2023-2024学年山东省青岛二中高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合A ＝{x |lnx ≥1}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅
B ．{x |e ＜x ＜3}
C ．{x |e ≤x ＜3}
D ．{x |x ＞1}
2．已知平面向量a →
=(0，1)，b →
=(−1，1)，则向量a →
在向量b →
上的投影向量是（ ） A ．(−
√2
2
，√2
2) B ．(
√2
2
，−√2
2) C ．(12，−12)
D ．(−12，1
2
)
3．若复数z ＝（2﹣ai ）（i +1）的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞）
B ．（﹣∞，﹣2）
C ．（﹣2，2）
D ．（0，2）
4．已知函数f(x)=cos[ω(x −π3)+π
4
](ω＞0)的图像关于原点中心对称，则ω的最小值为（ ）
A ．
13
4 B ．94
C ．54
D ．14
5．(xlog 43−log 32x
)4
展开式的常数项为（ ） A ．34
B ．−34
C ．32
D ．−32
6．椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：x 2+y 2＝a 2+b 2，这个圆称为椭圆
的蒙日圆．在圆（x ﹣4）2
+（y ﹣3）2
＝r 2
（r ＞0）上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆x 25
+
y 24
=1的
两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是（ ） A ．[1，7]
B ．[3，9]
C ．[3，7]
D ．[2，8]
7．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec （角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc （角）表示，则csc10°−√3sec10°=（ ） A ．√3
B ．2√3
C ．4
D ．8
8．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1，的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知|OA →
|、|AB →
|、|OB →
|成等差数列，且BF →
与FA →
反向，则双曲线的离心率是（ ） A ．√5
B ．√72
C ．√52
D ．√7
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．已知0＜a ＜b ，则下列选项正确的是（ ） A ．ln （b ﹣a ）＞0 B ．a b ＜a+2b+2
C ．a −b ＜1a −1
b
D ．
a−b lna−lnb
＜
a+b 2
10．有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X 形成一组新的数据，且P （X ＝k ）=C
5k
32
（k ∈{0，1，2，
3，4，5}），则新的样本数据（ ） A ．众数是1的概率是
5
32
B ．极差不变的概率是
3132
C ．第25百分位数不变的概率是
3
16
D ．平均值变大的概率是1
2
11．已知函数f （x ）及其导函数f '（x ）的定义域均为R ，若f （x ）是奇函数，f （2）＝﹣f （1）≠0，且对任意x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）f '（y ）+f '（x ）f （y ），则（ ） A ．f ′(1)=−12
B ．f （6）＝0
C ．∑ 2024k=1f(k)=1
D ．∑f′2024k=1(k)=−1
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA 1与底面ABCD 所成的角为45°，则该正四棱台的体积为 ．
13．某次会议中，筹备组将包含甲、乙在内的4名工作人员，分配到3个会议厅工作，每个会议厅至少1人，每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法共有 种．（用数字作答）
14．某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n 次得到数列1，x 1，x 2，x 3，…，x k ，2；…；记a n ＝1+x 1+x 2+…+x k +2，则a 3＝ ；a 2024
1−a 2023
= ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tanB =1
2tanC ．
