足．
图1 x y
P
0 D A ． x y
0 1 1-
B ． x
y 0
1 1- C ．
x y
1
1 D ．
x
y
1-
1-
Ａ． x y Ｂ． x y Ｃ． x y Ｄ． x y
例2下列函数中，图象经过点(11)-，的反比例函数解析式是（ ）
（A ）1
y x
=
（B ）1y x
-=
（C ）2y x
=
（D ）2y x
-=
解析：设该函数解析式为k y x =
，由题可得k xy ==－1，∴该反比例函数解析式为1
y x
-=，应选（B ）． 例3已知反比例函数的图象经过点（3，2）和（m ，－2），则m 的值是＿＿． 解析：解答本题应先求函数解析式．由题可得6k =，∴该函数的解析式为6
y x
=．把（m ，－2）代入6y x =
，得6
2m
-=，3m =- 例4反比例函数6
y x
=-图象上一个点的坐标是 ．
解析：本题是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足条件6xy =-的任一点()x y ，均可． 例5若反比例函数1
y x
=-
的图象上有两点1(1)A y ，，2(2)B y ，，则1y ______2y （填“>”或“=”或“<”）．
解析：本题考查反比例函数图象的性质。

∵10k =-<，∴反比例函数1
y x
=-
的图象的两个分支在第二、第四两个象限，在每个象限内y 的值随x 值的增大而增大．又∵0<1<2，∴1y <2y ．
点评：在利用函数性质比较x 值或y 值大小时，不仅要注意已知值的大小，更要看准考查点是否位于同一象限内．
1．已知反比例函数2
y x
=
，则这个函数的图象一定经过（ ） （A ）(2，1) （B ）(2，-1) （C ）(2，4) （D ）(-
1
2
，2) 2．若点（－3，－4）是反比例函数249
m m y x
--=图象上的一点，则此函数图形必经过点（ ）
（A ）（2，6） （B ）（2，－6） （C ）（4，－3） （D ）（3，－4） 3．如图，双曲线y=
8
x
的一个分支为（ ）
（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④
4．如右图是三个反比例函数x k
y 1=，x k y 2=，x k y 3=在x 轴上方的图象，由此观察得到1k 、2k 、3k 的大
小关系为（ ）
y
k k
y 3=
（A ） 321k k k >>（B ）123k k k >> （C ） 132k k k >>（D ） 213k k k >>
5．已知120k k <<，则函数1y k x =和2
k y x
=
的图象大致是（ ）
6．已知y 与x 成反比例，并且当x ＝2时，y ＝－1，则当y ＝2
1
时x 的值是____．
7．反比例函数6
y x
=-图象上一个点的坐标是 ．
8．反比例函数2
k y x =的图象的两个分支分别位于 象限．
9．如图，1l 是反比例函数k
y x
=
在第一象限内的图象，且过点2(21)A l ，，与1l 关于x 轴对称，那么图象2l 的函数解析式为 （0x >）．
10．如图所示，A 、C 是函数y=x
k
图像上任意两点，过A 作x 轴
垂
线，垂足为B ，过C 点作y 轴的垂线，垂足为D ，且Rt △AOB ，Rt △
OCD 的面积分别记为 S 1和S 2，则S 1 S 2 (比较大小关系) 11．反比例函数x
k
y =
的图象经过点)3,2(A ． （1）求这个函数的解析式；
（2）请判断点)6,1(B 是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 12．已知一次函数k kx y +=的图象与反比例函数x
y 8
=
的图象在第一象限交于B （4，n ），求k ，n 的值． 13．已知函数12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当1x =时，4y =；当2x =时，5y =．
（1）求y 与x 的函数关系式： （2）当4x =时，求y 的值．
14．如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x
m
y =图象交于 A （－2，1）、B （1，n ）两点。

