七年级数学下学期能力大赛试题(含解析)北师大版

2016年山东省泰安市东平县七年级能力大赛数学试卷
一、选择题（本题共有15小题，每小题3分，共45分）
1．若关于x 的二元一次方程kx+3y=5有一组解是，则k 的值是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．0
D ．2
2．给出下列四个结论：①任意命题均有逆命题；②当逆命题为真命题时，它统称为逆定理；③任何定理均有逆定理；④定理总是正确的，其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
3．下列命题中，属于定义的是（ ）
A ．两点确定一条直线
B ．两直线平行，内错角相等
C ．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D ．同角或等角的余角相等
4．如果一次函数y=3x+6与y=2x ﹣4的图象交点坐标为（a ，b ），则是方程组（ ）
的解．
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，已知直线AB ∥CD ，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=（ ）
A ．70°
B ．80°
C ．90°
D ．100°
6．如图，a ∥b ，∠1=105°，∠2=140°，则∠3的度数是（ ）
A ．75°
B ．65°
C ．55°
D ．50°
7．下列命题中的假命题是（ ）
A ．同位角相等，两直线平行
B ．内错角相等，两直线平行
C ．同旁内角互补，两直线平行
D ．对顶角相等，两直线平行
8．下列事件是随机事件的是（ ）
A ．购买一张福利彩票中奖
B ．400人中至少有两人的生日在同一天
C ．有一名运动员奔跑的速度是30米/秒
D ．在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
9．均匀的正四面体的各面上依次标有1，2，3，4四个数字，同时抛掷两个这样的正四面体，着地的一面数字之和为5的概率是（）
A．B．C．D．
10．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE 的长为（）
A．10 B．8 C．5 D．2.5
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（）
A．180°B．360°C．540°D．720°
12．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）
A．a≤3 B．a≥3 C．a＜3 D．a＞3
13．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）
A．B．C．D．
14．已知，∠AOB=30°，点M1，M2，M3…在射线OB上，点N1，N2，N3…在射线0A上，△M1N1M2，△M2N2M3，△M3N3M4…均为等边三角形．若OM1=1，则△M9N9M10长为（）
A．32 B．64 C．128 D．256
15．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是（）
A ．AD=CE
B ．MF=CF
C ．∠BEC=∠CDA
D ．AM=CM
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
16．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果把个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为______．
17．已知等腰三角形的一个角是36°，则另两个角分别是______．
18．一个不透明的口袋中装有若干个颜色不同其余相同的球，如果口袋中有4个红球且摸到
红球的概率是，那么口袋中球总数是______．
19．已知是方程组的解，那么一次函数y=x ﹣和y=8﹣2x 的交点坐标是______．
20．一次函数y=﹣x+3与y=﹣3x+12的图象的交点坐标是______．
21．如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分．谁先累积到10分，谁就获胜．你认为______获胜的可能性更大．
三、解答题（解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤，22题每小题12分）
22．（1）
（2）
（3）解不等式组
．
23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD=DC=BC ，求∠A 的度数．
24．如图，直线l1、l2相交于点A，试求出点A的坐标．
25．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，且AD=AB．
（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF=AD
（2）如图2，如果∠EDF=60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．
2016年山东省泰安市东平县七年级学科能力大赛数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有15小题，每小题3分，共45分）
1．若关于x的二元一次方程kx+3y=5有一组解是，则k的值是（）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【考点】二元一次方程的解．
【分析】根据方程的解的定义，把代入方程kx+3y=5，得到一个含有未知数k的一元一次方程，从而可以求出k的值．
