【沪科版】八年级数学下期中试卷附答案(1)

一、选择题
1．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ）
A ．三个内角之比为1︰2︰3
B ．一边上的中线等于该边的一半
C ．三边为111,,12135
D ．三边长为()222220m n m n mn m n +->>、、
2．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（ ）
A ．8
B ．6
C ．5
D ．4
3．在平面直角坐标系中，长方形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点，若E 为x 轴上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标（ ）
A ．（一3，0）
B ．（3，0）
C ．（0，0）
D ．（1，0） 4．当x 1x -在实数范围内有意义（ ） A ．1x >
B ．1≥x
C ．1x <
D ．1x ≤ 5．22121a ab b a b
-+=--，则a 与b 的大小关系是（ ）． A ．a b ≤ B ．a b < C ．a b ≥ D ．a>b 6．下列计算正确的是（ ） A 2(9)9-=- B ．32221=
C ．35525-=-
D ．()2222=-7．下列各式中，正确的是（ ）
A ．2(3)9-=
B ．2(3)3-=-
C ．93-=-
D ．93=
8．下列说法正确的是（ ） A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B ．对角线互相垂直的矩形是正方形 C ．有一组邻边相等的菱形是正方形 D ．各边都相等的四边形是正方形 9．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于,E F ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
10．如图，已知ABC 中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点，5AC =，2BD =，则线段DF 的长度为（ ）
A ．22
B ．2
C ．3
D ．1
11．下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边()x y >，下列
四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=．其中说法
正确的是（ ）．
A ．①③
B ．①②③
C ．②④
D ．①②③④ 12．等腰三角形腰长10cm ，底边长16cm ，则等腰三角形面积是（ ）
A ．296cm
B ．248cm
C ．224cm
D ．232cm 二、填空题
13．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD
四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．
14．若a 是11的小数部分，则()6a a +=_____．
15．计算：()()202020203232+⨯-=___________
16．函数12
y x =
-自变量的取值范围是________；函数3y x =-自变量的取值范围是________． 17．如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝135°，AD ＝42，AB ＝8，作对角线AC 的垂直平分线EF ，分别交对边AB 、CD 于点E 和点F ，则AE 的长为_____．
18．如图，Rt ABC △，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B F '的长为________．
19．已知ABC 为等边三角形，且边长为4，P 为BC 上一动点，且PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D ，E 两点，则PD ＋PE ＝______________．
20．如图ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝22.5°，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，若CE ＝2，则BE ＝______________．
三、解答题
21．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE BF =，连接AE ，CF ．
（1）求证：E F ∠=∠；
（2）连接AF ，CE ，当BD 平分ABC ∠时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．
22．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90A D ∠=∠=︒，点E 是AD 的中点，连接BE ，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE ，且点G 在四边形ABCD 内部，延长BG 交DC 于点F ，连接EF ．
（1）求证：EGF EDF △△≌；
（2）求证：BG CD =；
（3）若点F 是CD 的中点，8BC =，求CD 的长．
23．先化简，再求值：221141⎛⎫++-÷- ⎪⎝⎭
x x x x x ，其中122=x ． 24．()0312 3.14832π-
25．Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，AB =5．
（1）如图1，点E 在边BC 上，且∠AEC =2∠B ．
①在图1中用尺规作图作出点E ，并连结AE （保留作图痕迹，不写作法与证明过程）； ②求CE 的长．