y x
O y x
O y x
O y x
O （A ）
（B ）
（C ）
（D ）
x
第7题图
y
O D
C
A
B
2
l 1
l A x
y
2
1 O A
B
x
y
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
15．反比例函数y=
k
x
中，当x 的值由4增加到6时，y 的值减小3，求这个反比例函数的解析式． 16．已知：一次函数23y x k =+-和反比例函数4
y x
=的图象都经过点A （n ，2）．
（1）求n 的值和这个一次函数的解析式；
（2）在同一坐标系内画出这两个函数的图象（不必列表）；
（3）根据图象判断：使这两个函数的值都为非负数的自变量x 的取值范围． 17．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积．
参考答案： 1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．D ； 6．－4；
7．满足条件6xy =-的任一点()x y ，均可； 8．一，三； 9．2y x
=-； 10．=；
11．解：（1）由题意得2
3k
=
，∴6=k ． ∴函数解析式为x
y 6
=．
（2）当1=x 时，6=y ．
∴点（1，6）在这个反比例函数的图象上．
12．2n =，25k =
． 13．（1）22y x x =+；（2）1
82．
14．（1）x
2
y ＝－；y ＝－x －1；
O
y
x
B
A
x
k y = （2）x ＜-2或0＜x ＜1．
15.y=
36x
． 16．（1）2n =；（2）略；（3）1x ≥．
17．解：（1）∵点(21)A -，在反比例函数m
y x
=
的图象上， (2)12m =-⨯=-∴．∴反比例函数的表达式为2
y x
=-．
∵点(1)B n ，也在反比例函数2
y x
=-的图象上，2n =-∴，即(12)B -，．
把点(21)A -，，点(12)B -，代入一次函数y kx b =+中，得
212k b k b -+=⎧⎨
+=-⎩，，解得11k b =-⎧⎨=-⎩，
．
∴一次函数的表达式为1y x =--． （2）在1y x =--中，当0y =时，得1x =-．∴直线1y x =--与x 轴的交点为(10)C -，． ∵线段OC 将AOB △分成AOC △和BOC △，
1113
111212222
AOB AOC BOC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+=△△△∴．
一．填空
1．如果函数2
2
(1)k
y k x -=+是反比例函数，那么k =_______。

2．已知反比例函数 ，当______m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内。

3．京沪高速公路全长约为1262km ，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行驶完全程所需的时间t （h ）与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系是 。

4、若反比例函数 的图象经过二、四象限，则k = _______。

5、已知函数 ，当 时，6=y ，则函数的解析式是 .
6、已知2y -与x 成反比例，当3x =时，1y =，则y 与x 间的函数关系式为 .
7、如图，面积为3的矩形OABC 的一个顶点B 在反比例函数 的图象上，另三点在坐标轴上，则k = 。

8、反比例函数 与一次函数m kx y +=的图象有一个交点是（-2，1）
，32m y x
-=x m
y =2
1-=x x
k y =
1
232)12(---=k k x k y
则它们的另一个交点的坐标是 。

9．收音机刻度盘的波长λ和频率f 分别用米（m ）的千赫兹（kHz ）为单位标刻的。

波长λ和频率 f 满足关系式 ，这说明波长λ越大，频率f 就越 _________。

10．若直线)0(11≠=k x k y 和双曲线
在同一坐标系内的图象无交点，则 1k 、2k 的关系是_________。

二．选择题
1、下列各选项中，两个变量之间是反比例函数关系的有 （ ）
A 小明完成百米赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v （m/s ）的之间的关系
B 菱形的面积为24cm 2。

它的两条对角线的长y （cm ）与x （cm ）之间的关系
C 某村现有耕地1000亩，该村人均占有耕地面积y （亩/人）与该村人口数量n （人）之间的关系
D 一个容积为20(L)的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积v （L ）之间的关系 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y 元，若该厂每月生产 x 只（x 取正整数），这个月的总成本为5000元，则y 与x 之间满足的关系为（ ） A 5000x y =
B 50003y x =
C 5000y x =
D 3
500y x
=
3．如图，A 为反比例函数x
k
y =
图象上一点，AB ⊥x 轴与点B ，若3=∆AOB S ， 则k 为（ ） A 6 B 3 C 2
3
D 无法确定 4．函数
x
k
y =的图象经过（1，)1-，则函数2-=kx y 的图象是 （ ）
5
．已知反比例函数)0(<
=
k x
k
y
的图像上有两点A(1x ，
1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是 （ ） A 正数 B 负数 C 非正数 D 不能确定 6．在同一坐标系中，函数x k
y =和3+=kx y 的图像大致是 （ ）
300000
f λ
=22(0)k
y k x
=≠
2
2
22-2
-2-2-2
O
O
O
O
y
y
y
y
x
x
x
x A
B
C D
A B C D
7．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟， 为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校。