【解答】解：把代入方程kx+3y=5，得
2k+3=5，
∴k=1．
故选A．
2．给出下列四个结论：①任意命题均有逆命题；②当逆命题为真命题时，它统称为逆定理；
③任何定理均有逆定理；④定理总是正确的，其中正确的是（）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【考点】命题与定理．
【分析】根据命题、逆命题，定理、逆定理之间的关系分别判断即可．
【解答】解：①每个命题都有逆命题，正确；
②当逆命题为真命题时，它统称为逆定理；错误；
③任何定理均有逆定理；错误；
④定理总是正确的，正确；
综上所述，正确的是①④，
故选D．
3．下列命题中，属于定义的是（）
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，内错角相等
C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D．同角或等角的余角相等
【考点】命题与定理．
【分析】根据定义的属性进行判断．
【解答】解：A、是直线公理，故错误；
B、是平行线的性质，故错误；
C、是点到直线的距离的定义，正确；
D、是余角的性质，故错误，
故选C．
4．如果一次函数y=3x+6与y=2x﹣4的图象交点坐标为（a，b），则是方程组（）
的解．
A．B．
C．D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此是联立两直
线函数解析式所组方程组的解．由此可判断出正确的选项．
【解答】解：一次函数y=3x+6与y=2x﹣4的图象交点坐标为（a，b），
则是方程组，即的解．
故选C．
5．如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=（）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】此题的解法灵活，可以首先根据平行线的性质求得∠EFB，再根据三角形的外角性质求得∠E；也可以首先根据平行线的性质求得∠CFB，再根据对顶角相等求得∠AFE，最后再根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：方法1：
∵AB∥CD，∠C=115°，
∴∠EFB=∠C=115°．
又∠EFB=∠A+∠E，∠A=25°，
∴∠E=∠EFB﹣∠A=115°﹣25°=90°；
方法2：
∵AB∥CD，∠C=115°，
∴∠CFB=180°﹣115°=65°．
∴∠AFE=∠CFB=65°．
在△AEF中，∠E=180°﹣∠A﹣∠AEF=180°﹣25°﹣65°=90°．
故选C．
6．如图，a∥b，∠1=105°，∠2=140°，则∠3的度数是（）
A．75° B．65° C．55° D．50°
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．
【分析】如图作出两直线的交点，由a∥b可以推出∠1+∠4=180°，然后可以求出∠4=75°．再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可以求出∠3．
【解答】解：如图作出两直线的交点，
∵a∥b，
则∠1+∠4=180°，
∴∠4=75°，
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和得到∠2=∠3+∠4，
则∠3=65°．
故选B．
7．下列命题中的假命题是（）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行
【考点】命题与定理．
【分析】根据平行线的判定方法对各选项的真假进行判断．
【解答】解：A、同位角相等，两直线平行，所以A选项为真命题；
B、内错角相等，两直线平行，所以B选项为真命题；
C、同旁内角互补角，两直线平行，所以C选项为真命题；
D、对顶角相等，不能判断两直线平行，所以D选项为假命题．
故选D．
8．下列事件是随机事件的是（）
A．购买一张福利彩票中奖
B．400人中至少有两人的生日在同一天
C．有一名运动员奔跑的速度是30米/秒
D．在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
【考点】随机事件．
【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断．
【解答】解：A、购买一张福利彩票中奖是随机事件，故选项正确；
B、400人中至少有两人的生日在同一天，是必然事件，选项错误；
C、有一名运动员奔跑的速度是30米/秒是不可能事件，选项错误；
D、在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球是不可能事件，选项错误．
故选A．
9．均匀的正四面体的各面上依次标有1，2，3，4四个数字，同时抛掷两个这样的正四面体，着地的一面数字之和为5的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，看着地的一面数字之和为5的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：同时抛掷两个这样的正四面体，有可能的结果16种，数字之和为5的是4种，
所以着地的一面数字之和为5的概率是．
10．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE 的长为（）
A．10 B．8 C．5 D．2.5
【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∠BDE=90°（线段垂直平分线的性质），
∵∠B=30°，
∴BE=2DE=2×5=10（直角三角形的性质），
∴CE=BE=10．
故选A．