（2）如图2，点D 为斜边上的动点，连接CD ，当△ACD 是以AC 为底的等腰三角形时，求AD 的长．
26．如图，ABC ∆中，,AB AC AD >是BC 边上的高，将ADC 沿AD 所在的直线翻折，使点C 落在BC 边上的点E 处．
()1若20,13,5AB AC CD ===，求ABC ∆的面积；
()2求证：22AB AC BE BC -=⋅．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的判定条件分别判断即可；
【详解】
三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为90︒，故A 不符合题意；
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B 不符合题意；
22211112135⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故C 符合题意；
三边长的关系为()()()()22222
2220m n m n mn m n +=-+>>，故D 不符合题
意；
故选：C ．
【点睛】 本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键． 2．C
解析：C
【分析】
首先根据
AD AC =可得△ACD 为等腰三角形，再由AE CD ⊥结合“三线合一”性质可得E 为CD 的中点，从而得到EF 为△CBD 的中位线，最终根据中位线定理求解即可． 【详解】
∵AD AC =，
∴△ACD 为等腰三角形，
∵AE CD ⊥，
∴E 为CD 的中点，（三线合一）
又∵点F 是BC 的中点，
∴EF 为△CBD 的中位线， ∴152
EF BD =
=， 故选：C ．
【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键． 3．D
解析：D
【分析】
由于C 、D 是定点，则CD 是定值，如果△CDE 的周长最小，即DE ＋CE 有最小值．为此，作点D 关于x 轴的对称点D′，当点E 在线段CD′上时，△CDE 的周长最小．
【详解】
如图，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′与x 轴交于点E ，连接DE ．
若在边OA 上任取点E′与点E 不重合，连接CE′、DE′、D′E′
由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E ＋CE ＝DE ＋CE ，
∴△CDE 的周长最小．
∵OB ＝4，D 为边OB 的中点，
∴OD ＝2，
∴D （0，2），
∵在长方形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点，
∴BC ＝3，D′O ＝DO ＝2，D′B ＝6，
∵OE ∥BC ，
∴Rt △D′OE ∽Rt △D′BC ， ∴OE D O BC D B
=''， 即：
6
23OE =，即：OE ＝1， ∴点E 的坐标为（1，0）
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查轴对称−−最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是：两点之间线段最短．
4．A
解析：A
【分析】
根据分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性解答．
【详解】
由题意得：x-1>0，
解得x>1， 故选：A ．
【点睛】
此题考查未知数的取值范围的确定，掌握分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据二次根式非负性质，得a b ≤；再根据分式的定义，得0a b -≠；即可得到答案．
【详解】
∵
22121a ab b a b -+=-- ∴()222a ab b a b -+=--
∵0
∴0a b -≤
∴a b ≤
又∵
1=- ∴0a b -≠ ∴a b <
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次根式、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、分式的性质，从而完成求解．
6．C
解析：C
【分析】
分别根据二次根式的性质进行化简与计算即可得出答案
【详解】
解：9=，故本选项不符合题意；
B.=
C.-=-
D.2=--≠
， ，故本选项不符合题意．
故选C ．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减法、二次根式的性质等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 7．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的性质逐项判断即可．
【详解】
解：A 、2(3=，故本选项错误；
B 3=，故本选项错误；
C
D 3=，故本选项正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质：2a a =，2()(0)a a a =≥．
8．B
解析：B
【分析】 根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可． 【详解】
解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，符合题意；
C.一组邻边相等的矩形是正方形，说法错误，不合题意；
D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．
9．A
解析：A
【分析】
先根据矩形的性质证得DFP PBE S
S =，然后求解即可．
【详解】
解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ，