（1）求c 2−b 2
a
2的值；
（2）若a =√21，且△ABC 的周长为7+√21，求边b 上的高．
16．（15分）如图，底面ABCD 是边长为2的菱形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，DE ＝AD ＝DB ＝2CF ． （1）求证：平面BEF ⊥平面BDE ；
（2）求平面BEF 与平面BCF 夹角的余弦值．
17．（15分）为检验预防某种疾病的A 、B 两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A 、B 疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为[0，100]），统计如下：
个别数据模糊不清，用含字母m （m ∈N ）的代数式表示．
（1）为检验该项医学指标在[0，50）内的是否需要接种加强针，先从医学指标在[25，50）的志意者中，按接种A 、B 疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断．从这8人中随机抽取5人调研医学指标低的原因，记这5人中接种B 疫苗的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；
（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针．请先完成下面的2×2列联表，若根据小概率α＝0.025的独立性检验，认为接种A 、B 疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m 的最大值．
附：χ2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n ＝a +b +c +d ．
18．（17分）已知椭圆T ：
y 2a 2+x 2
b
2=1(a ＞b ＞0)的离心率12，其上焦点F 与抛物线K ：x 2＝4y 的焦点重合．
（1）求椭圆T的方程；
（2）若过点F的直线交椭圆T于点A、B，同时交抛物线K于点C、D（如图1所示，点C在椭圆与抛物线第一象限交点上方），判断|AC|与|BD|的大小关系，并证明；
（3）若过点F的直线交椭圆T于点A、B，过点F与直线AB垂直的直线EG交抛物线K于点E、G（如图2所示），判断四边形AEBG的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．19．（17分）已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x，（a∈R）．
（1）若f（x）为奇函数，求此时f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣（a+1）x，且存在x1，x2分别为g（x）的极大值点和极小值点．（i）求函数g（x）的极值；
（ii）若a∈（1，+∞），且g（x1）+kg（x2）＞0，求实数k的取值范围．
2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合A ＝{x |lnx ≥1}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅
B ．{x |e ＜x ＜3}
C ．{x |e ≤x ＜3}
D ．{x |x ＞1}
解：由lnx ≥1⇒x ≥e ，即A ＝{x |x ≥e }⇒A ∩B ＝{x |e ≤x ＜3}． 故选：C ．
2．已知平面向量a →
=(0，1)，b →
=(−1，1)，则向量a →
在向量b →
上的投影向量是（ ） A ．(−
√2
2
，√2
2) B ．(
√2
2
，−√2
2) C ．(12，−12
)
D ．(−12，1
2
)
解：因为a →
=(0，1)，b →
=(−1，1)，所以a →
⋅b →
=1，|b →
|=√(−1)2+12=√2， 所以向量a →
在向量b →
上的投影向量是a →⋅b
→
|b →|⋅b
→
|b →|
=12b →=(−12，1
2)．
故选：D ．
3．若复数z ＝（2﹣ai ）（i +1）的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞）
B ．（﹣∞，﹣2）
C ．（﹣2，2）
D ．（0，2）
解：由题设，可得z ＝2+a +（2﹣a ）i ，
∴z =2+a +(a −2)i ，对应的点位于第四象限， ∴{
a −2＜02+a ＞0
⇒−2＜a ＜2．
∴实数a 的取值范围是（﹣2，2）． 故选：C ．
4．已知函数f(x)=cos[ω(x −π3)+π
4
](ω＞0)的图像关于原点中心对称，则ω的最小值为（ ）
A ．
13
4 B ．94
C ．54
D ．14
解：函数f(x)=cos[ω(x −π3)+π
4]的图像关于原点中心对称，
