2020版人教A版高中数学选修2-2精品课件：1.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.y=xn求导,得y′=nxn-1,令n·2n-1=12, 解得n=3.
2.设函数f(x)=x2,则不等式f(x)+f′(x)>3的解集为 ________. 【解析】因为f(x)=x2,所以f′(x)=2x, 所以不等式f(x)+f′(x)>3变为x2+2x-3>0,解得x<-3或 x>1,所以解集为(-∞,-3)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-3)∪(1,+∞)
第一章 导数及其应用
1.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与
基本初等函数的导数公式
主题 几个常用函数的导数与 基本初等函数导数公式 1.f(x)=x,f(x)=x2,f(x)= x均可表示为y=f(x)=xα (α∈Q*)的形式,其导数有何规律?
提示:因为(x)′=1·x1-1,(x2)′=2·x2-1,(
42
【解题指南】(1)适当进行化简,再运用导数公式判断. (2)先求函数的导函数,然后把对应点的横坐标代入导 函数求相应的导数值.
【解析】(1)选A.cos = 3为常数,则(cos )′=0,
6
2
6
所以①错误;y′=(ln x)′=
1 所1以， ②正确;因为
xlne x
f(x)=3x,所以f′(x)=3,所以(f′(1))′=0,所以③错
3.正弦函数y=sin x在x= 处的切线方程为________.
6
【解析】求导,得y′=cos x,代入x= ,可得曲线
6
y=sin x在x= 处的切线斜率为 3 ,又切点纵坐标为
6
2
sin ,即 1 ,所以所求切线方程为y- 1 = 3 (x- ),
6
2
22
6
去分母化简得12y-6=6 3 x- 3,即 6 3x-12y+6- 3
3.利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁 杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样解决这个 问题? 提示:可以使用给出的导数公式进行求导,简化运算过 程,降低运算难度.
结论:导数的描述
原函数 f(x)=c (c为常数)
f(x)=xα (α∈Q*)
f(x)=sin x
用文字语言描述导数
常数的导数为0
再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.
(3)要特别注意“
1 x
与ln
x”,“ax与logax”,
“sin x与cos x”的导数区别.
【跟踪训练】 下列函数满足f(x)=f′(x)的是 ( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=x C.f(x)=0 D.f(x)=1
【解析】选C.因为(x2)′=2x,x′=1,0′=0,1′=0,所 以只有当f(x)=0时,f′(x)=0.
幂函数的导数等于幂 指数与原幂函数(指
数少1)的积 正弦函数的导数为余
弦函数
用符号语言描述导数 f′(x)=_0_
f′(x)=_α__x_α_-_1
f′(x)=__c_o_s__x_
原函数 f(x)=cos x
f(x)=ax f(x)=ex
用文字语言描述导数
余弦函数的导数为负 的正弦函数
指数函数的导数等于 自身与ln a的积
类型二 导数公式的应用
【典例2】(1)求证:曲线y= 1 上任意一点处的切线与两
x
条坐标轴围成的三角形的面积为常数,并求出这个常数.
自然对数的导数是真 数的倒数
1
f′(x)= ___x__
【对点训练】
1.已知函数f(x)=
1 x
,则f′( 1 )的值为
2
(
)
A.4
B.-4
C. 1
D.- 1
4
4
【解析】选B.因为f(x)= 1,所以f′(x)=- , 1
x
x2
所以f′ (1=)-
2
=-14.
(1)2
2
【补偿训练】曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n等
误;y′=( 5 )x′=(
)′=1
x5
,所1 x以54 ④错误.
5
(2)因为f′(x)=-sin x,
所以 f（ ） sin 2 .
4
42
【方法总结】求函数导数的关注点
(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.
(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,
【补偿训练】
质点的运动方程是s=sin t. (1)求质点在t= 时的速度.
3
(2)求质点运动的加速度.
【解析】(1)v(t)=s′(t)=cos t,所以v
即质点在t= 时的速度为 1 .
3
2
(2)因为v(t)=cos t,
（ ） cos 1 .
3
32
所以加速度a(t)=v′(t)=(cos t)′=-sin t.
以e为底数的指数函 数的导数不变
用符号语言描述导数 f′(x)= __-_s_i_n__x_
f′(x)=_a_x_l_n__a_ f′(x)=_e_x
原函数 用文字语言描述导数 用符号语言描述导数
对数函数的导数为
f(x)=logax真数的数与 1ln a的积
1
f′(x)= __x_ln_a_
f(x)=ln x
(
1
x2
)′=
1
x
1 2
1，,所以(xα)′=α·xα-1.
2
x )′=
2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率,物 理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. (1)函数y=f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么? (2)函数y=f(x)=x的导数的物理意义呢?
提示:(1)若y=c表示路程关于时间的函数,则y′=0可以 解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状 态. (2)若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为 某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
33
9
类型一 利用公式求函数的导数 【典例1】(1)给出下列结论:
① (cos )′=-sin 1 ;
6
62
②若y=ln x,则y′= 1 ;
x
③若f(x)=3x,则(f′(1))′=3;
④若y= 5 x
,则y′= 1
5
5
x
.
其中正确的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)求函数f(x)=cos x在（ ， 2 ）处的导数.
=0.
答案:6 3 x-12y+6- 3π=0
【补偿训练】 一物体在曲线s= 3 t2 上运动,则该物体在t=3时的
瞬时速度为__________.
【解析】因为s′=( 3 t)2 ′=
的瞬时速度为s′(3)= ×2
3
答案: 23 9
9
2 3
,t所13 以该物体在t=3时
=1 2 3 .9