在课堂上，李老师请学生画出 自行车行进路程s 千米与行进时间t 的函数图像的示意图，同学们画出的示意图如下，你认为正确的是 （ ）
A B C D
8、已知圆柱的侧面积是100πcm 2
，若圆柱底面半径为r （cm 2
），高线长为h （cm ），则h 关于r 的函数的
图象大致是 （ ）
9．如图，面积为2的ΔABC ，一边长为x ，这边上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示大致是 （ ）
10．如图所示，A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）、C （3x ，3y ）是函数x
y 1
=
的图象在第一象限分支上的三个点，且1x ＜2x ＜3x ，过A 、B 、C 三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH 、BEON 、CFOP ，它们的面积分
别为S 1、S 2、S 3，则下列结论中正确的是 （ ） A ． S 1<S 2<S 3 B ． S 3 <S 2< S 1
C ． S 2< S 3< S 1
D ． S 1=S 2=S 3
三．解答题
1.舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成乌云密布的阴天，这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。

在一舞台场景的灯光变化的电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培。

（1）求I 与R 之间的函数关系式； （2）当电流I=0.5安培时，求电阻R 的值.
2.点A 是双曲线x
k y =
与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点，AB 垂直x 轴于点B ，且S △ABO =23；（1）
求两个函数的表达式
（2）求直线与双曲线的交点坐标和△AOC 的面积。

3.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压p(kpa)是
气体体积v(m 3)的反比例函数，其图象如图所示。

（1） 写出这一函数的表达式。

（2） 当气球体积1 .5m 3为时，气压是多少？ （3） 当气球内的气压大于144kpa 时，气球将爆炸，
为了安全起见，气球的体积应小于多少？
4.码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间。

⑴轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v( 单位： 吨/天) 与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系？
⑵由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
5.为了预防“禽流感”，某学校在教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与 x 成反比
例（如图所示）。

现测得药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中每立方米的含药
量为6毫克，请根据题中提供的信息，解答下列问题:（10 ）
（1）药物燃烧时， y关于 x的函数关系式为，自变量x的取值范围
是药物燃烧后，y关于x的函数关系式为
（２）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，
那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，学生才能回到教室：
（３）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于３毫克且持续时间不低于１０分钟，才能有效杀灭空气中的病毒，那么此次消毒有效吗？为什么？
6.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售量y个之间有如下关系：（10 ）
（1）根据表中数据，在直角坐标系中描出实数对（x,y）的对应点；
（2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
（3）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价最高不能超过10元，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能使获利润最
大？
答案
一．1．1 2. 〉2
3
3.
1262
t
v
= 4. 0 5.
3
y
x
=-
x(元) 3 4 5 6 y（个）20 15 12 10
6.223y =-
+ 7. 3- 8. （1
2
，4-） 9 .小 10. 12k k 〈 0 二．1 .D 2 C 3. A 4. A 5. D 6. A 7. C 8. B 9. D 10. D
三．1.（1）设U I R =
（U 为常数，且U ≠0）由题意得：25
U
= ∴U =10 ∴I 与R 之间的函数关系为：10
I R
=
（2）当I =0.5时，10
0.5R
= ∴R =20
2.（1）设点A 的坐标为（,x y ） ∵12AOB S =∣xy ∣=3
2
∴ ∣xy ∣=3 ∴∣k ∣=3
∵点A 在第二象限 ∴k= 3- ∴反比例函数的解析式为3y x
=-
一次函数的解析式为2y x =-+
（2）根据题意得32
y x
y x ⎧
=-
⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 113
1x y =⎧⎨=-⎩ 22
1
3x y =-⎧⎨=⎩ 点A 的坐标为（1,3-） C 点的坐标（3,1-） 设直线AC 与y 轴交于点D , 则D 点坐标为 (0,2) ∴12AOC
AOD COD
S
S
S
=+=
1
232142
⨯⨯+⨯⨯= 3.(1)设k
P v =
∵点A （0.8，120）在反比例函数的图象上 ∴1200.8k = ∴ 96k = ∴P 与v 的解析式为96
P v
=
（2）当 1.5v =时 96
641.5
P ==（千帕） （3）∵当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸
∴969621441441443
P v v ≤∴≤∴≥=（m 3） 答：气球的体积不小于2
3
m 3时气球才安全
4．解：（1）设轮船上的货物总量为k 吨，则根据已知条件有
308240k =⨯= ∴v 与t 的函数式为240v t =
（2）把5t =代入240v t =，得240
485
v =
= 从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天 卸完，则平均每天卸载48吨。

