中点专题训练

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数学人教版八年级上册中点专题——倍长中线法

《中点专题——倍长中线》教学设计科目数学时间2016年9月8日课题中点专题——倍长中线课型新授课教学内容分析在三角形或有关复合图形中中点的问题经常出现，若能以一个专题的形式向学生展示，学生会掌握得更好。

倍长中线的方法是在人教版八上数学《全等三角形》有关的习题出现，它是以学生已学的全等三角形的性质为载体，在知识储备上是没问题的。

学情分析作辅助线解题对于学生来说是薄弱点，此专题更适合在初三中点专题学习中，在讲完直角三角形斜边上的中线、三角形的中位线、等腰三角形三线合一等有关图形的辅助线添加后学习，有助于他们对中点出现的情况系统归纳。

由于晒课的时间限制，本节晒课的学生是我校新学年刚升上初三的学生，他们大部分基础较薄弱，抽象思维能力和分析问题的能力也较欠缺。

学习目标知识技能1、理解倍长中线的意义，掌握添加辅助线的方法。

2、能从复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的基础图形特点，灵活运用这种方法转移相等的边或角。

3、经历观察、猜想、推理的过程，进一步发展思维能力。

数学思想初步体会转化、类比的数学思想并养成归纳问题的良好习惯，提高分析和解决问题的能力。

情感态度通过探究复合图形中利用倍长中线法解决问题过程，培养积极探索、勇于创新的精神，体验学习数学的成功感。

教学重难点教学重点：1、理解倍长中线的意义和添加辅助线的方法；2、学会辨别适用倍长中线法的图形特点。

教学难点：在复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的图形部分，正确作图。

学习方法自主探究合作交流启发引导教学资源PPT课堂教学实施设计教学流程教师活动学生活动设计意图中点情况引入一、情况引入：分别提问：若中点出现在直角三角形的斜边上、等腰三角形的底边上、三角形的两边上、三角形的一条边上，你会想到什么？1. 直角三角形斜边上的中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2. 等腰三角形三线合一定理：等腰三角形底边上的中线= 底边上的高= 顶角平分线3. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半.4. 三角形中线：提出质疑：三角形的中线没有定理，若有这样的条件，应怎样解决，下面我们一起来探究。

【初中数学】人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(练习题)

人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(146) 1.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求EG2+FH2的值．2.四边形ABCD为边长等于1的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH(四边形EFGH称为原四边形的中点四边形)，再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形……则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于．3.如图所示，E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是形，并说明理由;(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并说明理由．4.如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是BC,AD,BD,AC的中点．(1)求证：EF与GH互相平分；(2)当四边形ABCD的边满足条件时,EF⊥GH．5.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是（）A.矩形B.平行四边形C.菱形D.任意四边形6.顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形7.若四边形的对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形8.如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当中点四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD是矩形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确的是(填序号)．9.如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，E,F,G,H分别是AD,AB,CB,CD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．10.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形11.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是（）A.矩形B.正方形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形12.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB,CD应满足的条件是．13.如图所示，E,F,G,H为四边形ABCD各边的中点，若对角线AC，BD的长都为20，则四边形EFGH的周长是（）A.80B.40C.20D.1014.如图,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60∘,则四边形EFGH的面积为cm2.15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为．16.如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点，则EG2+FH2=．参考答案1.【答案】:如图，连接EF ，FG ，GH ，EH ，∵E ，H 分别是AB ，DA 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH =12BD =3. 同理可得EF ，FG ，GH 分别是△ABC ，△BCD ，△ACD 的中位线， ∴EF =GH =12AC =3，FG =12BD =3，∴EH =EF =GH =FG =3，∴四边形EFGH 为菱形，∴EG ⊥HF ，且垂足为O ，∴EG =2OE ，FH =2OH ．在Rt △OEH 中，根据勾股定理得：OE 2+OH 2=EH 2=9，等式两边同时乘4得4OE 2+4OH 2=9×4=36，∴(2OE)2+(2OH)2=36，即EG 2+FH 2=36．【解析】:连接EH,HG,GF,FE ，根据题目条件提供的四个中点，结合中位线的性质，证明四边形EFGH 为菱形，再根据菱形的性质及勾股定理求出结果.2.【答案】:116【解析】:根据题意，结合图形寻找规律：第二、四、六、八个中点四边形为菱形，第一个菱形边长为12，第二个菱形边长为14，第三个菱形边长为18，第四个菱形边长为116，即为第八个菱形的边长3(1)【答案】当四边形ABCD 是矩形时，四边形EFGH 是菱形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ．∵E ，F ，H 分别是AB ，BC ，AD 的中点，∴EF=12AC，EH=12BD，∴EF=EH．同理可得EF=GH=GF，∴四边形EFGH是菱形【解析】:利用矩形及中位线的性质，结合菱形的判定方法进行推导证明.(2)【答案】当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．理由：∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=12AC，同理，EH∥BD，EH=12BD，GF=12BD，GH=12AC．∵AC=BD，∴EF=EH=GH=GF，∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴菱形EFGH是正方形【解析】:根据三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半，先判断出AC=BD，又正方形的四个角都是直角，可以得到正方形的邻边互相垂直，然后证出AC与BD垂直，得到四边形ABCD满足的条件.4(1)【答案】证明：连接GE,GF,HF,EH．∵E,G分别是BC,BD的中点,∴EG=12CD．同理FH=12CD,FG=12AB,EH=12AB,∴EG=FH,GF=EH，∴四边形EHFG是平行四边形．∴EF与GH互相平分【解析】:根据题中提供的四个中点，得到几组中位线，利用中位线的性质，及平行四边形的判定方法，推导出四边形EHFG是平行四边形，进而推导出结论(2)【答案】当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH．【解析】:理由如下:当EF⊥GH时,四边形EGFH是菱形,此时GF=EG．∵EG=12CD,FG=12AB,∴AB=CD．∴当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH5.【答案】:C【解析】:顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是菱形．如图，∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，∴EH∥BD，EH=12BD，FG∥BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=FG=12BD，∴四边形EFGH为平行四边形．又∵EF为△ABC的中位线，∴EF=12AC．又∵EH=12BD，且AC=BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH为菱形．故选C．6.【答案】:B【解析】:利用菱形的性质、矩形的判定方法及中位线的性质推导出结果.7.【答案】:B【解析】:如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD．又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EH，EH⊥EF，EF⊥FG，FG⊥HG．故可判定该四边形是矩形．故选B．8.【答案】:①④【解析】:如图四边形ABCD，连接AC，BD．∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，∴EF∥GH，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确．若四边形ABCD是矩形，则AC=BD．∵EF=12AC，EH=12BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，故②错误．若四边形EFGH是菱形，则AC=BD，但四边形ABCD不一定是矩形，故③错误．若四边形ABCD是正方形，则AC=BD，AC⊥BD，∴四边形EFGH是正方形，故④正确．∴正确的叙述是①④．9.【答案】:连接AC，BD，交于点O，如图．∵E，F，G，H分别是AD，AB，CB，CD的中点，∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，EF=GH=12BD，EH=FG=12AC，∴四边形EFGH是平行四边形．∵AD=CD，AB=CB，∴点D，B都在线段AC的垂直平分线上，∴DB垂直平分AC，∴DB⊥AC，OA=OC．∵EF∥DB，∴EF⊥AC．∵FG∥AC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形【解析】:利用三角形的中位线解题.10.【答案】:D【解析】:若得到的四边形是矩形，那么邻边互相垂直，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解.11.【答案】:C【解析】:若得到的四边形是菱形，那么四条边都相等，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必相等，由此得解.12.【答案】:AB=CD【解析】:若四边形EFGH是菱形，则GH=EH，又根据题中条件所给的四个中点，利用中位线的性质推导出AB=2GH，CD=2EH，所以AB=CD.13.【答案】:B【解析】:∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，∴HG=EF=12AC，GF=HE=12BD，∴四边形EFGH的周长=HG+EF+GF+HE=12(AC+AC+BD+BD)=12×(20+20+20+20)=40 14.【答案】:9√3【解析】:连接AC,BD,相交于点O,如图所示, ∵点E,F,G,H分别是菱形四边的中点,∴EH=12BD=FG,EH∥BD∥FG, EF=12AC=HG,∴四边形EHGF是平行四边形．∵菱形ABCD中,AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴平行四边形EFGH是矩形．∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60∘,∴∠ABO=30∘.∵AC⊥BD,∴∠AOB=90∘,∴AO=12AB=3cm,∴AC=6cm．在Rt△AOB中,由勾股定理，得OB=√AB2−OA2=3√3cm, ∴BD=6√3cm．∵EH=12BD,EF=12AC,∴EH=3√3cm,EF=3cm,∴矩形EFGH的面积=EF·EH=9√3cm2. 故答案为9√315.【答案】:12【解析】:∵E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，∴HE=12AC=4,HE∥AC,GF∥AC,∴HE∥GF．同理，HG∥EF,HG=12BD=3,∴四边形EFGH是平行四边形．∵AC⊥BD，∴∠EHG=90∘,∴四边形EFGH是矩形，∴四边形EFGH的面积为3×4=1216.【答案】:50【解析】:连接HG，EH，EF，FG，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴HG=EF=12AC=4，EH=FG=12BD=3，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴HE∥BD，HE=12BD，同理FG∥BD，FG=12BD，∴四边形HEFG是平行四边形．∵AC⊥BD，∴HG⊥EH，∴四边形HEFG为矩形，∴EG2+FH2=EF2+FG2+EF2+EH2=52+52=50。