则−π3ω+π4=kπ+π2(k ∈Z)，解得ω=−3k −3
4
，k ∈Z ，
因为ω＞0，当k ＝﹣1时，ω取得最小值9
4
．
故选：B ． 5．(xlog 43−log 32x
)4
展开式的常数项为（ ） A ．34
B ．−34
C ．32
D ．−32
解：根据二项式的展开式T r+1=C 4r
⋅(log 43)4−r ⋅(−log 32)r ⋅x 4−2r （r ＝0，1，2，3，4）；
当r ＝2时，常数项为C 42⋅(log 43)2⋅(log 32)2=32
．
故选：C ． 6．椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：x 2+y 2＝a 2+b 2，这个圆称为椭圆
的蒙日圆．在圆（x ﹣4）2
+（y ﹣3）2
＝r 2
（r ＞0）上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆x 25
+
y 24
=1的
两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是（ ） A ．[1，7] B ．[3，9] C ．[3，7] D ．[2，8]
解：∵椭圆方程为
x 25
+y 24
=1，
∴a 2＝5，b 2＝4，∴a 2+b 2＝9， ∴根据题意可得椭圆
x 25
+
y 24
=1的蒙日圆O 的方程为x 2+y 2＝9，
根据题意知圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝r 2（r ＞0）与蒙日圆O ：x 2+y 2＝9有公共点， 又圆心C （4，3），半径为r ；圆心O （0，0），半径r 2＝3， ∴|r ﹣r 2|≤|CO |≤r +r 2，
∴|r ﹣3|≤√(4−0)2+(3−0)2≤r +3， ∴a ∈[2，8]， 故选：D ．
7．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec （角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc （角）表示，则csc10°−√3sec10°=（ ） A ．√3
B ．2√3
C ．4
D ．8
解：csc10°−√3sec10°=1sin10°−√3cos10°=cos10°−√3sin10°sin10°cos10°=2cos70°12
sin20°
=4sin20°
sin20°=4． 故选：C ．
8．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1，的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知|OA →|、|AB →|、|OB →|成等差数列，且BF →与FA →
反向，则双曲线的离心率是
（ ） A ．√5
B ．√72
C ．
√52
D ．√7
解：设双曲线方程为
x 2a 2
−y 2b 2
=1，（a ＞0，b ＞0），
由|OA →
|、|AB →
|、|OB →
|成等差数列，且BF →
与FA →
反向， 所以可设OA ＝m ﹣d ，AB ＝m ，OB ＝m +d ， 由勾股定理可得：（m ﹣d ）2+m 2＝（m +d ）2， 得：d =14m ，可得OA =34m ，OB =5m
4
，AB ＝m ，
所以tan ∠BOA =
AB OA =4
3
， 又l 1的方程：y =b a x ，l 2的方程为y =−b
a x ，
即tan ∠AOF =b a ，tan ∠BOF =−b
a
，
而tan ∠BOF ＝tan （∠AOF +∠AOB ）=
b a +4
31−b a ×43
=−b
a ，解得
b a
=2，
则离心率e =c a =√1+(b
a
)2=√5． 故选：A ．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．已知0＜a ＜b ，则下列选项正确的是（ ） A ．ln （b ﹣a ）＞0 B ．a b ＜a+2b+2
C ．a −b ＜1a −1
b
D ．
a−b lna−lnb
＜
a+b 2
解：对于A 选项，b ﹣a 不一定大于1，故A 错误； 对于B 选项，因为0＜a ＜b ，则a ﹣b ＜0，
所以a b −a+2b+2=a(b+2)−b(a+2)b(b+2)=2(a−b)b(b+2)
＜0，故B 正确；
一题多解，根据糖水不等式∀0＜a ＜b ，m ＞0，a b ＜a+m b+m ，可知B 正确．
对于C 选项，a −b ＜1a −1b ⇔a −1a ＜b −1
b
，
令f(x)=x −1x ，则f ′(x)=1+1x 2＞0，则f(x)=x −1
x 在（0，+∞）上单调递增．
又因为0＜a ＜b ，所以f （a ）＜f （b ），即a −b ＜1a −1
b ，故C 正确；
对于D 选项，因为0＜a ＜b ，要证a−b lna−lnb ＜a+b
2
，
即要证