∴四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形，
∵ADC ABC S S =△△，AMP AEP S
S =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ∴S 矩形DFPM =S 矩形BEPN ，
∵PM=AE=1，PF=NC=3，
∴131322
DFP PBE S S ==⨯⨯=△△， ∴S 阴=
33+=322
， 故选：A ．
【点睛】 本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得DFP PBE S S =是解答本题的关键． 10．D
解析：D
【分析】
先证明△BDF ≌△ADC ，得到BF=AC=5，再根据勾股定理即可求解． 【详解】
解：∵AD 和BE 是△ABC 的高线，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠DBF=∠CAD ，
∵45ABC ∠=︒，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD ，
∴△BDF ≌△ADC ，
∴BF=AC=5，
在Rt △BDF 中，DF=()2222521BF BD -=
-=．
故选：D
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF ≌△ADC 是解题关键． 11．B
解析：B
【分析】
根据直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】
解：如图所示，
∵△ABC 是直角三角形，
∴根据勾股定理：22249x y AB +==，故①正确；
由图可知42x y CE -===，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为144492
xy ⨯+=， 即2449xy +=，故③正确；
由2449xy +=可得245xy =，
又∵2249x y +=，
两式相加得：22
24945x xy y ++=+，
整理得：()294x y +=， 949x y +=
≠，故④错误； 故正确的是①②③．
故选：B ．
【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
如图：作AD ⊥BC 于D ，先根据等腰三角形的性质求得BD ，然后运用勾股定理求得AD ，最后运用三角形的面积公式解答即可 ．
【详解】
解：如图：作AD ⊥BC 于D ，
∵AB=AC=10，
∴BD=DC=
12BC=8cm ， ∴AD=
22221086AC CD -=-= ∴S △ABC =12
BC·AD=48cm 2． 故答案为B ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质以及勾股定理的应用，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．
二、填空题
13．24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF 根据折叠的性质得到推出△GEF 是等边三角形于是得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ∴∠AEG
解析：24
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF ，根据折叠的性质得到60GEF DEF ∠=∠=︒，推出△GEF 是等边三角形，于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AEG=∠EGF ，
∵将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ''，
∴60GEF DEF ∠=∠=︒，
∴∠AEG=60°，
∴∠EGF=60°，
∴△EGF 是等边三角形，
∵EF=8，
∴△GEF 的周长=24，
故答案为：24．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．
14．2【分析】根据＜＜可得的整数部分是3则小数部分a ＝﹣3代入计算即可
【详解】解：∵9＜11＜16∴3＜＜4∴的整数部分是3∴小数部分是a ＝﹣3∴a （a+6）＝（﹣3）（+3）＝11﹣9＝2【点睛】本题
解析：2
【分析】
的整数部分是3，则小数部分a ﹣3，代入计算即可．
【详解】
解：∵9＜11＜16，
∴3
＜4， ∴
3，
∴小数部分是a
﹣3，
∴a （a +6
﹣3）
＝11﹣9
＝2．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，注意在相乘的时候，运用平方差公式简便计算．
15．1【分析】根据积的乘方逆运算求解即可【详解】解：===1故答案为：1
【点睛】此题主要考查了积的乘方熟练掌握积的乘方运算法则是解答此题的关键
解析：1
【分析】
根据积的乘方逆运算求解即可．
【详解】
解：))
2020202022⨯
=)2020
[22] =2020(1)-
=1
故答案为：1
【点睛】
此题主要考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解答此题的关键．
16．【分析】根据分式的分母不等于0得到根据二次根式的被开方数大于等于0得到求解即可【详解】由题意得：解得∵∴故答案为：【点睛】此题考查分式有意义的条件二次根式被开方数的非负性正确理解代数式的形式列式计算 解析：2x ≠ 3x ≥
【分析】
根据分式的分母不等于0得到20x -≠，根据二次根式的被开方数大于等于0得到30x -≥，求解即可.
【详解】
由题意得：20x -≠，解得2x ≠，
∵30x -≥，
∴3x ≥
故答案为：2x ≠，3x ≥.
【点睛】