中考数学专题训练专题一几何题型(中点M型)

专题一中点M型基本条件：①∠PMQ＝∠B＝∠C；②M是BC的中点基本结论：①△EMF∽△EBM∽△MCF.②EM平分∠BEF，FM平分∠EFC.③EM2＝EB·EF，FM2＝FC·EF.常见特例：特例一：条件：①等边△ABC；②∠MPN＝60°，③P是BC的中点。

特例二：条件：①等腰直角△ABC，AC＝BC，∠C＝90°；②∠EDF＝45°；③点D是AB的中点。

特例三：条件：①AB＝AC；②∠BAC＝120°，∠EDF＝30°，③D是BC的中点。

特例四：条件：①矩形ABCD；②∠GEF＝90°，③E是AB的中点。

特例五：条件：①直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°；②E是AD的中点；③∠BEC＝90°。

巩固练习：1.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E为AB的中点，若AD＝2，BC＝4，∠CED＝90°，则CD长为。

2.如图，在正方形ABCD中，点E、F在边BC、CD上，若AE＝2，EF＝1，AF＝5，则正方形的边长为。

3.已知：等边△ABC中，AB＝8，点D为AB的中点，点M为BC上一动点，以DM为一边，在点B异侧作等边△DMN。

DN交AC于点F，当∠DAN＝90°时，则FN的长为。

4.如图，以矩形OABC的邻边OA、OC分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，F为线段OA上的一点，将△COF沿直线CF翻折，点O落在AB的中点E处，且OC＝6.（1）求直线EF的解析式；（2）将直线EF绕点F逆时针旋转90°，得到直线m，直线m交y轴于点D，求点D的坐标。

特例一特例二特例三特例四特例五巩固1巩固21.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC边的中点，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F.(1)当00＜α＜900，（如图1），求证：AE＋2BF＝AB；(2)当900＜α＜1800，（如图2），则AE、BF、AB之间的数量关系；(3)在（1）的条件下，过点D作DG∥AB，交AC于G，且DF＝GE＝3时（如图3），求BF的值。

专题一中点问题111

第4题图
7. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为____8____．
第5题图
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点
7
D作DE ⊥AB交BC的延长线于点E，则CE的长为____6____．
例5题解图①
证明二：如解图②，延长ED到点G，使得DG＝DE，连接CG. ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD. ∵∠BDE＝∠CDG， ∴△BED≌△CGD. ∴∠G＝∠BED，BE＝CG. ∵AF＝EF， ∴∠FAE＝∠AEF＝∠BEG. ∴∠G＝∠EAF. ∴AC＝GC. ∴AC＝BE.
例5题解图②
第9题图
例5 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F ，AF＝EF，求证：AC＝BE.
例5题图
证明一：如解图①，延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG. CD BD 在△ADC和△GDB中， CDA BDG
AD GD ∴△ADC≌△GDB(SAS)． ∴AC＝GB，∠G＝∠EAF. 又∵AF＝EF， ∴∠EAF＝∠AEF. ∵∠AEF＝∠BED， ∴∠G＝∠BED. ∴BE＝BG. ∴BE＝AC.
A
D B
E C
5. 如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,O为AC中点，OE⊥AC，则tan∠BOE=________．
A
D
O E
B
C
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N.
12
则MN的长为____5____．
针对训练 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，E是AC上一点，且AE＝AD，若 ∠AED＝75°，则∠EDC的度数是（ B ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°

2022年中考数学几何模型之单中点与双中点模型(讲+练)(解析版)

专题02 单中点与双中点模型有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。

模型一、双中点-中位线模型如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，例.如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD△AB，垂足为D，点E为BC的中，则AE的长为（）点，AE与CD交于点F，若DF3A B．C D．【答案】C【详解】解：连接DE，如图所示：在Rt△ABC 中，△ACB =90°，AC=BC ， △CD △AB ，△AD=BD ，即点D 为AB 的中点．△E 为BC 的中点，△DE 是△ABC 的中位线，△DE △AC ，DE =12AC ，△△DEF △△CAF ，△DF ：CF=DE ：AC =1：2，△DF=13，△AC=BC ，△AC 2+BC 2=2AC 2=AB 2=8．△AC=BC=2．△CE=1．在直角△ACE 中，由勾股定理知：AE故选：C ．【变式训练1】如图，在△ABC 的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ．求证：MQ ＝QN ．【答案】见解析【详解】证明：连接BG 和CE 交于O ，∵四边形ABDE 和四边形ACFG 是正方形，∴AB ＝AE ，AC ＝AG ，∠EAB ＝∠GAC ， ∴∠EAB +∠EAG ＝∠GAC +∠EAG ，∴∠GAB ＝∠EAC ，在△BAG 和△EAC 中，，∴△BAG ≌△EAC （SAS ），∴BG ＝CE ．∵BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ，∴MQ ＝CE ，QN ＝BG ， ∵BG ＝CE ，∴QN ＝MQ ．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，OAB 的顶点B 在x 轴正半轴上，顶点A 和边AB 的中点C 均在函数()20=>y x x的图象上，则OAB 的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B【详解】如图，过点A 、点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，E ，则//AD CE ，∴CE BE BCAD BD BA==，△C 是AB 边的中点，∴12CE BE BC AD BD BA ===，设CE x =，则2AD x =，△顶点A 和边AB 的中点C 均在函数()20=>y x x 的图象上，C ∴的横坐标为2x，A 的横坐标为1x， 1OD x∴=，2OE x =，1DE OE OD x ∴=-=，1BE DE x ∴==，3OB OE BE x ∴=+=，1132322OAB S OB AD x x∆∴==⨯⨯=．故选：B ．【变式训练3】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，AC ＝1，D 是AB 的中点，E 是BC 上一点，若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长为 .【答案】【详解】如图，过点A 作AM ∥DE 交BC 的延长线于点M ，过点C 作CN ⊥AM ，垂足为N .∵D 是AB 的中点，∴E 为BM 的中点，即BE ＝EM ，又∵DE 平分△ABC 的周长，∴AC +CE ＝BE ，∴MC +CE ＝AC +CE ，∴MC ＝AC ， ∵CN ⊥AM ，∠ACB ＝60°，∴∠CAN ＝60°，在Rt △CAN 中，AN ＝AC ·sin60º＝，∴AM ＝2AN＝，∴DE＝.模型二、单中点-倍长中线模型例.如图，CE 、CB 分别是ABC 与ADC 的中线，且∠=∠ACB ABC ，AC AB =．求证：2CD CE =．【答案】见解析【详解】证明：如图，过点B 作//BF AC 交CE 的延长线于点F ．△CE 是ABC 的中线，//BF AC ，△AE BE =，A ABF ∠=∠，ACE F ∠=∠，在ACE 和BFE △中，△,,,A ABF ACE F AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACE BFE ≌（AAS ），△CE EF =，AC BF =，△2CF CE =，又△AC AB =，CB 是ADC 的中线，△AC AB BD BF ===，△DBC A ACB ABF ABC ∠=∠+∠=∠+∠，△∠=∠ACB ABC ，△DBC FBC ∠=∠，在DBC △和FBC 中，△,,,DB FB DBC FBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△DBC FBC ≌（SAS ）， △2DC CF CE ==．【变式训练1】已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______； ②连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①45°；②见解析；（2）2CF DF =，理由见解析【详解】（1）①△90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒，△EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠ △90EAC BAE ∠+∠=︒，△ACD BAE ∠=∠又△AEC B BAE ∠=∠+∠，△EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠ △45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒，故答案为45︒．②如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，△点D 为AB 的中点，△BD AD =，又△ADG BDE ∠=∠，△ADG △BDE ，△DGA DEB ∠=∠，△//AG BC ，△GAE AEC ∠=∠，又△2AE DE =，△AE EG =，△DGA GAE ∠=∠，△DEB AEC ∠=∠．（2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，△AD BD =，ADF BDH ∠=∠，△HDB △FDA △，△BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒， △BF AC =．△Rt HBF △△Rt FAC △，△2CF HF DF ==．【变式训练2】如图①，点O 为线段MN 的中点，PQ 与MN 相交于点O ，且PM ∥NQ ，可证△PMO ≌△QNO ．根据上述结论完成下列探究活动：探究一：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE ＝∠EAF ，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的长度．【答案】见解析【详解】（1）AB＝AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G点，根据图①得△ABE≌△GCE，∴AB＝CG，又AB∥DC，∴∠BAE＝∠G而∠BAE＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴AF＝GF，∴AB＝CG＝GF+CF＝AF+CF；（2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，根据CF∥AB得△ABE∽△GCE，∴AB：CG＝BE：CE，而BE：EC＝1：2，AB＝4，∴CG＝8，又AB∥FC，∴∠BAE＝∠G，而∠BAE＝∠EDF，∴∠G＝∠EDF，∴DF＝GF，而CF＝2，∴DF＝CG﹣CF＝8﹣2＝6．【变式训练3】如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．【答案】【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，在△PFD和△QCD中，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝3，∴DE＝，故答案为．模型二、单中点-“三线合一”模型如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、中线、垂线）.例.如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：BF ⊥FD.【答案】见解析【解析】如图，连接CF.∵AC ＝CE ，F 为AE 的中点，∴CF ⊥AE ，∴∠AFD ＋∠DFC ＝90º， ∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ，AB ⊥CE ，∠ABC ＝∠BAD ＝90º，在Rt △ABE 中，∵F 为AE 的中点，∴BF ＝AF ，∴∠FBA ＝∠FAB ， ∴∠FAB ＋∠BAD ＝∠FBA ＋∠ABC ，即∠FBC ＝∠FAD ，又∵AD ＝BC ，FA ＝FB ，∴△FBC ≌△FAD ，∴∠AFD ＝∠BFC ， ∴∠BFD ＝∠BFC ＋∠DFC ＝∠AFD ＋∠DFC ＝90º，∴BF ⊥FD .【变式训练1】如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（） A .B .C .D .【答案】C【解析】如图，连接AM .∵AB ＝AC ，M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ， ∵AC ＝5，CM ＝BC ＝3，∴AM ＝4，∴在Rt △AMC 中，AM CM ＝AC MN ，即4×3＝5MN ，解得MN .【变式训练2】半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB 折叠，使折叠后半圆弧的中点M 与圆心O 重合，求图中阴影部分面积？【答案】【解析】如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB.由题意可得OM⊥AB，且OC＝MC＝，在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，，∴∠AOC＝60º，AB＝2AC＝，∴∠AOB＝2∠AOC＝120º，则，.课后训练1. 如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，∵M是△ABC的边BC的中点，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD+CD＝14，故选：B．2.的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（）A. B. 5C. D.【答案】D【解析】如图，连接OA、OC，OC交AB于点D.∵点C是的中点，∴OC⊥AB且平分AB，即AD＝AB，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，在Rt△AOD中，，∴AD＝AO·＝，∴AB＝2AD.3.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．【答案】【解答】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理△PHE中，HE＝PH＝1．∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．∴在Rt △PHG 中，PG ＝＝＝．故答案是：． 4．如图，已知△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE 交BC 于点G ，若DG=GE ，说明：△ABC 为等腰三角形．【答案】见解析．【详解】解：如图，过D 作DF△AC 交BC 于F ，△DF△AC ，△△DFC=△FCE ，△△DGF=△CGE ，DG=GE ，△△DFG△△ECG （AAS ），△DF=CE ，△BD=CE ，△BD=DF ，△△B=△DFB ，△DF△AC ，△△DFB=△ACB ，△△B=△ACB ，△AB=AC ，△△ABC 为等腰三角形．5．如图所示，已知在ABC 中，D 是AB 的中点，DC AC ⊥，4cos 5DCB ∠=，求sin A ．【详解】如图所示，作//DE AC 交B C 于点E ，得90CDE ACD ∠=∠=︒，△ 4cos 5CD DCB CE =∠=，设4CD x =，则5CE x =，△3DE x =，由中位线定理得AC ＝6x ，在Rt ACD △中，AD =，△sinCD A AD ===； 6.如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 的形状.【答案】四边形PQMN 为菱形【解析】如图，连接AC 、BD .∵△ADE 和△BCE 都是等边三角形，∴∠AEC ＝120º，∠BED ＝120º，∴∠AEC ＝∠BED ，又∵EA ＝ED ，EC ＝EB ，∴△AEC ≌△DEB ，∴AC ＝BD ，又∵P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴PNBD ，QM BD ，∴PN QM ，∴四边形PQMN 是平行四边形，又∵PN ＝，MN AC ，∴MN ＝PN ，∴四边形PQMN 是菱形.7.如图，在△ABC 中，BC ＝22，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于E ，F 、G 分别是BC 、DE 的中点，若ED ＝10，求FG 的长.【解析】如图，连接EH 、DH .由题意可得EH 、DH 分别为Rt △BEC 、Rt △BDC 斜边上的中线，∴DH ＝EH ＝BC ＝11，∵点G 为ED 的中点，∴DG ＝EG ＝5，又∵HG ⊥DE ，∴在Rt △HGD 中，HG . 8．已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______；②连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①45°；②见解析；（2）2CF DF =，理由见解析【详解】（1）①△90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒△EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠△90EAC BAE ∠+∠=︒，△ACD BAE ∠=∠又△AEC B BAE ∠=∠+∠，△EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠△45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒故答案为45︒．②如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，△点D 为AB 的中点，△BD AD =，又△ADG BDE ∠=∠，△ADG △BDE ，△DGA DEB ∠=∠，△//AG BC ，△GAE AEC ∠=∠，又△2AE DE =，△AE EG =，△DGA GAE ∠=∠，△DEB AEC ∠=∠．（2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，△AD BD =，ADF BDH ∠=∠，△HDB △FDA △， △BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒， △BF AC =．△Rt HBF △△Rt FAC △， △2CF HF DF ==．。

