高考第二轮复习数学安徽文科专题四 数列第2讲 数列的求和及其综合应用

专题四 数列第2讲 数列的求和及其综合应用
真题试做
1．(2012·大纲全国高考，文6)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )．
A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1 D.12n －1 2．(2012·江西高考，文13)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任
意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝__________.
3．(2012·课标全国高考，文14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝__________.
4．(2012·天津高考，文18)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)．
5．(2012·安徽高考，文21)设函数f (x )＝x
2
＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数
列为{x n }．
(1)求数列{x n }的通项公式；
(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n . 考向分析
高考中对数列求和及其综合应用的考查题型，主、客观题均会出现，主观题较多．一般以等差、等比数列的定义以及通项公式、前n 项和公式的运用设计试题．考查的热点主要有四个方面：(1)考查数列的求和方法；(2)以等差、等比数列的知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式的交会处命题，主要考查利用函数观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题；(3)数列与解析几何交会的命题，往往会遇到递推数列，通常以解析几何作为试题的背景，从解析几何的内容入手，导出相关的数列关系，再进一步地解答相关的问题，试题难度大都在中等偏上，有时会以压轴题的形式出现；(4)数列应用题主要以等差、等比数列为工具，在数列与生产、生活实际问题的联系上设计问题，考查阅读理解能力、数学建模能力和数学应用的意识与能力，主要以解答题的形式出现，多为中高档题．
热点例析
热点一 数列的求和
【例1】(2012·山东青岛一模，20)已知在等差数列{a n }(n ∈N *)中，a n ＋1＞a n ，a 2a 9＝232，a 4＋a 7＝37.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若将数列{a n }的项重新组合，得到新数列{b n }，具体方法如下：
b 1＝a 1，b 2＝a 2＋a 3，b 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7，b 4＝a 8＋a 9＋a 10＋…＋a 15，…，依此类推，
第n 项b n 由相应的{a n }中2n －
1项的和组成，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫b n －14·
2n 的前n 项和T n . 规律方法 数列求和的关键是分析其通项，数列求和主要有以下方法：(1)公式法：若数列是等差数列或等比数列，则可直接由等差数列或等比数列的求和公式求和；(2)分组求和法：一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列通项公式组成，求和时可以用分组求和法，即先分别求和，然后再合并；(3)若数列{a n }的通项能转化为f (n )－f (n －1)(n ≥2)的形式，常采用裂项相消法求和；(4)若数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，则求数列{a n ·b n }的
前n 项和时，可采用错位相减法；(5)倒序相加法：若一个数列{a n }满足与首末两项等“距离”的两项和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和，可采用倒序相加法，如等差数列的通项公式就是用该法推导的．
特别提醒：(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面也剩两项．
(2)利用错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应注意两式“错项对齐”；②当等比数列的公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论．
变式训练1 (2012·安徽名校第六次联考，文21)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n
＋n ，且b n ＝a n －1
a n a n ＋1
.
(1)求证：数列{a n －1}为等比数列； (2)求数列{b n }的前n 项和T n .
热点二 数列与函数、不等式交会 【例2】(2012·湖北孝感统考，22)已知数列{a n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n －a n (n ＝1,2,3，…)．
(1)求证：数列{a n －1}是等比数列；
(2)令b n ＝(2－n )(a n －1)(n ＝1,2,3，…)，如果对任意n ∈N *，都有b n ＋1
4
t ≤t 2，求实数t 的
取值范围．
规律方法 (1)由于数列的通项是一类特殊的函数，所以研究数列中的最大(小)项问题可转化为求相应函数的单调性进行求解，但同时注意数列中的自变量只能取正整数这一特点；
(2)要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性时，可以通过比较相邻两项的大小进行判断；
(3)对于数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1n 2的前n 项和，没有直接可套用的公式，但如果涉及大小比较等一些不等关
系，可考虑放缩法：1n 2＜1n (n －1)或1n 2＞1
n (n ＋1)，转化为数列⎩⎪⎨
⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1n (n －1)或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1n (n ＋1)，用裂项相消法求和后即可达到大小比较的目的．
变式训练2 (文科用)(2012·广东四会统测，21)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n
＝2a n －n (n ∈N *)．
(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式；
(3)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足不等式T n －2
2n －1
≥128的最小
的n 值．
热点三 数列与解析几何的交会 【例3】(2011·陕西高考，理19)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．
(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.