2(a−b)a+b
＜ln(a
b
)，即证
2(a b −1)
a b
+1＜ln(a
b )，即证ln （a
b ）−2(a b −1)
a b
+1＞0，
令t =a b (0＜t ＜1)，令ℎ(t)=lnt −2(t−1)
t+1
，
则ℎ′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2
t(t+1)2
＞0在（0，1）上恒成立，
所以h （t ）在（0，1）上单调递增， 所以h （t ）＜h （1）＝0，即lnt ＜
2(t−1)
t+1
(0＜t ＜1)， 则ln a b ＜2(a−b)a+b =2(a
b −1)
a b
+1，即a−b lna−lnb ＜a+b 2
成立，故D 正确．
本选项也可以根据对数平均不等式∀0＜a ＜b ，√ab ＜a−b lna−lnb ＜a+b
2
，可知D 正确．
故选：BCD ．
10．有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X 形成一组新的数据，且P （X ＝k ）=C
5k
32
（k ∈{0，1，2，
3，4，5}），则新的样本数据（ ） A ．众数是1的概率是
5
32
B ．极差不变的概率是
3132
C ．第25百分位数不变的概率是
3
16
D ．平均值变大的概率是1
2
解：由题意得P （X ＝k ）=C
5k
32，k ∈{0，1，2，3，4，5}；
对于A ，众数是1的概率是P （X ＝1）=C 51
32=5
32
，选项A 正确；
对于B ，若极差不变，则X ＝0，1，2，3，4，概率为1﹣P （X ＝5）＝1−C 55
32=31
32
，选项B 正确；
对于C ，由于5×25%＝1.25，6×25%＝1.5，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数， 所以X ＝1，2，3，4，5，第25百分位数不变的概率是1﹣P （X ＝0）＝1−C 50
32=31
32
，选项C 错误；
对于D ，原样本平均值为1
5
×（0+1+2+3+4）＝2，平均值变大，
则X ＝3，4，5，概率为C 5332+C 5432+C 5532=1032+532+132=1
2
，选项D 正确．
故选：ABD ．
11．已知函数f （x ）及其导函数f '（x ）的定义域均为R ，若f （x ）是奇函数，f （2）＝﹣f （1）≠0，且对任意x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）f '（y ）+f '（x ）f （y ），则（ ） A ．f ′(1)=−1
2
B ．f （6）＝0
C ．∑ 2024k=1f(k)=1
D ．∑f′2024k=1(k)=−1
解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，令x ＝y ＝1，得f （2）＝2f （1）f ′（1），因为f （2）＝﹣f （1）≠0， 所以f ′（1）=−1
2
，所以A 正确；
对于B 和C ，令y ＝1，得f （x +1）＝f （x ）f ′（1）+f ′（x ）f （1）①， 所以f （1﹣x ）＝f （﹣x ）f ′（1）+f ′（﹣x ）f （1）， 因为f （x ）是奇函数，所以f ′（x ）是偶函数， 所以f （1﹣x ）＝﹣f （x ）f ′（1）+f ′（x ）f （1）②， 由①②，
得f （x +1）＝2f （x ）f ′（1）+f （1﹣x ）＝﹣f （x ）﹣f （x ﹣1）， 即f （x +2）＝﹣f （x +1）﹣f （x ），
所以f （x +3）＝﹣f （x +2）﹣f （x +1）＝f （x +1）+f （x ）﹣f （x +1）＝f （x ）， 所以f （x ），f ′（x ）是周期为3的函数，所以f （6）＝f （0）＝0，B 正确；
对于C ，由B 的结论，∑ 2024k=1f （k ）＝f （1）+f （2）+.....+f （2024）＝[f （1）+f （2）+f （3）]×674+[f （1）+f （2）]＝0，故C 错误；
对于D ，因为f ′（2）＝f ′（﹣1）＝f ′（1）=−12
，
在①中令x ＝0得f （1）＝f （0）f ′（1）+f ′（0）f （1）， 所以f ′（0）＝1，
∑ 2024k=1f ′（k ）＝[f ′（1）+f ′（2）+f ′（3）]×674+[f ′（1）+f ′（2）]＝﹣1，所以D 正确． 故选：ABD ．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA 1与底面ABCD 所成的角为45°，则该正四棱台的体积为
28√2
3
．
解：如图，
延长AA 1，BB 1，CC 1，DD 1相交于点P ，连接AC 、A 1C 1， 过点P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，