此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键.
17．【分析】连接CE 过点C 作交AB 的延长线于点H 设AE=x 则BE=8-xCE=AE=x 在根据勾股定理即可得到x 的值【详解】如图：连接CE 过点C 作交AB 的延长线于点H 平行四边形ABCD 中设AE=x 则BE= 解析：203
【分析】
连接CE ，过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，设AE=x ，则BE=8-x ，CE=AE=x ，在根据勾股定理，即可得到x 的值．
【详解】
如图：连接CE ，过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，
平行四边形ABCD 中，135,2ABC AD ∠=︒=
45,2CBH BC ∴∠=︒=
90,H ∠=︒
45,BCH ∴∠=︒
4CH BH ∴==
设AE=x ，则BE=8-x ，
EF 垂直平分AC ，
CE AE x ∴==， 在Rt CEH 中，222CH EH EC +=，
()222484x x ∴+-+=， 解得：203
x =， AE ∴的长为
203， 故答案为：
203
． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．
18．【分析】根据折叠性质和余角定理可知是等腰直角三角形是直角三角形运用勾股定理求出DF 的值最后用勾股定理得出的值【详解】解：根据折叠的性质可知∴；∵(三角形外角定理)(都是的余角同角的余角相等)∴∵在中 解析：45
【分析】
根据折叠性质和余角定理可知CEF △是等腰直角三角形，B FD '是直角三角形，运用勾股定理求出DF 的值，最后用勾股定理得出B F '的值．
【详解】
解：根据折叠的性质可知3CD AC ==，4B C BC '==，∠=∠ACE DCE ，
BCF B CF '∠=∠，CE AB ⊥，
∴431B D B C CD '-=-'==；
∵ECF DCE B CF ∠=∠+∠'，EFC B BCF ∠=∠+∠(三角形外角定理)，
B ACE ∠=∠(B 、ACE ∠都是A ∠的余角，同角的余角相等)，
∴ECF EFC ∠=∠，
∵在Rt ECF △中，90ECF EFC ∠+∠=︒，
∴=45ECF EFC ∠∠=︒，
∴ECF △是等腰直角三角形，EF CE =，
∵EFC ∠和BFC ∠互为补角，
∴135BFC B FC '∠=∠=︒，
∴==1354590B FD B FC EFC ''∠∠-∠︒-︒=︒，B FD '为直角三角形， ∵1122
ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅△， ∴AC BC AB CE ⋅=⋅，
∵根据勾股定理求得5AB =， ∴125CE =
，
∴125EF =，95ED AE === ∴35
DF EF ED =-=，
∴45
B F '=
=． 故答案为：45
． 【点睛】 本题考查折叠性质与勾股定理的应用，掌握折叠性质及勾股定理，运用等面积法求出CE 的值是解题关键．
19．【分析】作出底边上的高AF 连接AP 分等边三角形为△APB 和△APC 根据三角形的面积不变可求得PD ＋PE 的值【详解】连接AP 作AF ⊥BC 于点F ∵AB ＝ACAF ⊥BC ∴CF ＝BF ＝2AF ＝∵∴∴故填：【
解析：【分析】
作出底边上的高AF ，连接AP ，分等边三角形为△APB 和△APC ，根据三角形的面积不变可求得PD ＋PE 的值．
【详解】
连接AP ，作AF ⊥BC 于点F ，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴CF＝BF＝2，AF22
AB BF=23
-
ABC 11
S=BC AF=423=43
22
⋅⨯⨯，
∵
ABC ABP ACP
S=S+S，
∴11
AB PD+AC PE=43
22
⋅⋅，
∴PD+PE=23
故填：23
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是“等面积法”．
20．2【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】∵DE垂直平分AB∴AE＝BE∴∠EAB＝∠B＝225°∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝45°∵∠C＝90°∴AC＝CE＝2A
解析：2
【分析】
根据线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝22.5°，
∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝45°，
∵∠C＝90°，
∴AC＝CE＝2，AE2＝AC2＋CE2，
∴AE2CE＝2，
∴BE＝AE＝2．
故答案为：2
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）四边形AFCE 是菱形，理由见解析
【分析】
（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到AD=CB ，AD ∥BC ，从而可以得到∠ADE=∠CBF ，然后根据SAS 证明△ADE ≌△CBF ，从而得出结论；
（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=CB ，AD ∥BC ，
∴∠ADB=∠CBD ，
∴∠ADE=∠CBF ，
在△ADE 和△CBF 中，
AD CB
ADE CBF
DE BF
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADE ≌△CBF （SAS ），
∴∠E=∠F ；
（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，