规律方法 对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，先得出关于数列相邻项a n 与a n ＋1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论．
变式训练3 设C 1，C 2，…，C n ，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半
轴上，且都与直线y ＝3
3
x 相切，对每一个正整数n ，圆C n 都与圆C n ＋1相互外切，以r n 表示
C n 的半径，已知{r n }为递增数列．
(1)证明：{r n }为等比数列；
(2)设r 1＝1，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
n r n 的前n 项和．
热点四 数列在实际问题中的应用
【例4】(2011·湖南高考，文20)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.
(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；
(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
n
，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M
更新．证明：须在第9年初对M 更新．
规律方法 能够把实际问题转化成数列问题，并且能够明确是等差数列还是等比数列，确定首项、公差(比)、项数各是什么，能分清是某一项还是某些项的性质是解决问题的关键．
(1)在数列应用题中，当增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型为等差模型，增加(或减少)的量就是公差，则可把应用题抽象为数列中的等差数列问题，然后用等差数列的知识对模型解析，最后再返回到实际中去；
(2)若后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型为等比模型，这个固定的数就是公比，则可把应用题抽象为数列中的等比数列问题，然后用等比数列的知识对模型解析，最后再返回到实际中去；
(3)若题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n ＋1，a n 之间的递推关系，或考虑S n ＋1，S n 之间的递推关系．
特别提醒：解决实际问题时要注意n 的取值范围．
变式训练4 某城市2012年末汽车拥有量为30万辆，预计此后每年将上一年拥有量的6%报废，并且每年新增汽车数量相同．为保护城市环境，要求该城市汽车拥有量不超过60万辆．从2012年末起，n 年后汽车拥有量为b n ＋1万辆，若每年末的拥有量不同．
(1)求证：{b n ＋1－b n }为等比数列；
(2)每年新增汽车数量不能超过多少万辆？ 思想渗透
1．函数思想——函数思想解决数列常见的问题： (1)数列的单调性； (2)数列中求最值问题； (3)数列中的恒成立问题．
2．求解时注意的问题及方法：
(1)数列是定义在N *或其子集上的特殊函数，自然与函数思想密不可分，因此树立函数意
识是解决数列问题的最基本要求；
(2)解题时要注意把数列的递推公式、数列的通项公式以及前n 项和公式看作函数的解析式，从而合理地利用函数性质和导数解决问题；
(3)解决有关数列的通项公式、单调性、最值、恒成立等问题时要注意项数n 的取值范围． 【典型例题】(2012·湖南长沙模拟，22)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为
d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2
n ＝S 2n －1，n ∈N *.数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n
为数列{b n }的前n
项和．
(1)求a 1，d 和T n ；
(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n ＜n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围；
(3)是否存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)(方法一)在a 2
n ＝S 2n －1中，分别令n ＝1，n ＝2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＝S 1，a 22＝S 3，即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
1＝a 1，(a 1＋d )2＝3a 1＋3d ，
解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.
∵b n ＝1
a n a n ＋1＝1
(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝
⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1
. (方法二)∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 2n －12＝a n ，
∴S 2n －1＝
a 1＋a 2n －1
2
(2n －1)＝(2n －1)a n . 由a 2n ＝S 2n －1，得a 2
n ＝(2n －1)a n .
又∵a n ≠0，∴a n ＝2n －1，则a 1＝1，d ＝2. (T n 求法同方法一)
(2)①当n 为偶数时，要使不等式λT n ＜n ＋8·(－1)n
恒成立，即需不等式λ＜(n ＋8)(2n ＋1)n
＝
2n ＋8
n
＋17恒成立，
∵2n ＋8
n
≥8，等号在n ＝2时取得，
∴此时λ需满足λ＜25.
②当n 为奇数时，要使不等式λT n ＜n ＋8·(－1)n 恒成立，即需不等式λ＜(n －8)(2n ＋1)
n
＝
2n －8
n
－15恒成立，
∵2n －8
n
随n 的增大而增大，
∴n ＝1时，2n －8
n
取得最小值－6.
∴此时λ需满足λ＜－21.
综合①②可得λ的取值范围是λ＜－21.
(3)T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n
2n ＋1
.