则PO ⊥平面A 1B 1C 1D 1于点O 1，且点O 1在A 1C 1上，
其中AC =4√2，A 1C 1=2√2，过点A 1作A 1F ⊥AC 于点F ，则OF =A 1O 1=√2， 所以AF =OA −OF =2√2−√2=√2，
因为棱AA 1与底面ABCD 所成的角为45°，所以∠A 1AF =45°，故A 1F =AF =√2， 则该正四棱台的体积为V =13(22+42+√22×42)⋅√2=28√2
3
．
故答案为：
28√2
3
． 13．某次会议中，筹备组将包含甲、乙在内的4名工作人员，分配到3个会议厅工作，每个会议厅至少1人，每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法共有 30 种．（用数字作答）
解：先将4人分成3组，共有C 42=6种分法，再将这3组分配到会议厅，共有A 33=6种分法，
由分步计数原理可得共有6×6＝36种分法；
甲乙两人分配到同一个会议厅的分法共有A 33=6种分法，
则甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法共有36﹣6＝30种分法． 故答案为：30．
14．某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n 次得到数列1，x 1，x 2，x 3，…，x k ，2；…；记a n ＝1+x 1+x 2+…+x k +2，则a 3＝ 42 ；
a 20241−a 2023
= ﹣3 ．
解：由题意可得a 1＝1+2+3＝3+3＝6，a 2＝1+2+3+4+5＝3+3+9＝15， a 3＝3+3+9+27＝42，依次类推，得到a n ＝3+3+32
+33
+ (3)
＝3+
3−3n+1
1−3
=
3
n+1
+32
，
故
a 20241−a 2023
=
32025+3
2
1−
32024+32
=
32025+3−1−32024
=
3(32024+1)−(1+32024)
=−3．
故答案为：42；﹣3．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tanB =1
2tanC ．
（1）求c 2−b 2
a
2的值；
（2）若a =√21，且△ABC 的周长为7+√21，求边b 上的高． 解：（1）由tanB =1
2tanC ，可得sinB cosB =sinC 2cosC
，
所以2sin B cos C ＝sin C cos B ，
又由正弦定理和余弦定理，可得2b ⋅a 2+b 2
−c 22ab =c ⋅a 2+c 2−b
2
2ac
，
整理得3（c 2﹣b 2）＝a 2
，所以
c 2−b 2a 2
=13
； （2）由a =√21，且△ABC 的周长为7+√21，可得b +c ＝7， 又由（1）可知，c 2−b 2=1
3
a 2=7，即（c +
b ）（
c ﹣b ）＝7，
所以c ﹣b ＝1，联立方程组{b +c =7
c −b =1，解得c ＝4，b ＝3，
所以cos A =b 2
+c 2−a 22bc =9+16−212×3×4=1
6
，
所以sin A =
√62−1
6
=
√35
6
，
所以边b 上的高为ℎ=csinA =4×
√35
6
=
2√35
3
． 16．（15分）如图，底面ABCD 是边长为2的菱形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，DE ＝AD ＝DB ＝2CF ． （1）求证：平面BEF ⊥平面BDE ；
（2）求平面BEF 与平面BCF 夹角的余弦值．
解：（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC ． 又因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ． 因为BD ∩DE ＝D ，所以AC ⊥平面BDE ，
设AC ，BD 交于O ，取BE 的中点G ，连FG ，OG ，OG ∥CF ，OG ＝CF ， 所以四边形OCFG 是平行四边形，所以FG ∥AC ， 因为AC ⊥平面BDE ，所以FG ⊥平面BDE ， 又因为FG ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDE ．
（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系， 因为BE 与平面ABCD 所成的角为45°，∠BAD ＝60°，DE =BD =AB =2，OA =√3， 则D （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （−√3，0，0），E （0，﹣1，2），F （−√3，0，1）， 所以BE →
=(0，−2，2)，BF →
=(−√3，−1，1)，BC →
=(−√3，−1，0)， 设平面BEF 的法向量为n →
=(x ，y ，z)， 所以{n →