2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：三角形的中位线(附答案)

2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：三角形的中位线（附答案）1．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．B．1C．D．72．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为P A，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△P AB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤3．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．3B．4C．4.5D．54．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A．线段EF的长逐渐增长B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长始终不变D．线段EF的长与点P的位置有关5．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为（）A．B．2C．D．36．如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG 的面积是（）A．4.5B．5C．5.5D．67．如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（）A．4B．3C．D．28．如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC 的周长为30，BC＝12．则MN的长是（）A．15B．9C．6D．39．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD ＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（）A．50°B．25°C．15°D．20°10．如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝BC，过AC中点E作EF∥CD（点F 位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF．若AB＝8，则DF的长为（）A．3B．4C．2D．311．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF＝CF B．EF＝DE C．CF＜BD D．EF＞DE12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．10B．8C．6D．513．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10D．1114．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC ＝15，MN＝3，则AC的长是（）A．12B．14C．16D．1815．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC 的周长是（）A．6B．12C．18D．2416．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE 并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为．17．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD 上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为．19．如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是．20．如图，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE＝CD，过点B 作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF＝10，则AB的长为．21．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为．22．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．23．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长．24．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝6、BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝．26．如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N 为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．28．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD ＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE的度数是．29．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．30．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF＝∠DEF．31．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM＝MN；（2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．32．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝10，AC＝6，求DF的长．33．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝12，AC＝16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．34．在△ABC中，E是AC边上一点，线段BE垂直∠BAC的平分线于D点，点M为BC边的中点，连接DM．（1）求证：DM＝CE；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．35．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB＝，则当∠ABC+∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积．36．如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）当AC、BD满足时，四边形EFGH为菱形．当AC、BD满足时，四边形EFGH为矩形．当AC、BD满足时，四边形EFGH为正方形．37．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．38．已知：△ABC中，AB＝10．（1）如图①，若点D、E分别是AC、BC边的中点，求DE的长；（2）如图②，若点A1，A2把AC边三等分，过A1，A2作AB边的平行线，分别交BC 边于点B1，B2，求A1B1+A2B2的值；（3）如图③，若点A1，A2，…，A10把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，…B10．根据你所发现的规律，直接写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果．参考答案1．解：∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG＝AC＝3，GF＝CF，∵AB＝4，AC＝3，∴BG＝1，∵AE是△ABC中线，∴BE＝CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF＝BG＝，故选：A．2．解：∵点A，B为定点，点M，N分别为P A，PB的中点，∴MN是△P AB的中位线，∴MN＝AB，即线段MN的长度不变，故①错误；P A、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△P AB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：B．3．解：如图，连结DN，∵DE＝EM，FN＝FM，∴EF＝DN，当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝3，∴BD＝＝＝6，∴EF的最大值＝BD＝3．故选A．4．解：连接AR，∵矩形ABCD固定不变，R在CD的位置不变，∴AD和DR不变，∵由勾股定理得：AR＝，∴AR的长不变，∵E、F分别为AP、RP的中点，∴EF＝AR，即线段EF的长始终不变，故选：C．5．解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，在△BNA和△BNE中，∴△BNA≌△BNE，∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，∴MN＝DE＝．故选：C．6．解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，∴△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝，同理可得△AEG的面积＝，△BCE的面积＝×△ABC的面积＝6，又∵FG是△BCE的中位线，∴△EFG的面积＝×△BCE的面积＝，∴△AFG的面积是×3＝，故选：A．7．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB＝4，又∵DE是中位线，∴DE＝BC＝2．故选：D．8．证明：∵△ABC的周长为30，BC＝12．∴AB+AC＝30﹣BC＝18．延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：∵BM为∠ABC的角平分线，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠G+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠AGB，∴AB＝BG，∴AN＝GN，同理AC＝CF，AM＝MF，∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC，∴MN＝（AB+AC﹣BC）＝（18﹣12）＝3．故选：D．9．解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB＝CD，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝70°，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝20°+（180﹣70）°＝130°，∴∠PMN＝＝25°．故选：B．10．解：取BC的中点G，连接EG，∵E是AC的中点，∴EG是△ABC的中位线，∴EG＝AB＝＝4，设CD＝x，则EF＝BC＝2x，∴BG＝CG＝x，∴EF＝2x＝DG，∵EF∥CD，∴四边形EGDF是平行四边形，∴DF＝EG＝4，故选：B．11．解：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE＝EC，∵CF∥BD，∴∠ADE＝∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE＝FE．故选：B．12．解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，又∵OC＝OA，∴CD＝DB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝3，∴DE＝2OD＝6．故选：C．13．解：∵BD⊥DC，BD＝4，CD＝3，由勾股定理得：BC＝＝5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG＝BC＝EF，EH＝FG＝AD，∵AD＝6，∴EF＝HG＝2.5，EH＝GF＝3，∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH＝2×（2.5+3）＝11．故选：D．14．解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠EAN，在△ABN与△AEN中，∵，∴△ABN≌△AEN（ASA），∴AE＝AB＝10，BN＝NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE＝2MN＝2×3＝6，∴AC＝AE+CE＝10+6＝16．故选：C．15．解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2AD+2AE+2DE＝2（AD+AE+DE）＝2×6＝12．故选：B．16．解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图1，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C＝AC＝4，∠ACB＝∠A'CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A'EF，∴AC∥A'E，∴∠ACB＝∠A'EC，∴∠A'CB＝∠A'EC，∴A'C＝A'E＝4，Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A'E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB＝＝4；②当∠A'FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为4或4；故答案为：4或4；17．解：方法1、延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理△PHE中，HE＝PH＝1．∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．∴在Rt△PHG中，PG＝＝＝．故答案是：．方法2、如图1，延长DA，GP相交于H，∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，∴EG∥BC∥AD，∴∠H＝∠PGE，∠HAP＝∠GEP，∵点P是AE的中点，∴AP＝EP，∴△AHP≌△EGP，∴AH＝EG＝1，PG＝PH＝HG，∴DH＝AD+AH＝4，DG＝CD﹣CG＝2，根据勾股定理得，HG＝＝2，∴PG＝，故答案为．18．解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD＝AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，∴EF＝×10＝5cm．故答案为：5．19．解：如图，分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，∵△APC和△BPD是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∴△AHB是等边三角形，∵∠A＝∠DPB＝60°，∴AH∥PD，∵∠B＝∠CP A＝60°，∴BH∥PC，∴四边形CPDH为平行四边形，∴CD与HP互相平分．∵G为CD的中点，∴G正好为PH中点，∵△ABH是等边三角形，∴在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：5．20．解：∵点D是AB的中点，BF∥DE，∴DE是△ABF的中位线．∵BF＝10，∴DE＝BF＝5．∵CE＝CD，∴CD＝5，解得CD＝4．∵△ABC是直角三角形，∴AB＝2CD＝8．故答案为：8．21．解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB＝90°，∴DE＝BC，DF＝AB，∵AB＝6，BC＝8，∴DE＝×8＝4，DF＝×6＝3，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故答案为：1．22．解：∵DE为△ABC的中位线，∴AD＝BD，∵∠AFB＝90°，∴DF＝AB＝2.5，∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4，∴EF＝DE﹣DF＝1.5，故答案为：1.5．23．解：∵△ABC的周长是26，BC＝10，∴AB+AC＝26﹣10＝16，∵∠ABC的平分线垂直于AE，∴在△ABQ和△EBQ中，，∴△ABQ≌△EBQ，∴AQ＝EQ，AB＝BE，同理，AP＝DP，AC＝CD，∴DE＝BE+CD﹣BC＝AB+AC﹣BC＝16﹣10＝6，∵AQ＝DP，AP＝DP，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ＝DE＝3．故答案是：3．24．解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴EG∥AC且EG＝AC＝×6＝3，FG∥BD且FG＝BD＝×8＝4，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝＝＝5．故答案为：5．25．解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM＝CB，MN∥BC，又CD＝BD，∴MN＝CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN＝CM，∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝3，∴DN＝3，故答案为：3．26．解：∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG＝BD＝4，FG∥BD，∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH＝BD＝4，EH∥BD，∴FG∥EH，FG＝EH，∴四边形EFGH为平行四边形，∴EF＝GH＝AC＝3，∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，故答案为：1427．解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝2，MH＝，HC′＝，HN＝﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（﹣x）2＝x2+（）2，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝，MC＝MC′＝2，∴GC′＝，∵△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM＝2．此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意舍弃．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为为或．28．解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，∴EP＝AD，同理，FP＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∵∠FPE＝100°，∴∠PFE＝40°，故答案为：40°．29．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE BC，∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC；（2）解：∵DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝．30．证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH＝AD，FH＝AF，∴∠DAH＝∠DHA，∠F AH＝∠FHA，∵∠DAH+∠F AH＝∠BAC，∠DHA+∠FHA＝∠DHF，∴∠DHF＝∠DEF．31．（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN＝AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM＝AC，∵AC＝AD，∴MN＝BM．（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，由（1）可知，BM＝AC＝AM＝MC，∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝60°，∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝90°，∴BN2＝BM2+MN2，由（1）可知MN＝BM＝AC＝1，∴BN＝32．解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴AF垂直平分CG，∴AC＝AG，GF＝CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF＝BG＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）＝2．33．解：如图，取BC边的中点G，连接EG、FG．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，∴EG AC，FG BD．又BD＝12，AC＝16，AC⊥BD，∴EG＝8，FG＝6，EG⊥FG，∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得EF＝＝＝10，即EF的长度是10．34．（1）证明：在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（ASA）∴AE＝AB，BD＝DE，∵BD＝DE，BM＝MC，∴DM＝CE；（2）解：在Rt△ADB中，AB＝＝10，∴AE＝10，由（1）得，CE＝2DM＝4，∴AC＝CE+AE＝14．35．（1）证明：∵在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，∴EG∥AB，EG＝AB，HF∥AB，HF＝AB，∴EG∥HE，EG＝HE，∴四边形EGFH是平行四边形．又EH＝CD，AB＝CD，∴EG＝EH，∴平行四边形EGFH是菱形；（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，∴GF∥DC，HF∥AB．∴∠GFB＝∠DCB，∠HFC＝∠ABC．∴∠HFC+∠GFB＝∠ABC+∠DCB＝90°．∴∠GFH＝90°．∴菱形EGFH是正方形．∵AB＝，∴EG＝AB＝．∴正方形EGFH的面积＝（）2＝．36．（1）证明：如图，连接BD，∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，∴EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）解：连接AC，同理可得EF∥AC且EF＝AC，所以，AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．故答案为：AC＝BD；AC⊥BD；AC＝BD且AC⊥BD．37．（1）证明：如图1中，∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD，∵AE⊥BD，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．（2）结论：EF＝（AB﹣AC），理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠P AE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠P AE，∴∠ABE＝∠APE，∴AB＝AP，∵AE⊥BD，∴BE＝PE，∵BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．38．解：（1）∵D、E分别是AC、BD的中点，且AB＝10，∴DE＝AB＝5；（2）设A1B1＝x，则A2B2＝2x．∵A1、A2是AC的三等分点，且A1B1∥A2B2∥AB，∴A2B2是梯形A1ABB1的中位线，即：x+10＝4x，得x＝，∴A1B1+A2B2＝10；（3）同理可得：A1B1+A2B2+…+A10B10＝。

八年级数学三角形中位线培优专题训练

八年级数学三角形中位线培优专题训练一、内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

二、例题例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。

求证：PM ＝PN证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形∴AE ＝EB＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，根据三角形中位线性质 PE ＝21AC ＝NF ，PF ＝21AB ＝MEPE ∥AC ，PF ∥AB∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求MN 的长。

分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点，则可运用中位线的性质求MN 的长，根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。

辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PNP NMP ∥AB ，MP ＝21AB ，NP ∥AC ，NP ＝21AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP∴∠3=∠4=2MPN-180∠∠MPN ＋∠BAC ＝180（两边分平行的两个角相等或互补）∴∠1=∠2=2MPN-180∠ ， ∠2=∠3∴NP ∥AC ∴MN ∥AD证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180∠CAD ＝21（180－∠FCG ） ∠CFG ＝21（180－∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD 例4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE交CB 的延长线于G 求证：FD ＝41CG 证明要点是：延长GE 交AC 于H ，可证E 是GH 的中点过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝21GC由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝41GC三、练习1. 如图11，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于B 、E 、C 的BC 上的任意一点，△DPH 为等边三角形.连接FH ，则EP 与FH 的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP<FH D.不确定4. 如图14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交AB 于E ,若AB=5，则DE 的长为 .C5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26 图27。

倍长中线专题训练含解析

【详解】
解：如图，连接．
∵ ，F为的中点，
∴ ，．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．①正确．
∵ ，
∴ ，
∴四边形的面积为．
∵ ，
∴四边形的面积为16，为定值．②正确．
延长到G使，连接．
∵ ，，，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在中，
∵ ，
（2）问题解决：
如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．
26．如图1，，都是等腰直角三角形，，，，且，点在上，连接，．
8．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x的取值范围是_____．
9．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：2 ，则∠BCD＝_____．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____．
11．已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=4，AD=5，则边AC的取值范围是______．
17．已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证：．
18．如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线.
19．如图所示，在中，为中线，，求的度数．