若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪
⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n
6n ＋3
. (方法一)由m 2
4m 2＋4m ＋1＝n
6n ＋3
，可得
3n ＝－2m 2
＋4m ＋1m 2
＞0， 即－2m 2＋4m ＋1＞0， ∴1－
62＜m ＜1＋6
2
. 又m ∈N ，且m ＞1， ∴m ＝2，此时n ＝12.
因此，当且仅当m ＝2，n ＝12时，数列{T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．
(方法二)∵n 6n ＋3＝16＋3n
＜1
6
，
故m 24m 2＋4m ＋1＜1
6，即2m 2－4m －1＜0， 解得1－
62＜m ＜1＋6
2
(以下同方法一)．
1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1
n ＋2
，则a 3＝( )．
A.120
B.124
C.128
D.132
2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad ＝( )． A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 3．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )．
A ．2n ＋1－2
B ．3n
C ．2n
D ．3n
－1 4．(2012·皖北协作区联考，文14)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3
＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝3
5，则a 2＝__________.
5．(2012·河北模拟，14)已知数列{a n }满足a n ＝2n －
1＋2n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.
6．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )．若a 1＝1
2
，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．
7．(2012·安徽江南十校高三联考，文19)若数列{a n }满足：a 1＝2
3
，a 2＝2,3(a n ＋1－2a n ＋a n
－1)＝2，
(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列；
(2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＞5
2
成立的最小的正整数n .
8．已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝3a n a n ＋1
，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m
20对所有n ∈N *都成立的最小正
整数m .
参考答案
命题调研·明晰考向
真题试做
1．B 解析：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n －1＝2a n (n ≥2)， 两式相减得：a n ＝2a n ＋1－2a n ，∴a n ＋1a n ＝3
2
.
∴数列{a n }从第2项起为等比数列．又n ＝1时，S 1＝2a 2，
∴a 2＝12
.
∴S n ＝a 1＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n －11－3
2
＝1－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n －1 ＝⎝⎛⎭⎫32n －1. 2．11 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，
则a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝a 1·q n ＋1＋a 1·q n －2a 1·q n －1＝0，即q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，
所以S 5＝1－(－2)51－(－2)
＝11.
3．－2 解析：由S 3＝－3S 2，可得a 1＋a 2＋a 3＝－3(a 1＋a 2)， 即a 1(1＋q ＋q 2)＝－3a 1(1＋q )， 化简整理得q 2＋4q ＋4＝0，解得q ＝－2.
4．(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .
由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3d ＋2q 3
＝27，8＋6d －2q 3
＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧
d ＝3，
q ＝2.
所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *. (2)证明：由(1)得
T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，① 2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1.② 由①－②，得
－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1 ＝6×(1－2n )
1－2
－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，
即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1，而当n ＞2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1. 所以，T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)．
5．解：(1)f ′(x )＝1
2
＋cos x ＝0.
令f ′(x )＝0，则cos x ＝－1
2
，
解得x ＝2k π±2
3π(k ∈Z )．
由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知
x n ＝2n π－2
3
π(n ∈N *)．
(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π
3
，
所以sin S n ＝sin ⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)π－2n π
3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数， 所以sin S n ＝－sin 2n π
3.
当n ＝3m －2(m ∈N *)时，
sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2m π－43π＝－32； 当n ＝3m －1(m ∈N *)时，
sin S n ＝－sin ⎝
⎛⎭⎫2m π－23π＝32； 当n ＝3m (m ∈N *)时，sin S n ＝－sin 2m π＝0.
综上所述，sin S n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－
3
2
，n ＝3m －2(m ∈N *)，3
2，n ＝3m －1(m ∈N *
)，
0，n ＝3m (m ∈N *
).
精要例析·聚焦热点
热点例析
【例1】 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
a 2a 9＝232，
a 4＋a 7＝a 2＋a 9＝37，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝8，a 9＝29，或⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝29，
a 9＝8(由于a n ＋1＞a n ，舍去)．
设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝a 1＋d ＝8，a 9＝a 1＋8d ＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝5，d ＝3.
