辽宁省大石桥市2016-2017学年高二数学上学期期中试题 理

大石桥市2016-2017学年度上学期期中考试
高二数学（理科）试卷
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在
题后的括号内（每小题5分，共60分）．
1、若c b a >>，0=++c b a ，则（ ）
A 、ac ab >
B 、bc ac >
C 、bc ab >
D 、22c b >
2、已知向量)3,1,2(-=，),2,4(x -=，若//，则=x （ ）
A 、6
B 、3
10 C 、 -6 D 、0 3、设1-<a ，则关于x 的不等式0)1)((<-
-a
x a x a 的解集为（ ） A 、),1(),(+∞-∞a a B 、),(+∞a C 、),()1,(+∞-∞a a D 、)1,(a -∞ 4、若实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤>≤+-2001y x y x ，则12++=y x z 的最大值为（ ）
A 、2
B 、 3
C 、4
D 、5
5、命题“+∈∀N n ，+∈N n f )(且n n f ≤)(”的否定形式是（ ）
A 、+∈∀N n ，+∉N n f )(且n n f >)(
B 、+∈∀N n ，+∉N n f )(或n n f >)(
C 、+∈∃N n 0，+∉N n f )(0且00)(n n f >
D 、+∈∃N n 0，+∉N n f )(0或00)(n n f >
6、已知p ：
21241≤≤x ，q ：]2,2
5[1--∈+x x ，则下列说法正确的是（ ） A 、p 是q 的充要条件 B 、p 是q 的充分不必要条件 C 、p 是q 的必要不充分条件 D 、p 是q 的既不充分也不必要条件
7、已知θ是任意实数，则方程4sin 2
2=+θy x 的曲线不可能是（ ）
A 、椭圆
B 、双曲线
C 、抛物线
D 、圆
8、已知抛物线x y 22
=的焦点为F ，定点)2,3(A ，在此抛物线上求一点P ，使PF PA +最小，则P 点坐标为（ ）
A 、)2,2(-
B 、)2,1(
C 、)2,1(-
D 、)2,2(
9、已知空间四边形ABCD 中，2-=，865-+=，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则=（ ）
A 、 533++
B 、533--
C 、 523-+
D 、533-+
10、如果正数d c b a ,,,满足4==+cd b a ，那么（ ）
A 、d c ab +≤，且等号成立时，d c b a ,,,的取值唯一；
B 、d c ab +≥，且等号成立时，d c b a ,,,的取值唯一；
C 、 d c ab +≤，且等号成立时，d c b a ,,,的取值不唯一；
D 、d c ab +≥，且等号成立时，d c b a ,,,的取值不唯一. 11、抛物线2121:x p y C =)0(>p 的焦点与双曲线13
:222=-y x C 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p （ ）
A 、163
B 、83
C 、 332
D 、3
34 12、已知点)2,1(A 在曲线x y C 4:2=上，过点A 作曲线C 的两条动弦AD 、AE ，且AD 、AE 的
斜率分别为AD k 、AE k ，满足2=⋅AE AD k k ，则直线DE 过定点（ ）
A 、)2,1(
B 、 )2,1(--
C 、)2,1(或 )2,1(--
D 、)2,1(-
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.
13、设p ：112≤-x ，q ：0)]1()[(≥---a x a x ，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是___________________.
14、设1e ，2e 是空间中两个不共线的向量，已知212e k e +=，213e e +=，212e e -=，且A 、B 、D 三点共线，则k 的值是 .
15、如图，已知在正四面体ABCD 中，AB AE 41=，CD CF 4
1=，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为 . 16、已知椭圆1:22
22=+b
y a x C )0(>>b a 的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M 是线段1PF 上一点，且满足MF 21=，02=⋅MF ，则椭圆的离心率的取值范围是 .
(17-21每题12分，22题10分，共70分)．
17、已知p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；q ：02082<-+a a .
如果q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数a 的取值范围．
18、已知不等式0232
>+-x ax 的解集为),()1,(+∞-∞b ．
（1）求a ，b 的值；
（2）解关于x 的不等式04)(2>++-c x c a b x ． 19、已知实数x ，y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ．
（1）求22y x z +=的最大值和最小值；
（2）求11++=
x y t 的最大值和最小值．
20、在如图所示的多面体中， AEB EF 平面⊥，EB AE ⊥，EF AD //，BC EF //，42==AD BC ，3=EF ，2==BE AE ，G 是BC 的中点.
（1）求证：DEG AB 平面//；
（2）求二面角E DF C --的余弦值.