⋅BE →
=0n →⋅BF →=0，所以{−2y +2z =0−√3x −y +z =0， 解得x ＝0，令y ＝1，得z ＝1，所以n →
=(0，1，1)， 设平面BCF 的法向量m →
=(x ，y ，z)， 所以{m →
⋅BC →
=0m →
⋅BF →=0
，所以{√3x +y =0√3x +y −z =0， 解得z ＝0，令x ＝﹣1，得y =√3，所以m →
=(−1，√3，0)， 设平面BEF 与平面BCF 夹角的大小为θ， 所以cosθ=|cos〈n →
，m →
〉|=
√3
22
=
√6
4
．
17．（15分）为检验预防某种疾病的A 、B 两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A 、B 疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为[0，100]），统计如下：
个别数据模糊不清，用含字母m （m ∈N ）的代数式表示．
（1）为检验该项医学指标在[0，50）内的是否需要接种加强针，先从医学指标在[25，50）的志意者中，按接种A、B疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断．从这8人中随机抽取5人调研医学指标低的原因，记这5人中接种B疫苗的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针．请先完成下面的2×2列联表，若根据小概率α＝0.025的独立性检验，认为接种A、B疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m的最大值．
附：χ2=
n(ad−bc)
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n＝a+b+c+d．
（1）从医学指标在[25，50）的志愿者中，按接种A、B疫苗分层抽取8人中，接种A疫苗有2人，接种B疫苗有6人，由题意可知，X可能取值为3，4，5，
P(X=3)=C22C63
C85
=
5
14
，P(X=4)=
C21C64
C85
=
15
28
，P(X=5)=
C20C65
C85
=
3
28
，
X的分布列为：
则E(X)=3×
5
14
+4×
15
28
+5×
3
28
=
15
4
．
（2）2×2列联表如下：
则χ2
=200[(80−m)(40−m)−(60+m)(20+m)]2100×100×140×60=2(10−m)
2
21
，
由题意可知，
2(10−m)2
21
≥x 0.025=5.024，
整理得，（10﹣m ）2≥52.752，解得m ≤2或m ≥18，m ∈N ， 又10﹣m ≥0，m ∈N ，则m ≤10，m ∈N ，所以m ≤2，m ∈N ， 故m 的最大值为2．
18．（17分）已知椭圆T ：y 2a 2+x 2
b
2=1(a ＞b ＞0)的离心率12，其上焦点F 与抛物线K ：x 2＝4y 的焦点重合．
（1）求椭圆T 的方程；
（2）若过点F 的直线交椭圆T 于点A 、B ，同时交抛物线K 于点C 、D （如图1所示，点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），判断|AC |与|BD |的大小关系，并证明；
（3）若过点F 的直线交椭圆T 于点A 、B ，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E 、G （如图2所示），判断四边形AEBG 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 解：（1）由题意可知，物线K ：x 2＝4y 的焦点为F （0，1）， 则c ＝1，又椭圆的离心率e =c a =1
2
，所以a ＝2， 所以b 2＝a 2﹣c 2＝3， 所以椭圆T 的方程为
y 24
+
x 23
=1．
（2）|AC |＞|BD |，证明如下：由题意得设椭圆与双曲线的交点为M ，
联立{x 2=4y y 24+x 23=1，解得{
x =±
2√63y =23
，
由图可知M(−2√6
3
，2
3
)，F(0，1)，∴k MF=
2
3
−1
−26
3
=√
6
12
，
若要产生如图B、D、A、C四点结构，可知k＞√6
12
，
设直线AB方程为y＝kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
联立{y=kx+1
y2
4
+
x2
3
=1
，消去y得：（4+3k2）x2+6kx﹣9＝0，
则x1+x2=−
6k
4+3k2
，x1x2=−9
4+3k2
，
所以|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2
=√1+k2•√(−
6k
3k2+4
)2+
4×9
3k2+4
=
12(1+k2)
4+3k2
．