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】先根据三角形外角的性质得出∠1及∠2的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠1是△CEF的外角，
∴∠1=∠C+∠E；
∵∠2是△BDG的外角，
∴∠2=∠B+∠D，
∵∠A+∠1+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故选A．
12．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）
A．a≤3 B．a≥3 C．a＜3 D．a＞3
【考点】不等式的解集．
【分析】原不等式组无解，即组成不等式组的两个不等式的解集没有交集．
【解答】解：∵关于x的不等式组无解，
∴a≤3．
故选：A．
13．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）
A．B．C．D．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】A、D是黄金三角形，C、过A点作BC的垂线即可；只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
【解答】解：A、中作∠B的角平分线即可；
C、过A点作BC的垂线即可；
D、中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；
只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选B．
14．已知，∠AOB=30°，点M1，M2，M3…在射线OB上，点N1，N2，N3…在射线0A上，△M1N1M2，△M2N2M3，△M3N3M4…均为等边三角形．若OM1=1，则△M9N9M10长为（）
A．32 B．64 C．128 D．256
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质求出△M1N1M2的边长，根据直角三角形的性质求出△M2N2M3
的边长，总结规律得到答案．
【解答】解：∵，△M1N1M2是等边三角形，∴∠N1M1M2=60°，
∴∠ON1M1=30°，
∴N1M1=OM1=1=20，
∵∠ON1M1=30°，M1N1M2=60°，
∴∠M2N1N2=90°，∠N1N2M2=30°，
∴N2M2=2N1M2=2=21，
同理M3N3=2N2M3=4=22，
以此类推，△M n N n M n+1的边长为：2n﹣1，
则△M9N9M10长为28=256
故选：D．
15．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是（）
A．AD=CE B．MF=CF C．∠BEC=∠CDA D．AM=CM
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】由等边三角形的性质和已知条件证出△AEC≌△BDA，即可得出A正确；
由全等三角形的性质得出∠BAD=∠ACE，求出∠CFM=∠AFE=60°，得出∠FCM=30°，即可得出B正确；
由等边三角形的性质和三角形的外角性质得出C正确；
D不正确．
【解答】解：A正确；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC
又∵AE=BD
在△AEC与△BDA中，
，
∴△AEC≌△BDA（SAS），
∴AD=CE；
B正确；理由如下：
∵△AEC≌△BDA，
∴∠BAD=∠ACE，
∴∠AFE=∠ACE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠CFM=∠AFE=60°，
∵CM⊥AD，
∴在Rt△CFM中，∠FCM=30°，
∴MF=CF；
C正确；理由如下：
∵∠BEC=∠BAD+∠AFE，∠AFE=60°，
∴∠BEC=∠BAD+∠AFE=∠BAD+60°，
∵∠CDA=∠BAD+∠CBA=∠BAD+60°，
∴∠BEC=∠CDA；
D不正确；理由如下：
要使AM=CM，则必须使∠DAC=45°，由已知条件知∠DAC的度数为大于0°小于60°均可，∴AM=CM不成立；
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
16．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果把个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为45 ．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和是9、新两位数﹣原两位数=9”列方程组求解可得．
【解答】解：设十位数字为x，个位数字为y，
根据题意，得：，
解得：，
∴原来的两位数为45，
故答案为：45．
17．已知等腰三角形的一个角是36°，则另两个角分别是72°，72°或36°，108°．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况进行分析，从而不难求解．【解答】解：当36°角是顶角时，另外两个角分别是72°，72°；
当36°角是底角时，另外两个角分别是36°，108°；
故答案为72°，72°或36°，108°．
18．一个不透明的口袋中装有若干个颜色不同其余相同的球，如果口袋中有4个红球且摸到
红球的概率是，那么口袋中球总数是12 ．
【考点】概率公式．
【分析】由一个不透明的口袋中装有若干个颜色不同其余相同的球，如果口袋中有4个红球
且摸到红球的概率是，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一个不透明的口袋中装有若干个颜色不同其余相同的球，如果口袋中有4
个红球且摸到红球的概率是，
∴口袋中球总数是：4÷=12．