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2(n ∈N *)． (2)由题意得
b n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＋2＋…＋a 2n －1＋2n －1－1
＝(3·2n －1＋2)＋(3·2n －1＋5)＋(3·2n －1＋8)＋…＋[3·2n －1＋(3·2n －1－1)] ＝2n －1×3·2n －1＋[2＋5＋8＋…＋(3·2n －1－4)＋(3·2n －1－1)]．
而2＋5＋8＋…＋(3·2n －1－4)＋(3·2n －1－1)是首项为2，公差为3的等差数列的前2n －1项
的和，
∴2＋5＋8＋…＋(3·2n －1－4)＋(3·2n －1－1)
＝2n －1
×2＋2n －1(2n －1
－1)2×3＝3·22n －3＋14
·2n ，
∴b n ＝3·22n －2＋3·22n －3＋14·2n ＝98·22n ＋14
·2n
.
∴b n －14·2n ＝98·22n
.
∴T n ＝98(4＋16＋64＋ (22)
)＝98×4(1－4n )1－4
＝32(4n －1)．
【变式训练1】 (1)证明：由S n ＝2a n ＋n ，得S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1， ∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ＋1，即a n ＋1＝2a n －1. ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)． 又∵S 1＝2a 1＋1， ∴a 1＝－1，a 1－1＝－2.
∴{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列． (2)解：∵a n －1＝－2×2n －1＝－2n ，即a n ＝－2n ＋1， b n ＝－2n
(1－2n )(1－2n ＋1)＝12n ＋1－1－12n －1
，
故T n ＝－⎣⎢⎡
⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝
⎛ 12n －1
－
⎦⎥⎤
⎭⎪⎫12
n ＋1
－1＝1
2n ＋1－1
－1. 【例2】(1)证明：由题意可知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n ＝n －a n ，①
a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1＝n ＋1－a n ＋1，②
②－①可得2a n ＋1＝1＋a n ， 即a n ＋1－1＝1
2(a n －1)．
又∵a 1＝12，∴a 1－1＝－1
2
，
所以数列{a n －1}是以－12为首项，以1
2为公比的等比数列．
(2)解：由(1)可得a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ，b n ＝n －22
n .
由b n ＋1－b n ＝n ＋1－22n ＋1－n －22n ＝n －1－2(n －2)2n ＋1＝3－n
2n ＋1＞0，得n ＜3，
由b n ＋1－b n ＜0，得n ＞3，
所以b 1＜b 2＜b 3＝b 4＞b 5＞…＞b n ＞…， 故b n 有最大值b 3＝b 4＝1
8，
所以对任意n ∈N *，有b n ≤1
8.
如果对任意n ∈N *，都有b n ＋14t ≤t 2，即b n ≤t 2－1
4
t 恒成立，
则(b n )max ≤t 2－14t .故有18≤t 2－1
4
t ，
解得t ≥12或t ≤－1
4
，
所以实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪⎣⎡⎭
⎫1
2，＋∞. 【变式训练2】解：(1)因为S n ＝2a n －n ，令n ＝1，解得a 1＝1. 再分别令n ＝2，n ＝3，解得a 2＝3，a 3＝7. (2)∵S n ＝2a n －n ，
∴S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减，得a n ＝2a n －1＋1， ∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)． 又∵a 1＋1＝2，
∴{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． ∴a n ＋1＝2n ，得a n ＝2n －1. (3)∵b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1， ∴b n ＝(2n ＋1)·2n .
∴T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，① 则2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② ①－②，得－T n ＝2(20＋21＋22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝2×1×(1－2n ＋1)
1－2－(2n ＋1)·2n ＋1
＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝－2－(2n －1)·2n ＋1， ∴T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.
若T n －2
2n －1≥128，则2＋(2n －1)·2n ＋1－22n －1≥128， 即2n ＋1≥27，所以n ＋1≥7，解得n ≥6， ∴满足不等式T n －2
2n －1≥128的最小的n 值为6.
【例3】 解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)， ∵y ＝e x ，∴y ′＝e x .
∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)， 令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )． (2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1，∴x k ＝－(k －1)． ∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有 |P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1
，
即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－n
e －1.
【变式训练3】 (1)证明：将直线y ＝3
3
x 的倾斜角记为θ， 则有tan θ＝
33，sin θ＝12
. 设C n 的圆心为(λn,0)(λn ＞0)，则由题意得知r n λn ＝1
2，得λn ＝2r n ；
同理λn ＋1＝2r n ＋1，
从而λn ＋1＝λn ＋r n ＋r n ＋1＝2r n ＋1，将λn ＝2r n 代入，解得r n ＋1＝3r n ， 故{r n }为公比q ＝3的等比数列． (2)解：由于r 1＝1，q ＝3，
故r n ＝3n －1，从而n
r n
＝n ·31－n .