若货物在不超过5
天内卸完，则平均每天至少卸货48吨。

5．提示：（1）据图可求出两函数解析式
3
(08)
4
y x x
=≤≤
48
y
x
=
（2）30 （3）在
3
4
y x
=中，当3
y=时
3
34
4
x x
=∴=
在
48
y
x
=中，当3
y=时
48
316
x
x
=∴=
∵16412
-=〉10 ∴此次消毒有效6．提示：（1）如图：
（2）设
k
y
x
=，把点（3，20）代入
k
y
x
=，得60
k=∴y与x的函数关系式为
60
y
x
=
（3）根据题意得
60120
(2)(2)60
W x y x
x x =-=-⨯=-
当10
x=时，W有最大值。

1. 如图4，已知点A，B在反比例函数的图象上，且点A，B的横坐标分别为a，2a(a>0)，AC⊥x 轴，垂足为C点，且△AOC的面积为2。

(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点(-a,y1)，(-2a，y2)在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
(3)求△AOB的面积。

答案：(1) (2)y1<y2(3)S△AOB=3
2. 某厂从2002年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，•某产品的生产成本不断降低，具体数据如下
表：
年度2002 2003 2004 2005
投入技改资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件）7.2 6 4.5 4
（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；
（2）按照这种变化规律，若2006年已投入技改资金5万元．
①预计生产成本每件比2005年降低多少万元？
②如果打算在2006年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精
确到0.01万元）
答案：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b，
把x=2.5，y=7.2；x=3，y=6分别代入得7.2 2.563.k b k b =+⎧⎧⎨
⎨
=+⎩⎩
k=-2.4
解得b=13.2 ． 一次函数解析式为y=-2.4x+13.2，
把x=4时，y=4.5代入此函数解析式．左边≠右边， ∴不是一次函数，
同理，也不是二次函数，
设其为反比例函数，解析式为y=
k x ． 当x=2.5•时，y=7.2，可得7.2=2.5
k
，得k=18，
∴反比例函数为y=18
x ．
验证：当x=3时，y=18
3
=6，符合反比例函数．
同理可验证：x=4时，y=4.5；x=4.5时，y=4成立． ∴可用反比例函数x=
18
x
表示其变化规律． （2）①降低0.4万元．②还需投入0.63万元．
课时作业： A 等级
1.下列四个函数中，当x 增大时，y 的值减小的函数有( )个。

(1)y=3x ； (2) ； (3)y=2x+1； (4)y=-3x-3
A.1
B.2
C.3
D.4
2.对于反比例函数
，当x≤-6时，y 的取值范围是( )
A. y≥-1
B. y≤-1
C. -1≤y<0
D. y≥1
3. 反比例函数
的图象的两个分支分别位于( )
A. 一、二象限
B. 一、三象限
C. 二、四象限
D. 一、四象限 4. 如图1所示的图象上的函数关系式只能是( )
A. y=x
B.
C. y=2x+1
D.
5.反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数y=kx-5的图象不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
6.反比例函数与直线y=3x相交，那么交点的坐标为( )
A.(1，3)
B.(-1，-3)
C.(1，3)或(-1，-3)
D. (2，3)或(-2，-3)
7.面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是( )
8. 已知函数y=kx的图象经过点(2，-6)，则函数的解析式可确定为_____
9. 已知函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为____
10. 反比例函数的图象经过点，则k=___,a=____,b=____
11.如图2，点P是反比例函数上的一点，PD垂直x轴
于点D，则△POD的面积为____
12. 函数y=(2m-1)x与的图象交于一、三象限，则m的取值范围是____
13.反比例函数，点(x1，y1)，(x2，y2)在其图象上，当x1<0<x2时，有y1>y2，则k的取值范围是
_______
14. 为了美化校园，学校共划出84m2的土地修建四个完全相同的长方形花坛，如果每个花坛的一组邻边分别为xcm，ycm，那么y关于x的函数关系式为____
15.在反比例函数的图象上有一点P，它的横坐标是方程-2t-2=0的解，纵坐标是直线y=2x+3与y
轴交点的纵坐标，由此，请你求出这个反比例函数的解析式。

16.已知一次函数y=x+m与反比例函数的图象在第一象限内的交点为P(a，3)
(1)求a的值；
(2)求一次函数和反比例函数的解析式。