抛物线K的方程为：x2＝4y，
联立{y=kx+1
x2=4y
，消去y得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x3+x4＝4k，x3x4＝﹣4，
所以|CD|=√1+k2|x3﹣x4|=√1+k2•√(x3+x4)2−4x3x4=√(1+k2)(16k2+16)=4(1+k2)，
所以|AC|﹣|BD|＝（|AC|+|AD|）﹣（|BD|+|AD|）＝|CD|﹣|AB|=4(1+k2)−12(1+k2)
4+3k2
=
4(1+k2)(3k2+1)
4+3k2
＞0，即|AC|＞|BD|．
（3）存在最小值，最小值为8．
设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x5，y5），G（x6，y6），当直线AB的斜率存在且不为零时，
设直线AB方程为y＝kx+1（k≠0），
则直线EG方程为y=−1
k
x+1，
由（2）的过程可知：|AB|=12(1+k2) 4+3k2
，
由|CD|＝4（1+k2），以−1
k
替换k，可得|EG|=4(1+
1
k2
)，
所以S
四边形AEBG =
1
2
|AB|⋅|EG|=
1
2
×
12(1+k2)
4+3k2
×[4(1+
1
k2
)]=
24(1+k2)
2
k2(4+3k2)
=
24(1+k2)
2
3(1+k2)
2
−2(1+k2)−1
=
24
3−2
(1+k2)
−1
(1+k2)
2
，
因为1+k2＞1，所以令t=
1
1+k2
∈（0，1），
则函数f（t）＝﹣t2﹣2t+3在（0，1）上单调递减，
所以0＜f（t）＜3，所以S四边形AEBG=
24
f(t)
＞8；
当直线AB的斜率不存在时，由{y=1
x2=4y
可得{
x=±2
y=1，
则|EG|＝4，|AB|＝2a＝4，
所以S
四边形AEBG =
1
2
|AB|⋅|EG|=
1
2
×4×4=8；
综上所述：S四边形AEBG≥8，所以四边形AEBG面积的最小值为8．
19．（17分）已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x，（a∈R）．
（1）若f（x）为奇函数，求此时f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣（a+1）x，且存在x1，x2分别为g（x）的极大值点和极小值点．（i）求函数g（x）的极值；
（ii）若a∈（1，+∞），且g（x1）+kg（x2）＞0，求实数k的取值范围．
解：（1）∵f（x）＝ae x﹣e﹣x为奇函数，
∴f（0）＝0⇒a＝1，经检验知a＝1满足题意，
∴f（x）＝e x﹣e﹣x，f'（x）＝e x+e﹣x，f（0）＝0，f'（0）＝2，
∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x．
（2）（i）∵g（x）＝f（x）﹣（a+1）x＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x
既存在极大值，又存在极小值，
∴g′(x)=(ae x−1)(e x−1)
e x
=0必有两个不等的实根，则a＞0且a≠1．
当a∈（0，1）时，﹣lna＞0，则有：
g（x）的极大值为g（0）＝a﹣1，极小值为g（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna 当a∈（1，+∞）时，﹣lna＜0，则有：
g（x）的极大值为g（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna，极小值为g（0）＝a﹣1．（ii）由a∈（1，+∞），所以x1＝﹣lna，x2＝0，
由题意可得1﹣a+（a+1）lna+k（a﹣1）＞0对∀a∈（1，+∞）恒成立，
即（k﹣1）（a﹣1）+（a+1）lna＞0对∀a∈（1，+∞）恒成立，
即(k−1)a−1
a+1
+lna＞0对∀a∈（1，+∞）恒成立，
令ℎ(x)=(k−1)x−1
x+1
+lnx（x＞1），则，
令x2+2kx+1＝0，则，
①当Δ≤0，即﹣1≤k≤1时，h'（x）≥0，h（x）在（1，+∞）上是严格增函数，
∴h（x）＞h（1）＝0，即(k−1)a−1
a+1
+lna＞0，符合题意；
②当Δ＞0，即k＞1或k＜﹣1时，
设方程x2+2kx+1＝0的两根分别为x1，x2且x1＜x2，当k＞1时，则x1+x2＝﹣2k＜0，x1x2＝1＞0，
则x1＜x2＜0，h（x）在（1，+∞）上是严格增函数，
∴h（x）＞h（1）＝0，即(k−1)a−1
a+1
+lna＞0，符合题意；
当k＜﹣1时，则x1+x2＝﹣2k＞0，x1x2＝1＞0，则0＜x1＜1＜x2，则当1＜x＜x2时，h'（x）＜0，h（x）在（1，x2）上单调递减，
∴h（x）＜h（1）＝0，即(k−1)a−1
a+1
+lna＜0，不合题意．
∴综上所述，k的取值范围是[﹣1，+∞）．。