微专题中点问题六大方法

第3题图
方法四遇到三角形一边垂线过这边中点时，利用垂直平分线的性质例 4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点
7 D作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则CE 的长为____6____．【思考】点D是AB的中点且DE⊥AB，你想到了哪些学过的知识：D__E_是__线__段__A_B__的__垂__直__ _平__分__线__，__线__段__垂__直__平__分__线__上__的__点__到__线__段__两__端__点__的__距__离__相__等__．_
W
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针对训练
5. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长为
(B)
A
第5题图
6. 如图，AB是半圆O的直径，△ABC的两边AC，BC分别交半圆于D，E，且E为BC的中点，已知∠BAC＝50°，则∠C＝____6_5_°__．
例5题图
方法总结如图，(1)圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂直构造中位线解题； (2)圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“四中点一垂直”解决相应问题； (3)圆中遇到弧的中点，利用“一等四等”、“垂径定理”解决相应问题．
点E是弦AB的中点
点C是 »AB 的中点
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
∵∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，
∴△ADC≌△GDB(SAS)．
∴AC＝GB，∠G＝∠EAF. 又∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF.
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠G＝∠BED.
例6题解图①
∴BE＝BG.
∴BE＝AC.
【思考】聪明的你还能想到哪些作辅助线的方法，至少再写出一种并解答．

专题7几何图形—7.11之中点结构-2021年鲁教版(五四制)九年级数学专题复习训练

中点结构【知识点睛】中点是初中数学几何问题中的常见特征．在实际解决问题时，应用与中点有关的定理，也可以看作是中点与其他几何特征进行的组合搭配．1.与中点有关的定理① ① ①等腰+中点直角+中点多个中点__________ ________________ 考虑__________2.与中点有关的构造（1）将中点看作是对称中心，构造中心对称图形平行夹中点见中点，要倍长________________ 考虑________________（2）将中点看作线段间的比值关系，考虑相似或者面积转化；3.其他背景下的中点（1）坐标系中见到中点，考虑中点坐标公式；如图，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）圆背景下的中点，考虑圆中的相关定理；如：①圆中四组量关系定理；②垂径定理；③圆周角定理等；倍长中线（1）【条件】：在矩形ABCD中，BD=BE，DF=EF；【结论】：AF⊥CF；模型思路：存在平行线AD平行BE；平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF；（2）【条件】在平行四边形ABCD中，BC=2AB，AM=DM，CE⊥AB；【结论】∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB①CD，有中点AM=DM，延长EM，构造①AME①①DMF，连接CM构造等腰①EMC，等腰①MCF。