21、已知点)2,0(-A ，椭圆E ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为23，F 是椭圆的焦点，直线AF
的斜率为3
32，O 为坐标原点． （1）求椭圆E 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程．
22、已知函数a a x x f +-=2)(．
（1）当2=a 时，求不等式6)(≤x f 的解集；
（2）设函数12)(-=x x g ，当R x ∈时，3)()(≥+x g x f ，求实数a 的取值范围．
期中考试数学（理）参考答案
一、选择题
1-5：ACADD 6-10：BCDDA 11-12：DB
二、填空题
13、[)+∞⎥⎦
⎤ ⎝⎛∞-,221, 14、-8 15、 134 16、)1,2
1( 三、解答题
17、解：p ： 012
>++ax ax 对任意实数x 恒成立，
当0=a 时，不等式恒成立，满足题意； 当0≠a 时，则有⎩
⎨⎧<-=∆>0402a a a ，解得40<<a ， 40<≤∴a
q ：02082<-+a a ，解得210<<-a ，
q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，
⎩⎨⎧≥-≤<≤∴21040a a a 或或⎩⎨⎧<<-≥<2
1040a a a 或 故a 的取值范围是)4,2[)0,10( -.
18、解：（1） 不等式0232
>+-x ax 的解集为),()1,(+∞-∞b ， ∴1和b 是一元二次方程0232=+-x ax 的根 则有⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=--b a
b a 1213，解得⎩⎨⎧==21b a （2）由（1）知，04)(2
>++-c x c a b x
即为04)22(2>++-c x c x 0)2)(2(>--∴c x x
当22<c 即1<c 时，不等式的解集为),2()2,(+∞-∞ c ；
当22=c 即1=c 时，不等式的解集为{}
2≠x x ；
当22>c 即1>c 时，不等式的解集为),2()2,(+∞-∞c . 19、解：(1)2222)0()0(-+-=+=y x y x •
z 表示的是可行域内的动点),(y x M 到原点距离的平方，可知当点M 在边AC 上滑动，且AC OM ⊥时，z 取得最小值，于是54m i n =z .由⎩
⎨⎧=--=+-033042y x y x ，得)3,2(B .当点M 滑到与点B 重合时，z 取得最大值，即13max =z . (2) 由⎩⎨⎧=--=-+0
33022y x y x ，得)0,1(A ，同理，C 点坐标为)2,0(.
)
1()1(11----=++=x y x y t 是可行域内的动点),(y x M 与定点)1,1(--P 连线的斜率，如图所示，过定点P 的动直线l 扫过可行域ABC ∆时，可以看到直线PA 的斜率最小，直线PC 的斜率最大.21=PA k ，3=PC k .
∴t 的最大值为3，最小值为2
1. 20、（1）证明：EF AD // ，BC EF //，BC AD //∴.
又AD BC 2= ，G 是BC 的中点，
BG AD //∴且BG AD =，
∴四边形ADGB 是平行四边形，DG AB //∴.
DEG DG DEG AB 平面平面⊂⊄, ，DEG AB 平面//∴.
(2)建立空间直角坐标系，如图所示，
则)2,0,0(A )0,0,0(E )0,0,2(B )0,4,2(C )0,3,0(F )2,2,0(D . 易得)0,0,2(=EB 是平面EFDA 的一个法向量.
设平面DCF 的法向量为),,(z y x =，易得)2,1,0(-=，)0,1,2(=， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0，得⎩⎨⎧=+=+-0202y x z y ，令1=z ，得)1,2,1(-=n . 设二面角E DF C --的大小为θ，可知θ为钝角，
6
6622
,cos cos -=--=><-=∴EB n θ， ∴二面角E DF C --的余弦值为6
6-
. 21、解：（1）14
22
=+y x ． （2）由题可知，直线l 的斜率存在，故设l ：2-=kx y ，),(11y x P ，),(22y x Q ．
将2-=kx y 代人14
22
=+y x 中整理得01216)41(22=+-+kx x k 当0)34(162
>-=∆k 即4
32>k 时， 1416221+=+k k x x ，1412221+=k x x ． 从而=-+=2121x x k PQ 1434144)(1222212
212+-+=-++k k k x x x x k ． 点O 到直线PQ 的距离12
2+=k d ，
所以POQ ∆的面积==∆PQ d S POQ 211434422+-k k ， 设t k =-342，则0>t ，t t t t PQ d S POQ 4444212+=+==∆， 44≥+t
t ，当且仅当2=t ，即27±=k 时等号成立，且满足0>∆． 所以，当POQ ∆的面积最大时，l 的方程为227-=
x y 或227--=x y ． 22、解：（1）]3,1[-．
（2）不等式3)()(≥+x g x f 可化为a a x x -≥-+-3212，
即2
3221a a x x -≥-+-， 当3≥a 时，原不等式成立．
当3<a 时，由绝对值三角不等式可得121221-≥-+-a a x x ， ∴02
3121>-≥-a a ， 平方得22)3()1(a a -≥-，
解得32<≤a ，
∴实数a 的取值范围是),2[+∞．。