理由：∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC ，OB=OD ，AD ∥BC ，
∴∠ADB=∠CBD ，
∴∠ABD=∠ADB ，
∴AB=AD ，
∴平行四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，
∴AC ⊥EF ，
∵DE=BF ，
∴OE=OF ，
又∵OA=OC ，
∴四边形AFCE 是平行四边形，
∵AC ⊥EF ，
∴四边形AFCE 是菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）2
【分析】
（1）根据HL证明Rt△EGF≌Rt△EOF即可；
（2）证明四边形ABCD为矩形，可得BG=CD；
（3）设CD=x，分别表示出BE2，EF2，BF2，证明∠BEF=90°，利用勾股定理得到方程，解之即可．
【详解】
解：（1）∵E是AD中点，
∴AE=DE，
由折叠可知：AE=EG，∠EGB=∠EGF=∠D=∠A=90°，
∴EG=ED，又EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EOF（HL）；
（2）△ABE折叠得到△GBE，
∴AB=BG，
∵AD∥BC，∠A=∠D=90°，
∴∠ABC=90°，∠C=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC，
∴BG=CD；
（3）∵点E是AD中点，AD=BC=8，
∴AE=DE=4，
∵点F是CD中点，
∴设CD=x，则DF=1
2
x，
则BE2=BG2+EG2，即BE2=CD2+AE2，
即BE2=x2+42，
且EF2=DE2+DF2，即EF2=42+（1
2
x）2，
且BF 2=BC 2+CF 2，即BF 2=82+（12
x ）2， ∵∠AEB=∠GEB ，∠DEF=∠GEF ，
∴∠BEF=∠GEB+∠GEF=90°，
∴BF 2=BE 2+EF 2，
∴82+（12x ）2= x 2+42+42+（12
x ）2， 解得：
x=，即
CD=
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟记性质，找出三角形全等的条件，合理利用勾股定理得到方程是解题的关键．
23．121x -
；4
【分析】
根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【详解】 解：221141⎛⎫++-÷- ⎪⎝⎭
x x x x x ()21421-+-+=÷x x x x x x 22141+-=÷x x x x ()()212121+=⋅-+x x x x x
121
=-x ，
当12
=x 时，
原式1
1212=
⎫-⎪⎭
=
4
=． 【点睛】
本题考查了分式的混合运算以及二次根式的运算，熟练掌握分式和二次根式的运算法则是解决本题的关键．
24．31+ 【分析】 根据零指数幂，立方根，绝对值的性质，二次根式的混合运算，逐一化简合并同类项即可．
【详解】
解：()0312 3.14832π+--+-
231223=+-+-
31=+
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算，涉及的知识点有二次根式的混合运算，零指数幂，立方根，绝对值等知识点，熟悉掌握化简的方法是解题的关键．
25．（1）①见解析；②78
CE =
；（2）2.5 【分析】
（1）①作出AB 的垂直平分线交BC 于点E ，则可得结论；
②由勾股定理求得BC=4，设CE =x ，则BE =AE =4-x ，依据勾股定理列出方程求解即可； （2）求得BD=CD=AD=2.5即可．
【详解】
解：（1）①如图，作∠BAE =∠B ，
②可求得BC =4
∵∠AEC=∠B +∠BAE ，
又∵∠AEC =2∠B ，
∴∠BAE =∠B ，
∴BE =AE ，．
设CE =x ，则BE =AE =4-x ，
在Rt △AEC 中，222CE AC AE +=，
∴2223(4)x x +=-，
∴78
x =， ∴78CE =
（2）AC 为底时，如图2所示，此时AD =CD ，
∴∠A =∠DCA
∵∠A +∠B =90°，∠DCA +∠BCD =90°，
∴∠B =∠BCD ，
∴BD =CD ，
即AD =BD =2.5．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答此题的关键．
26．（1）126；（2）见解析
【分析】
（1）利用勾股定理容易求出AD 长；进而求出BD ，从而得到BC 长，再由三角形面积公式即可求解；
（2）利用勾股定理易得2222AB AC BD DE -=-，再利用平方差公式分解因式可得()()22AB AC BD DE BD DE -=-+，根据折叠性质和线段和差关系即可得出结论．
【详解】
（1）解：AD 是BC 边上的高，
90ADB ADC ∴∠=∠=
在Rt ADC 中，
13,5,AC CD ==
2213514412AD ∴=-=
在Rt ADB 中，
20,12,AB AD ==
22201225616BD ∴=-==
16521,BC BD CD ∴=+=+=
11211212622
ABC S BC AD ∴=⨯⨯=⨯⨯=(平方单位)． （2）证明：ADC 沿AD 所在的直线翻折得到,ADE
,,AC AE DC DE ∴==
在Rt ADC 中，由勾股定理，得222,AC AD DC =+
在Rt ADB 中，由勾股定理，得222BD AB AD =-， ()
22222AB AC AB AD DC ∴-=-+
222AB AD DC =-- 22BD DE =-
()(),BD DE BD DE =-+
,,BE BD DE BC BD DC BD DE =-=+=+
22AB AC BE BC ∴-=⋅．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，利用由勾股定理求解是解决问题的关键．。