（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）【经典例题1】已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B 重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【解析】（1）AE①BF，QE=QF，理由是：如图1，①Q为AB中点，①AQ=BQ，①BF①CP，AE①CP，①BF①AE，①BFQ=①AEQ，在①BFQ和①AEQ中①①BFQ①①AEQ（AAS），①QE=QF，故答案为：AE①BF，QE=QF．（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，①AE①BF，①①QAD=①FBQ，在①FBQ和①DAQ中①①FBQ①①DAQ（A SA），①QF=QD，①AE①CP，①EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，①QE=QF=QD，即QE=QF．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，①AE①BF，①①1=①D，在①AQE和①BQD中，①①AQE①①BQD（AAS），①QE=QD，①BF①CP，①FQ是斜边DE上的中线，①QE=QF．练习1-1已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．【解析】（1）BH⊥HE，BH＝HE；理由如下：延长EH交AB于M，如图1所示：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB∥CD∥EF，AB＝BC，CE＝FE，∠ABC＝90°，∴∠AMH＝∠FEH，∵H是AF的中点，∴AH＝FH，∴△AMH≌△FEH（AAS），∴AM＝FE＝CE，MH＝EH，∴BM＝BE，∵∠ABC＝90°，ME＝HE；∴BH⊥HE，BH＝12（2）结论仍然成立．BH⊥HE，BH＝HE．理由如下：延长EH交BA的延长线于点M，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ABE＝∠BEF＝90°，AB＝BC，AB∥CD∥EF，CE＝FE，∴∠HAM＝∠HFE，∴△AHM≌△FHE（ASA），∴HM＝HE，AM＝EF＝CE，∴BM＝BE，∵∠ABE＝90°，EM＝EH；∴BH⊥EH，BH＝12（3）延长EH到M，使得MH＝EH，连接AH、BH，如图3所示：同（2）得：△AMH≌△FEH（SAS），∴AM＝FE＝CE，∠MAH＝∠EFH，∴AM∥BF，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM+∠CBE＝90°，∵∠BCE+∠CBE＝90°∴∠BAM＝∠BCE，∴△ABM≌△CBE（SAS），∴BM＝BE，∠ABM＝∠CBE，∴∠MBE＝∠ABC＝90°，EM＝MH＝EH，∵MH＝EH，∴BH⊥EH，BH＝12在Rt△CBE中，BE＝2−CE2＝12，∵BH＝EH，BH⊥EH，BE＝6√2．∴BH＝√22练习1-2（1）如图1，在线段AB上取一点C（BC＞AC），分别以AC、BC为边在同一侧作等边①ACD与等边①BCE，连结AE、BD，则ACE经过怎样的变换（平移、轴对称、旋转）能得到①DCB？请写出具体的变换过程；（不必写理由）【A】（2）如图2，在线段AB上取一点C（BC＞AC），如果以AC、BC为边在同一侧作正方形ACDG与正方形CBEF，连结EG，取EG的中点M，设DM的延长线交EF于N，并且DG=NE；请探究DM与FM的关系，并加以证明；【B】（3）在图2的基础上，将正方形CBEF绕点C顺时针旋转（如图3），使得A、C、E在同一条直线上，请你继续探究线段MD、MF的关系，并加以证明．【解析】（1）将①ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到①DCB；理由如下：①①ACD和①BCE是等边三角形，①AC＝CD，CE＝CA，①ACD＝①BCE＝60°，①①ACE＝①DCB，在①ACE和①DCB中，，①①ACE①①DCB（SAS），①将①ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到①DCB；（2）如图，相等且垂直．理由如下：①EF①GD，①①NEM＝①DGM，在①MGD和①MEN中，，①①MGD①①MEN（SAS），①DM＝NM，在Rt①DNF中，FM＝DN＝DM，①NE＝GD，GD＝CD，①NE＝CD，①FN＝FD，即FM①DM，①DM与FM相等且垂直．（3）MD与MF相等且垂直．理由如下：延长DM交CE于N，连接DF、FN，如图所示：根据（2）可以得到①MGD①①MNE，①DM＝NM，NE＝DG，①①DCF＝①FEN＝45°，DC＝DG＝NE，FC＝FE，①在①DCF和①NEF中，，①①DCF①①NEF（SAS），①DF＝FN，①DFC＝①NFE，①①DFN＝90°，即①FDN为等腰直角三角形，①DM＝NM，即FM为斜边DN的中线，①FM＝DM＝NM＝DN，且FM①DN，则FM＝DM，FM①DM．练习1-3如图，已知①BAD和①BCE均为等腰直角三角形，①BAD=①BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时（如图1），求证：M 为AN 的中点；（2）将图1中的①BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时（如图2），求证：①ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中①BCE 绕点B 旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【解析】（1）证明：如图1，①EN①AD ，①①MAD=①MNE ，①ADM=①NEM ．①点M 为DE 的中点，①DM=EM ．在①ADM 和①NEM 中，①MAD MNE ADM NEM DM EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①①ADM①①NEM ．①AM=MN ．①M 为AN 的中点．（2）证明：如图2，①①BAD 和①BCE 均为等腰直角三角形， ①AB=AD ，CB=CE ，①CBE=①CEB=45°． ①AD①NE ，①①DAE+①NEA=180°．①①DAE=90°，①①NEA=90°．①①NEC=135°．①A ，B ，E 三点在同一直线上， ①①ABC=180°-①CBE=135°．①①ABC=①NEC ．①①ADM①①NEM （已证），①AD=NE ．①AD=AB ，①AB=NE ．在①ABC 和①NEC 中，AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABC①①NEC ．①AC=NC ，①ACB=①NCE ．①①ACN=①BCE=90°．①①ACN 为等腰直角三角形．（3）①ACN 仍为等腰直角三角形．证明：如图3，延长AB 交NE 于点F ，①AD①NE ，M 为中点，①易得①ADM①①NEM ，①AD=NE ．①AD=AB ，①AB=NE ．①AD①NE ，①AF①NE ，在四边形BCEF 中，①①ACN=①BFE=90°①①FBC+①FEC=360°-180°=180°①①FBC+①ABC=180°①①ABC=①FEC在①ABC 和①NEC 中，AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABC①①NEC ．①AC=NC ，①ACB=①NCE ．①①ACN=①BCE=90°．①①ACN 为等腰直角三角形．练习1-4图1，在①ABC中，①ACB=90①，点D、点E分别在AC、AB边上，连结DE、DB，使得①DEA=90①，若点O是线段BD的中点，连结OC、OE，则易得OC=OE；操作：现将①ADE绕A点逆时针旋转得到①AFG(点D. 点E分别与点F. 点G对应)，连结FB，若点O是线段FB的中点，连结OC、OG，探究线段OC、OG 之间的数量关系；(1)如图2，当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，当点G在线段CA上时，线段OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图4，在①ADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系是否发生了变化?请直接写出结论，不用说明理由.【解析】（1）当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG成立理由：如图2，延长GF，CO相较于点D，①①ACB=①FGA=90°，①GD①BC，①①BCO=①D ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①①BOC①①FOD ，①OC=OD ，在Rt①CDG 中，OG=21CD=OC ，（2）当点G 在线段CA 上时，线段OC=OG 是成立，理由：如图3，延长GF ，CO 相较于点D ，①①ACB=①FGA=90°，①GD①BC ，①①BCO=①D ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①OC=OD ，在Rt①CDG 中，OG=21CD=OC ，（3）在①ADE 的旋转过程中，线段OC 、OG 之间的数量关系不发生了变化，理由：如图4，连接CG ，延长GF 交BC 于M ，过点F 作FD①BC ，连接DG ，①①BCO=①FDO ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①①BOC①①FOD ，①OC=OD ，BC=DF由题意知，①AFG①①ABC ，①AF/AB=FG/BC ，①AF/AB=FG/DF ，①①ACB=①AGF=90°，①点A ，C ，M ，G 四点共圆，①①CAG=①BMG ，①FD①BC ，①①GFD=①BMG ，①①CAG=①GFD ，①AF/AB=FG/DF ，①①GAC①①GFD ，①①CGD=①ACF=90°，①OC=OD ， ①OG=21CD=OC ．点评此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解本题的关键是判断出①BOC①①FOD ，难点是（3）中判断出①CGD=90°．练习1-5已知：点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ．点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是__________；（2）当点P 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P 在线段OA 的延长线上运动，当∠OEF=30°时，试探究线段CF 、AE 、OE 之间的关系．