记S n ＝1r 1＋2r 2＋…＋n
r n
，
则有S n ＝1＋2·3－1＋3·3－2＋…＋n ·31－n ，① 则S n
3＝1·3－1＋2·3－2＋…＋(n －1)·31－n ＋n ·3－n ，② 由①－②，得 2S n
3
＝1＋3－1＋3－2＋…＋31－n －n ·3－n ＝1－3－n 23－n ·3－n ＝3
2－⎝
⎛⎭⎫n ＋32·3－n ， ∴S n ＝94－1
2⎝⎛⎭⎫n ＋32·31－n ＝9－(2n ＋3)·31－n
4.
【例4】 (1)解：当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．
a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；
当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为3
4
的等比数列，
又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6
. 因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为
a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7.
(2)证明：设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，
S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34
×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6 ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6
，
A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n
. 因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．
又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫348－68＝824764
＞80， A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫349－69＝767996
＜80， 所以须在第9年初对M 更新．
【变式训练4】 (1)证明：设2012年末汽车拥有量为b 1万辆，每年新增汽车数量为x 万辆，
则b 1＝30，b 2＝0.94b 1＋x ，可得b n ＋1＝0.94b n ＋x .
又b n ＝0.94b n －1＋x ，
∴b n ＋1－b n ＝0.94·(b n －b n －1)．
∵每年末的拥有量不同，
∴{b n ＋1－b n }是以b 2－b 1＝x －1.8为首项，且公比q ＝0.94的等比数列．
(2)解：由(1)得b n ＋1－b n ＝0.94n ·(x －1.8)，
于是b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝30＋0.94·(x －1.8)＋0.942·(x －1.8)＋…
＋0.94n －1·(x －1.8)＝30＋1－0.94n －10.06
·(x －1.8)·0.94， 当x －1.8≤0，即x ≤1.8时，{b n }为递减数列，故有b n ＋1≤b n ≤…≤b 1＝30，
当x －1.8＞0时，即x ＞1.8时，b n ＜30＋(x －1.8)0.06
×0.94≤60，解得x ≤3.7. ∴每年新增汽车数量不能超过3.7万辆．
创新模拟·预测演练
1．A 解析：a 3＝S 3－S 2＝3＋13＋2－2＋12＋2＝120
. 2．B 解析：∵a ，b ，c ，d 成等比数列，
∴ad ＝bc .
又∵y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，
∴b ＝－－22＝1，c ＝4×1×3－(－2)24
＝2. ∴ad ＝bc ＝1×2＝2.
3．C 解析：因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1(q ≠0)．
因数列{a n ＋1}也是等比数列，
则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1) ⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，
即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选择答案C.
4．3 解析：∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，则35＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3
，
又a 1a 2a 3＝15，
∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25
，则a 2＝3. 5．2n ＋n 2－1 解析：S n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)＋(1＋2n －1)·n 2＝1－2n
1－2
＋n 2＝2n ＋n 2－1. 6.⎣⎡⎭⎫12，1 解析：∵f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )f (y )
＝f (x ＋y )，a 1＝12
，a n ＝f (n )(n ∈N *)， ∴a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (n )f (1)＝12
a n (n ∈N *)． ∴S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12
＝1－⎝⎛⎭⎫12n . 则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.
7．(1)证明：由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23
， 即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝23
， 所以数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，23
为公差的等差数列． (2)解：由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝23
(n ＋1)， 于是累加求和得a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n )＝13
n (n ＋1)， 所以1a n ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1， 进而1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3－3n ＋1＞52
⇒n ＞5， ∴最小的正整数为n ＝6.
8．解：(1)设这个二次函数为f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，
则f ′(x )＝2ax ＋b .
由于f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2，
又因为点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，
所以S n ＝3n 2－2n .
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5；
当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，
所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．
(2)由(1)得知b n ＝3a n a n ＋1＝3[6(n ＋1)－5](6n －5)
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫16n －5－16n ＋1， 故T n ＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝⎛⎫1－17＋⎝⎛⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－16n ＋1. 因此，要使12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1＜m 20(n ∈N *)成立，m 必须且仅须满足12≤m 20
，即m ≥10， 所以满足要求的最小正整数m 为10.。