高中数学第一章常用逻辑用语1.2简单的逻辑联结词学案苏教版选修1_48

1.2 简单的逻辑联结词
学习目标 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p∨q”“p∧q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题．
知识点一p∧q
思考1 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？
思考2 分析思考1中三个命题的真假？
梳理(1)定义
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．
(2)命题p∧q的真假判断
命题p∧q的真假与命题p和命题q的真假有着必然的联系，我们将命题p、命题q以及命题p∧q的真假情况绘制成命题p∧q的真值表如下：
p q p∧q
真真真
真假假
假真假
假假假
命题p∧q．
知识点二p∨q
思考1 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？
思考2 思考1中的真假性是怎样的？
梳理(1)定义
一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．
(2)命题p∨q的真假判断
我们将命题p、命题q以及命题p∨q的真假情况绘制成命题p∨q的真值表如下：
p q p∨q
真真真
真假真
假真真
假假假
命题p∨q的真值表可以简单归纳为“一真则真，假假才假”．
知识点三綈p
思考观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？并指出其真假：
(1)p：5是25的算术平方根，q：5不是25的算术平方根；
(2)p：y＝tan x是偶函数，q：y＝tan x不是偶函数．
梳理(1)定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”或“____________”．
(2)命题綈p的真假判断
因为命题p与命题綈p互为否定，所以它们的真假一定不同，真值表如下：
p 綈p
真假
假真
命题綈p
类型一用逻辑联结词联结组成新命题
例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题：
(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；
(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；
(3)p：正△ABC的三内角都相等，q：正△ABC有一个内角是直角．
反思与感悟解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p、q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p、q中的条件或结论合并．
跟踪训练1 指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q：
(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(2)方程x2－3＝0没有有理根；
(3)如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二、三象限．
类型二含有逻辑联结词命题的真假
例2 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．
反思与感悟判断含逻辑联结词命题的真假的步骤
(1)逐一判断命题p、q的真假．
(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．
跟踪训练2 指出下列命题的形式及命题的真假：
(1)48是16与12的公倍数；
(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；
(3)相似三角形的周长相等或对应角相等．
类型三用含逻辑联结词命题的真假求参数的范围
例3 已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；
命题q：不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立，若p∨q为真命题，(綈p)∨(綈q)也为真命题，求实数a的取值范围．
反思与感悟由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假．反之，由p∨q，p∧q，綈p 命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数的范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．
跟踪训练3 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．
1．把“x≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为____________________________________．2．已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}．则在四个命题p，q，p∧q，p∨q中，真命题有________个．
3．命题s具有“p或q”的形式，已知“p且r”是真命题，那么s是________命题．(填“假”“真”)
4．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1
b
.
给出下列四个复合命题：
①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q . 其中真命题是________．(只填序号)
5．分别判断由下列命题构成的“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假： (1)p ：函数y ＝x 2和函数y ＝2x 的图象有两个交点；
q ：函数y ＝2x 是增函数；
(2)p ：∅
{0}；q ：0∈∅.
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．
2．若命题p 为真，则“綈p ”为假；若p 为假，则“綈p ”为真．类比集合知识，“綈p ”就相当于集合p 在全集U 中的补集∁U p .因此(綈p )∧p 为假，(綈p )∨p 为真． 3．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．
提醒：完成作业 第1章 §1.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A ∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．思考2 命题①②③均为真．
梳理(1)p∧q p且q
知识点二
思考1 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．
思考2 ①③为真命题，②为假命题．
梳理(1)p∨q p或q
知识点三
思考两组命题中，命题q都是命题p的否定．
(1)中p真，q假．
(2)中p假，q真．
梳理(1)綈p非p p的否定
题型探究
例1 解(1)p∨q：π是无理数或e不是无理数；
p∧q：π是无理数且e不是无理数；
綈p：π不是无理数．
(2)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；
p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；
綈p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．
(3)p∨q：正△ABC的三内角都相等或有一个内角是直角；
p∧q：正△ABC的三内角都相等且有一个内角是直角；
綈p：正△ABC的三个内角不都相等．
跟踪训练1 解(1)“p且q”的形式．其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．
(2)“非p”的形式．p：方程x2－3＝0有有理根．
(3)“p 或q ”的形式．其中p ：如果xy <0，则点P (x ，y )的位置在第二象限，q ：如果xy <0，则点P (x ，y )的位置在第三象限． 例2 解 (1)∵p 为假命题，q 为真命题，
∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． (2)∵p 为假命题，q 为假命题，
∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题，綈p 为真命题． (3)∵p 为真命题，q 为真命题，
∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题． (4)∵p 为真命题，q 为假命题，
∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．
跟踪训练2 解 (1)这个命题是“p ∧q ”的形式．其中p ：48是16的倍数，是真命题；q ：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．
(2)这个命题是“綈p ”的形式．其中p ：方程x 2＋x ＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x 2＋x ＋3＝0没有实数根”是真命题．
(3)这个命题是“p ∨q ”的形式．其中p ：相似三角形的周长相等，是假命题；q ：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题． 例3 解 ∵y ＝a x 在R 上为增函数， ∴命题p ：a >1.
∵不等式x 2－ax ＋1>0在R 上恒成立， ∴应满足Δ＝a 2－4<0，即0<a <2， ∴命题q ：0<a <2.
由p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，
由(綈p )∨(綈q )也为真，则綈p 、綈q 中至少有一个为真， ∴p 、q 中有一真、一假．
①当p 真，q 假时，⎩⎨⎧
a >1，
a ≥2，∴a ≥2；
②当p 假，q 真时，⎩⎨⎧
0<a ≤1，
0<a <2，
∴0<a ≤1.
综上可知，a 的取值范围为{a |a ≥2或0<a ≤1}．
跟踪训练3 解 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根，
设两根为x 1，x 2，则
⎩⎨⎧
x 1
＋x 2＝－m <0，
x 1x 2
＝1>0，Δ＝m 2
－4>0，
得m >2，
∴p ：m >2.
又方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝16(m －2)2－4×4<0， 得1<m <3， ∴q ：1<m <3.
∵p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 与q 中一真一假．
当p 真，q 假时，⎩
⎨⎧
m >2，
m ≤1或m ≥3，
∴m ≥3；
当p 假，q 真时，⎩⎨⎧
m ≤2，
1<m <3，
∴1<m ≤2.
综上可知，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． 当堂训练
1．“x >5或x ＝5” 2.2 3.真 4.②④
5．解 (1)∵命题p 是真命题，命题q 是真命题， ∴p 且q 为真命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题． (2)∵p 是真命题，q 是假命题，
∴p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题．。