【解析】（1）①AE①PB ，CF①BP ，①①AEO=①CFO=90°，在①AEO 和①CFO 中，①AEO=①CFO①AOE=①COFAO=OC ，①①AOE①①COF ，①OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE-AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，①AE①BP，CF①BP，①AE①CF，①①EAO=①GCO，在①EOA和①GOC中，①EAO=①GCOAO=OC①AOE=①COG，①①EOA①①GOC，①EO=GO，AE=CG，在Rt①EFG中，①EO=OG，①OE=OF=GO，①①OFE=30°，①①OFG=90°-30°=60°，①①OFG是等边三角形，①OF=GF，①OE=OF，①OE=FG，①CF=FG+CG，①CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，①AE①BP，CF①BP，①AE①CF，①①AEO=①G，在①AOE和①COG中，①AEO=①G①AOE=①GOCAO=OC，①①AOE①①COG，①OE=OG，AE=CG，在Rt①EFG中，①OE=OG，①OE=OF=OG，①①OFE=30°，①①OFG=90°-30°=60°，①①OFG是等边三角形，①OF=FG，①OE=OF，①OE=FG，①CF=FG-CG，①CF=OE-AE．练习1-6如图1，在Rt①ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（1）（2）【探究证明】把①ADE 绕点A 逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把①ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出线段AP 长度的最大值和最小值．图1 图2【答案】（1）AP ＝BE ，P A ①BE ；（2）（3）见解析．【解析】（1）设P A 交BE 于点O ．①AD ＝AE ，AC ＝AB ，①DAC ＝①EAB ，①①DAC ①①EAB ，①BE ＝CD ，①ACD ＝①ABE ，①①DAC ＝90°，DP ＝PC ，①P A ＝CD ＝PC ＝PD ， ①P A ＝BE ，①C ＝①P AE ， ①①CAP +①BAO ＝90°，①①ABO +①BAO ＝90°，①①AOB ＝90°，①P A ①BE ，（2）结论成立．121212理由：延长AP 至M ，使PM ＝P A ，连接MC ，延长P A 交BE 于O ．①P A ＝PM ，PD ＝PC ，①APD ＝①CPM ，①①APD ①①MPC ，①AD ＝CM ，①ADP ＝①MCP ，①AD ①CM ，①①DAC +①ACM ＝180°，①①BAC ＝①EAD ＝90°，①①EAB ＝①ACM ，①AB ＝AC ，AE ＝CM ，①①EAB ①①MCA ，①BE ＝BM ，①CAM ＝①ABE ，①P A ＝AM ，P A ＝BE ， ①①CAM +①BAO ＝90°，①①ABE +①BAO ＝90°，①①AOB ＝90°，①P A ①BE ．（3）①AC ＝10，CM ＝4，①10﹣4≤AM ≤10+4，①6≤AM ≤14，①AM ＝2AP ，①3≤P A ≤7．①P A 的最大值为7，最小值为3．1212练习1如图，在矩形ABCD 中，①BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F .（1）若AB =2，AD =3，求EF 的长；（2）若G 是EF 的中点，连接BG 和DG ，求证：DG =BG .【解析】（1）EC=CF=1 EF=2（2）连接CG ，易证△CGD ≌△CGB ，∴DG=BG练习小题1.如图所示，在①ABC 中，AD 是①BAC 的平分线，M 是BC 的中点，ME①AD 且交AC 的延长线于E ，CE=21CD ，求证：①ACB=2①B ．【解析】延长EM 交AB 于F ，过B 作BG①EF 交AD 的延长线于K ，交AE 的延长线于G ，设AK ，EF 交于H ，连接DG ，①AD 是①BAC 的平分线，①①BAH=①EAH ，①ME①AD ，①①AHF=①AHE ，在①AFH 与①AEH 中，①FAH=①EAH AH=AH ①AHF=①AHE ，①①AFH①①AEH ，①FH=EH ，①AH 垂直平分EF ，①AK 垂直平分BG ，①AB=AG ，①EF①BG ，BM=CM ， ①CE=21CG ， ①CE=21CD ，①CD=CG ，①①CDG=①CGD ，①①ACB=①CDG+①CGD=2①CGD ，在①ABD 与①AGD 中，AB=AG ①BAD=①GAD AD=AD ，①①ABD①①AGD ，①①ABC=①AGD ，①①ACB=2①B ．点评本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，90ABD CBE ∠=∠=︒，BA BD =，BC BE =，延长CB 交DE 于F .求证：EF DF =.【解析】3.已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AG HG =.求证：BH AC =.【解析】4.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC ＞2AD ．【解析】证明：延长AD 到M ，使AD=DM ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∵AD=DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM=AC ，在△ABM 中，AB+BM>AM ，即AB+AC>2AD ．5.如图所示，BCD ∆和BCE ∆中，90BDC BEC ∠=∠=︒，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于A ，120BAC ∠=︒，求证：DE OE =.【解析】法一：连接OD.∵∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点∴B ，C ，D ，E 四点共圆，且圆心为O∴OD=OE ，∠COD=2∠CBD ，∠BOE=2∠BCE∵∠BAC=120°∴∠CBD+∠BCE=60°∠COD+∠BOE=120°∴∠DOE=60°∴△DOE 是等边三角形∴DE=OE法二：如图，连接OD ，∵∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点，∴OD=OE=OB=OC ，∴∠CBA=∠BDO ，∠BCA=∠CEO ，由三角形的外角性质得，∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA ，∠COD=∠CBA+∠BDO=2∠CBA ，∵∠BAC=120°，∴∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°，∴∠DOE=60°，∴△DOE 是等边三角形，∴DE=OE ．6.如图所示，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：2BAC BAD ∠=∠.【解析】延长FE ，截取EH=EG ，连接CH①E 是BC 中点，那么BE=CE①BEG=①CEH①①BEG①①CEH(SAS)①①BGE=①H ，那么①BGE=①FGA=①HBG=CH①CF=BG①CH=CF①①F=①H=①FGA①EF①AD①①F=①CAD ，①BAD=①FGA①①CAD=①BAD那么AD 平分①BAC7.如图，在四边形ABCD 中，①ABC =90°，AC =AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2，则BN 的长为____________．【解析】28.如图，在□ABCD 中，AD =2AB ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，连接CF ，NMDC B A则下列结论：△BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．其中一定正确的是_________．【解析】①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠BCD=2∠DCF ，故①正确； ②延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM ，∴△AEF ≌△DMF （ASA ）， AB C DE F∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，∴∠ECF=∠CEF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC>BE，∴S△BEC<2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故答案为：①②④．9.如图，在①ABC中，点D是BC的中点，若AB=5，AC=13，AD=6，则BC的长为____________．【解析】延长AD 到E ，使DE=AD=6，连接BE ，CE ．①CD=BD ，①四边形ABEC 是平行四边形，①AB①CE ，EB=CA=13；①52+122=132，①①CEA=90°，①①EAB=90°，=．10.如图，在①ABC 中，①ACB =60°，AC =1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分①ABC 的周长，则DE 的长是___________．【解析】23 ECB A11.如图，在四边形ABCD 中，AD ①BC ，①D =90°，AD =4，BC =3，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ．作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（）A． B ．4 C ．3 D【解析】10F EDC B A O。

椭圆的中点弦问题专题培优训练含解析

椭圆的中点弦问题
一、单选题
1．平行四边形
ABCD 内接于椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)，椭圆的离心率为
3 ，直线 AB 2
的斜率为 1，则直线 AD 的斜率为（）
参考知识：椭圆内接平行四边形的对称中心就是椭圆的对称中心.
A．
1 4
C． 3 2
B． 1 2
D． 1
【答案】A
【分析】利用点差法求得直线 AD 的斜率.
【详解】（1）将
0,
4
代入
C
的方程得
16 b2
1，则
b
4
，
e
c a
3 ， a2 b2
5
a2
9 25
，即
1
16 a2
9， 25
a 5 ，椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 ．
25 16
（2）过点 3, 0 且斜率为 4 的直线方程为 y 4 x 3 ，
5
5
设直线与 C 的交点为 A x1, y1 ， B x2 , y2 ．
3．过点 M 2,1 的直线 l 与椭圆 x2 y2 1相交于 A,B 两点，且 M 恰为 A,B 中点，则直
16 8
线 l 的方程为
.
【答案】 x y 3 0
【分析】结合点差法求得直线 l 的方程.
【详解】椭圆 a2 16, b2 8, a 4, b 2 2 ，
由 x2 y2 1，令 x 2 得： 22 y2 1, y 6 1 ，所以 M 在椭圆内，
1
①， x22 y22 84
1
②， x1 x2
2
x，y1 y2 2
y，
由①−②可得： x12 x22 8