故答案为：12．
19．已知是方程组的解，那么一次函数y=x﹣和y=8﹣2x的交点坐标
是（2，4）．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】由题意可知：两个一次函数的解析式正好是方程组的两个方程．因此方程组的解即为两个一次函数的交点坐标．
【解答】解：已知是方程组的解；
即点（2，4）同时满足一次函数y=x﹣和y=8﹣2x的解析式；
∴一次函数y=x﹣和y=8﹣2x的交点坐标是（2，4）．
20．一次函数y=﹣x+3与y=﹣3x+12的图象的交点坐标是（4.5，1.5）．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】联立两个一次函数的解析式，所得方程组的解，即为两个函数图象的交点坐标．
【解答】解：联立两个一次函数的解析式有：，
解得：；
所以两个函数图象的交点坐标是（4.5，1.5）；
故答案为：（4.5，1.5）．
21．如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分．谁先累积到10分，谁就获胜．你认为甲获胜的可能性更大．
【考点】可能性的大小．
【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．【解答】解：同时抛掷两枚硬币有以下情况：
（1）同时抛出两个正面；
（2）一正一反；
（3）一反一正；
（4）同时掷出两个反面；
乙得1分的可能性为；甲得1分的可能性为．
故甲获胜的可能性更大．
三、解答题（解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤，22题每小题12分）
22．（1）
（2）
（3）解不等式组
．
【考点】解一元一次不等式组；解二元一次方程组．
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）将x+y=8代入5x﹣2（x+y）=﹣1，消去y，得到关于x的一元一次方程，求出x的值，再求出y的值即可；
（3）首先解出不等式组每一个不等式的解集，然后找出它们的公共部分，该公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：（1），
由①得y=3x﹣5③，
把③代入②，得5x+3（3x﹣5）﹣13=0，
解得x=2，
把x=2代入③，得y=1．
故原方程组的解为；
（2），
把①代入②，得5x﹣16=﹣1，
解得x=3，
把x=3代入①，得y=5．
故原方程组的解为；
（3），
由不等式①得，x≤3，
由不等式②得，x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DC=BC，求∠A的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由AB=AC，AD=DC=BC，根据等角对等边的知识，可得∠A=∠ACD，∠B=∠ACB=∠CDB，设∠A=x°，根据等腰三角形的性质得出∠ACD=x°，∠B=∠ACB=∠CDB=2x°，然后根据三角形的内角和定理得出关于x的方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：∵AB=AC，AD=DC=BC，
∴A=∠ACD，∠B=∠ACB=∠CDB，
设∠A=x°，则∠ACD=x°，
∴∠B=∠ACB=∠CDB=2x°，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴x+2x+2x=180，
解得x=36．
故等腰三角形ABC的顶角∠A度数为36°．
24．如图，直线l1、l2相交于点A，试求出点A的坐标．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】根据待定系数法解出两个直线的解析式后列出方程解答即可．
【解答】解：设直线l1的解析式为y=ax+b，
把（1，0）（0，2）代入可得：，
解得：，
解析式为：y=﹣2x+2；
设直线l2的解析式为y=kx+c，
把（﹣3，﹣2）（﹣2，0）代入可得：，
解得：，
解析式为：y=2x+4，
因为两直线相交可得：2x+4=﹣2x+2，
解得：x=﹣0.5，
把x=﹣0.5代入y=﹣2x+2=3，
所以点A的坐标为（﹣0.5，3）．
25．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，且AD=AB．
（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF=AD
（2）如图2，如果∠EDF=60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=×120°=60°，再证出∠
ADE=∠ADF=90°﹣60°=30°，由含30角的直角三角形的性质得出AE=AD，AF=AD，即
可得出结论；
（2）连接BD，证明△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠ABD=∠DAC，得出∠EDB=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠ADE=∠ADF=90°﹣60°=30°，
∴AE=AD，AF=AD，
∴AE+AF=AD+AD=AD；
（2）解：线段AE，AF，AD之间的数量关系为：AE+AF=AD，理由如下：
连接BD，如图所示：
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠ABD=∠DAC，
∵∠EDB+∠EDA=∠EDA+∠ADF=60°，
∴∠EDB=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF，
∵AE+BE=AD，
∴AE+AF=AD．。