七年级数学线段中点专题

七年级数学线段中点专题摘要：一、线段中点概念解析1.线段中点的定义2.线段中点与线段长度关系二、线段中点问题类型及解题方法1.已知线段长度求中点坐标2.已知中点坐标求线段长度3.线段中点与线段长度关系的应用题三、线段中点专题训练1.基础题型训练2.进阶题型训练3.综合题型训练四、线段中点在实际问题中的应用1.求解距离问题2.求解角度问题3.求解面积问题正文：一、线段中点概念解析1.线段中点的定义：线段中点是指在线段上，将线段分成两个相等部分的一个点。

用数学符号表示为：M=(A+B)/2，其中A、B为线段两个端点的坐标，M为线段中点的坐标。

2.线段中点与线段长度关系：已知线段CD的长度，若CD是线段BC的一半，则BC长度可求出。

根据3AB=BC，即可求出AB的长度，进而可求出AC 的长度。

二、线段中点问题类型及解题方法1.已知线段长度求中点坐标：设线段AB的两个端点坐标为A(x1, y1)和B(x2, y2)，线段长度为AB=|x2-x1|。

根据中点公式，可求出线段中点M的坐标为M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

2.已知中点坐标求线段长度：已知线段中点M的坐标为(Mx, My)，求线段AB的长度。

根据中点公式，可得线段AB的两个端点坐标为A(2Mx-x, 2My-y)和B(2Mx+x, 2My+y)，进而求出线段AB的长度为AB=|2Mx+x-2Mx+x|=|x|。

3.线段中点与线段长度关系的应用题：已知线段AB的长度为6，中点M 的坐标为(2, 3)，求线段AM和MB的长度。

根据中点公式，可求出线段AM 和MB的长度分别为AM=MB=3。

三、线段中点专题训练1.基础题型训练：求解已知线段长度求中点坐标的问题。

例如，线段AB 的长度为10，端点A的坐标为(1, 2)，求线段中点M的坐标。

2.进阶题型训练：求解已知中点坐标求线段长度的问题。

例如，线段中点M的坐标为(3, 4)，求线段AB的长度。

(完整版)2014年几何专题训练中点四边形难题突破【原创】

中点四边形训练几何专题一．选择题（共5小题）1．顺次连接圆内接梯形四边的中点所得的四边形是（)A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形2．顺次连接凸四边形各边中点所得到的四边形是正方形时,原四边形对角线需满足的条件是（）A．对角线相等且垂直C．对角线垂直B．对角线相等D．一条对角线平分另一条对角线3．如图，在四边形ABCD中，E,H，F，G分别是AB，BD，CD,AC 的中点，要使四边形EHFG为菱形，需要添加条件（)A．AC=BD B．AD=CD C．AB=BC D．AD=BC4．下列说法正确的是（）A．依次连接任意四边形各边中点可以得到一个矩形B．依次连接矩形各边的中点能得到一个矩形C．依次连接正方形各边的中点能得到一个正方形D．依次连接菱形各边的中点能得到一个菱形5．如图，矩形ABCD中,AB=6,AD=8,顺次连结各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2…,依此类推，则四边形A7B7C7D7的周长为（）A．14B．10C．5D．2.5二．解答题（共9小题）6．如图,在四边形ABCD中，AC=BD，且AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．7．如图，在四边形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．(1）求证：四边形EFGH是菱形；(2)若AC=8，求EG2+FH2的值．8．如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AC、AB的中点,BD与CE交于点O．点F、G分别是线段BO、CO的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；(2）如图2，若AO=BC，求证:四边形DEFG是菱形；（3)若AB=AC，且AO=BC=6,直接写出四边形DEFG的面积．9．如图,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．(1）判断四边形EFGH的形状，并说明你的理由；(2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形．（不要求证明）10．已知：如图，四边形ABCD中,对角线相交于点O、E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．（1）请说明四边形EFGH的形状,并证明你的结论;(2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．11．课题学习:(1)如图1，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是_________ 形，正方形ABCD的面积记为S1，EFGH的面积为S2,则S1和S2间的数量关系：_________ ；（2)如图2，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是_________ 形，菱形ABCD的面积为S1，EFGH的面积为S2，则S1和S2间的数量关系：_________ ；(3）如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD,垂足为O，E、F、G、H分别为各边的中点．四边形EFGH是_________ 形；若梯形ABCD的面积记为S1,四边形EFGH的面积记为S2，由图可猜想S1和S2间的数量关系为：_________ ；(4）如图4，E、G分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点，H、F分别是边形AD、BC 上的点，且四边形EFGH为平行四边形，若把平行四边形ABCD的面积记为S1，把平行四边形形EFGH的面积记为S2，试猜想S1和S2间的数量关系，并加以证明．12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．试判断线段MN、PQ的关系，并加以证明．13．如图,梯形ABCD中，AD∥BC,M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．求证:MN 和PQ互相平分．14．证明：中点四边形的面积为原四边形面积的一半（不用相似三角形)．。

中点问题专题训练一

中点问题专题训练一1、阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD至E，使DE=AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD在△BDE和△CDA中：BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，DE＝DA ∴△BDE≌△CDA（依据一）∴BE=CA 在△ABE中，AB+BE＞AE（依据二）∴AB+AC＞2AD．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE=AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，AD是BC边上的中线，AB=3，AC=4，则AD的取值范围是任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE=90°，AB=AE；Rt△ACF中，∠CAF=90°，AC=AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由．2、如图，AD 是△ABC 的中线，AB=8，AC=6则AD 的取值范围是（） A ．6＜AD ＜8 B ．6≤AD ≤8 C ．1＜AD ＜7 D ．1≤AD ≤7B3、在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，（1）如图1，求证：AB+AC ＞2AD ；（2）如图2，若∠BAC ＜90°，作EA ⊥AC ，FA ⊥BA ，且AE=AC ，AF=AB ，连接EF ，写出AD 与EF 的数量关系，并证明．BA图1 图24、已知，如图：AD 是△ABC 的中线，AE ⊥AB ，AE=AB ，AF ⊥AC ，AF=AC ，连结EF ．试猜想线段AD 与EF 的关系，并证明．5、如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，求证：（1）12AM CD；（2）AM⊥CD.6、如图等腰直角△ABC中，∠ACB= 90°，点D在BA的延长线上，连接CD，过C作CE⊥CD,使CE=CD，连接BE，若点N为BD 的中点，连接CN、BE.（1）求证：AB⊥BE; (2)AE=2CN.D7、如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠∠ACB=DCE=90°，AC=BC，DC=EC．连接AE、BD，点F为线段BD的中点，连接CF，求证：（1）AE=2CF；（2）⊥AE CF；8、如图1，△AOB中，∠AOB= 90°，AO=BO,点C在边AB上,连接CO，过点O作CO的垂线，在垂线上取点D，使DO=CO,连接BD，CD.（1）求证：BD⊥AB；（2）如图2，取线段BC的中点E，连接OE，AD，求证：OE⊥AD且AD=2OE.ADAD 图1 图2。

中点四边形专题训练

4.若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形
ABCD一定是( D )
A.矩形 B.菱形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形
5.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的四条边的中点．则下列说法中
正确的是( D )
A.若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形； B.若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形； C.若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分． D.若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
中点四边形专题训练
八年级下册《平行四边形》小专题
复习回顾
中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
A
D
E
B
C
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据.
复习回顾
图形任意四边形平行四边形
矩形菱形正方形
对角线的性质
无互相平分相等,互相平分互相垂直,互相平分相等,互相垂直,互相平分
归纳小结 1.中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切关系； 2.两条对角线相等的四边形，中点四边形是菱形； 3.两条对角线互相垂直的四边形，中点四边形是矩形； 4.两条对角线相等且互相垂直的四边形，中点四边形是正方形.
小试牛刀题型一：中点四边形的判定
1.矩形的中点四边形为( C )
课外思考中点四边形的面积接任意四边形各边中点所成的四边形是什么形?
已知：如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点.
求证：四边形EFGH为平行四边形。
证明：连接AC
∵ E、F是AB、BC边中点
∴EF∥AC且EF＝
1
AC

八年级数学角平分线、中点专题训练试题

A DBC八年级数学角平分线、中点专题训练试题【例题讲解】（一）过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题．1．如图在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ．求证：︒=∠+∠180C A .2．已知：如图，在∆ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠1=∠2，求证：BC=AB+AD ． 3．如图，□ABCD 中，E 是DC 上一点，F 是AD 上一点，AE 交CF 于点O ，且AE=CF.求证：OB 平分AOC ∠.（二）有和角平分线垂直的线段时，把它延长可得到中点或相等的线段，从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系．4．已知：如图，∠1=∠2，AB ﹥AC ，CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点，求证：DH=21（AB －AC ）． 5．已知：如图，AB=AC ，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE ⊥BE ，求证：BD=2CE（三）有角平分线时，常作平行线，构造等腰三角形。

（角平分线+平行线⇒三角形.）6．已知：如图，)(AC AB ABC ≠∆中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠. （四）作斜边中线，利用斜边中线性质解题7.如图，在ABC Rt ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，O 为BC 的中点. ①写出点O 到ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不变证明）②如果点N 、M 分别在线段AB 、AC上移动，在移动中保证AN=BM ，请判断OMN 的形状，并证明你的结论.M（五）有底中点，连中线，利用等腰三角形三线合一性质证题8.已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点，求证：FD BF ⊥.（六）有中线时可延长中线，构造全等三角形或平行四边形： 9．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：AD AC AB 2>+.10.已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=.11．已知：如图，ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.（七）有中点，造中位线12.如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，B C ∠=∠21，点E 为BC 的中点，求证：AB=2DE.D13.已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->21.（八）与梯形中点有关的辅助线：①有腰中点时，常见以下三种引辅助线法14.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC AB >，M 为AD 中点，且CM BM ⊥. 求证：（1）BM 平分ABC ∠，CM 平分DCB ∠.（2）BC CD AB =+.15.已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.AD FEBCB（1B（2GB（3B【随堂练习】1.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADC．(1)求证：△ACD≌△CNBF；(2)当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?证明你的结论．2、如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM＝AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C=60°，BC＝2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连结DF，求DF的长．例1.如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为．例2.△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：CO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?AD ，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.（1）求例3.如图，ABCD为平行四边形，a证：DF=FE；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.例4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD=x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？例5.阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个便点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB(如图2)．解答问题；(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S l、S2，则S1 S2(填“>”，“=”或“<”)；(2)如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图3把它画出来；(3)如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出个，利用图4把它画出来；(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?【随堂练习】1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是C M2．(1)如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ：∠BAE ＝3：1，则∠CAC ＝； (2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为_______cm 2．3．如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、 △BCE 、△ACF ．(1)四边形ADEF 是； (2)当△ABC 满足条件时，四边形ADEF 为矩形； (3)当△ABC 满足条件时，四边形ADEF 不存在．4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+3，则这两边之积为．5．如图，ABCD 中，M 是AB 上的一点，连结CM 并延长交DA 的延长线于P ，交对角线BD 于N ，求证：NP MN CN ⋅=218．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠ACD ⑴请再写出图中另外一对相等的角；⑵若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD 的中位线的长度。

03中考数学对角线和中点的专题

精典专题三对角线和中点的专题一、兴趣导入:阳光生活，健康至上。

第一部分巧用对角线1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A 对角线互相平分；B 对角线互相垂直；C 对角线相等；D 对角线互相垂直平分且相等。

2.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积为（）A 8B 24C 28D 163.如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是（）A 平行四边形B 菱形C 正方形D 矩形4.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）A 2条B 4条C 5条D 6条5.四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8，DB=6，BC DH 于点E ，则DH 的长为（）A 2.4B 3.6C 4.8D 6（6题）6.平行四边形ABCD 的对角线AC\BD 相交于点O ，AB=11，三角形OCD 的周长为27，则AC+BD=7.8.9.(沈阳中考）10.如图所示，延长等腰△ABC的腰BA至点D，使AD=BA，延长腰CA至点E，使AE=CA，连结CD，DE，EB，求证：四边形BCDE 是矩形11.第二部分中点的应用[知识回顾]1.与中点有关的内容主要包括三角形的中位线、梯形的中位线、直角三角形斜边上的中线等.（1）等腰三角形底边的中线、底边的高与顶角的角平分线“三线合一”。

（2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；.（3）梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半；（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；2.中点四边形（1）顺次连接四边形四边的中点得到一个平行四边形；（2）顺次连接对角线相等的四边形四边的中点得到一个菱形；（3）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点得到一个矩形；（4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点得到一个正方形；三．重点突破类型一：直角三角形斜边的中线（B ）【典型例题1】如图1在△ABC 和△ABD 中，已知,ACB ADB Rt ∠=∠=∠,E F 分别为边AB 和CD 的中点，求证：.EF CD ⊥〖搭配练习〗（A ）1．如图2，在四边形ABCD 中，,ABC ADC Rt ∠=∠=∠P 为线段AC 的中点，连接,,.BD PB PD 试问：PBD ∠与PDB ∠有何关系？说明理由.类型二：中线倍长的用法（A ）【典型例题2】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，求证：()1.2AD AB AC <+（B ）【典型例题3】如图6，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，BF 交AD 于点E ，交AC 于点F ，且满足AF EF =，求证：.BE AC =〖搭配练习〗（A ）1．三角形的两边长分别为3和5，试求第三边的中线长x 的取值范围.（B ）2．如图7，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，DA AC ⊥于点A ，120BAC ∠=︒，求证：2.AB AC =（C ）3．如图8，在△ABC 中，D 为BC 边上的中点，且.ED DF ⊥求证：.BE CF EF +>类型三：三角形的中位线与梯形的中位线（A ）【典型例题4】如图9在△ABC 中，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，点E 是BC 边上的中点，3,5AB AC ==，试求线段DE 的长.（C ）【典型例题5】如图10，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC BD ⊥于O ，试判断AB CD +与AD BC +的大小，并证明你的结论.〖搭配练习〗（C ）1．如图11，在△ABC 中，BE 、CD 分别为ABC ∠与ACB ∠的平分线，AM CD ⊥于点M ，AN BE ⊥于点N ，连接MN ，求证：MN ∥BC .（B ）2. 如图12，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ,中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF =18 cm ，MN =8 cm ，求AB 的长.类型四：四边形的中点（B）【典型例题6】如图14，△ABC与△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，分别取AB、BD、DE、EA边的中点M、N、P、Q，连接MN、NP、PQ、QM，试判断四边形MNPQ的形状，说明理由.（B）【典型例题7】如图15，在菱形ABCD中，∠A=110°，E、F分别是边AB和BC的中点，EP⊥C D于点P，则∠FPC= ( ) A. 35°B45° C. 50° D. 55°〖搭配练习〗（A）1．如图16，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9 C．10 D．11（B）2．如图17，在□ABCD中,AD=2AB,M是AD的中点，CE⊥AB于点E，∠CEM=40°，则∠DME是（） A.150° B.140° C.135° D.130°（B）3．如图18，已知：梯形ABCD中，AB//CD，且BM⊥CM，M是AD的中点，试说明AB＋CD=BC.（B）4．已知：如图19，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD＋CP.求证：AQ平分∠DAP.五．课后作业基础训练题（A类）1、如图25，在△ABC中，AB=A C,延长AB到D,使BD=AB,E为AB中点，连结CE,CD,求证：CD=2EC2、已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE=CD，过点E作EF∥AB交AD于点F，EF=AC.求证：AD平分∠BAC3、已知：如图29，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线。

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D G
A E F B
重心及中点专题训练
1、直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）
A ．相等且平分
B ．相等且垂直
C ．垂直平分
D ．垂直平分且相等 2、以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（）
A ．平行四边形
B ．矩形 ,
C ．菱形
D ．正方形 3、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（）
A ．65
B ．9
5 C ．125 D ．16
5 4、如图2所示，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则
ABCD
AGCD S S 矩形四边形=（）
A 、65
B 、54
C 、43
D 、3
2
5、如图3，△ABC 中，AD 是BC 中线，点G 是重心，S △ABC =36，GE ∥AC ，则S △GDE =
6、如图4，已知，△ABC 中，G 是三角形的重心，AG ⊥GC ，AG=4，GC=3，则BG= 。

7、如图6，在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若△BOD 的面积等于5，则S △ABC = 。

8、△ABC 中,AB=AC,高AD=18,中线BE=15，则BC= 。

9、如图7所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，点E 是CD 的
中点，连接AE 、 BE 。

若梯形ABCD 的面积为18，则S △ABE = 。

10、如图8，DE 是△ABC 的中位线，点F 是DE 的
中点，连结CF 并延长交AB 于点G 。

则
DG:AG= 。

11、如图，△ABC 中，D 为BC 中点，AB=5，AD=6，AC=13。

求证：AB ⊥AD
D
C
E
A
B
图7
B G D
E
A
C
O
B
D
A
E C
G
B
A C
图8
图2
图3
图,4
图6
图5
C
12、已知如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点，（1）判断EF 和DG 有何关系并证明；（2）求证：ABC OGD S S △△12
1
=。

13、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，以AD 、AC 为边作□ACED ， DC 的延长线交EB 于F 。

求证：EF = FB 。

14、在梯形ABCD 中,BC AD 平行于，E 、F 分别DB 、AC 是中点。

求证：)(2
1
AD BC EF -=
B
A
F
E D
C
B
F
G
O
E
C
D A
B
D F
E C
A
15、已知：在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AF 为∠BAC 的平分线，交BD 于E ，BC 于F ．求证： FC OE 2
1
=
16、如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，ME ⊥AD 且交AC 的延长线于E ，CD ＝2CE ，
求证：∠ACB ＝2∠B 。

17、如图，以△ABC 的AB 、AC 边为斜边向形外作Rt △ABD ，和Rt △ACE ，且使∠ABD=∠ACE=α，M 是BC 的中点，（1）求证：DM=ME ；（2）求∠DME 的度数。

E C
D O
F
B
A C E
D
M
A
B M
C B
D E
A
18、如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PGPC 。

若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，
⑴探究PG 与PC 的位置关系及PG
PC
的值。

⑵将上图中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图)。

你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。

P D
C G F
E
B
A
D
C G
F E
A
B
P。