福建省安溪八中高三数学3月质量检测试题 理 新人教A版

安溪八中2014年春季高三年3月质量检测
数学试题 (理科)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题意要求的． 1.已知集合{
}
{}
2
2120,log 1,A x R x x B x R x A B =∈--≤=∈≥⋂=则 A.[
)2,4
B.[]2,4
C.()4,+∞
D.[)4,+∞
2.直线12,l l 平行的一个充分条件是 A.12,l l 都平行于同一个平面 B.12,l l 与同一个平面所成的角相等 C.12l l 平行与所在的平面
D.12,l l 都垂直于同一个平面
3.函数()4log 2-+=x x x f 的零点所在的区间是 A ． 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
B ． ()2,1
C ． ()3,2
D ． ()4,3 4.已知函数()()22121,04,,1,
x
x a f x f f a dx x x ax x ⎧+<1,
⎪===⎡⎤⎨⎣⎦+≥⎪⎩⎰若则 A.2ln 2
B. 2ln 3
1
C.2ln 3
D.2ln 9
5.已知直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
， 则实数m 的取值范
围是
A ．2
n
B ．2
n -
C ．22n n -
D ．n n 22
-
8.设)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，0,0>>b a ,O 为坐标原点，若A 、B 、
C 三点共线，则
b
a 2
1+的最小值是
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
9.用)(A C 表示非空集合A 中元素个数，定义⎩⎨
⎧<-≥-=*C(B)
C(A)当C(A),C(B)C(B)C(A)当C(B),C(A)B A ,若{}{}
22A 1,2,B x (x ax)(x ax 2)=0==+++，且1B A =*,则实数a 的所有取值为
A.0
B. 0,-
C. -10.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为
A .()0,+∞
B . ()(),03,-∞+∞
C .()(),00,-∞+∞
D .()3,+∞
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卷相应位置． 11.复数
21i
i
--的虚部为____________. 12.已知两条直线1:(2)453++=-l m x y m ，2:2(5)8l x m y +-=互相垂直， 则
m =_________.
13.已知双曲线22
21x y a
-=的一个焦点坐标为(，则其渐近线方程为 ．
14.在ABC ∆中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若(1)AO xAB x AC =+-，
则实数x 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）
已知向量33
(sin ,cos ),(,)2m x x n ==，x R ∈，函数(),f x m n =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最大值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，设角A ，B 的对边分别为,a b ，若2B A =，且26b a
f A π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，
求角C 的大小． 17.（本小题满分13分）
数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ，数列}{n b 是以1a 为首项，公差为)0(≠d d 的等差数列，且931,,b b b 成等比数列
（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；
（Ⅱ）若n n n b a c +=，求数列}{n c 的前n 项和n T ． 18. （本小题满分13分） 某圆锥曲线有下列信息：
①曲线是轴对称图形，且两坐标轴都是对称轴; ②焦点在x 轴上且焦点到坐标原点的距离为1;
③曲线与坐标轴的交点不是两个; ④曲线过点)2
3,1(A （Ⅰ）判断该圆锥曲线的类型并求曲线的方程；
（Ⅱ）点F 是改圆锥曲线的焦点，点'
F 是F 关于坐标原点O 的对称点，点P 为曲线上的
动点，探求PF |以及'
PF PF ⋅的取值范围．
19. (本小题满分13分)
泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征.为延续我市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个四棱柱和一个三棱柱的组合体，其直观图和三视图如下（单位：m ）所示.
（Ⅰ）装在E 、F 处的路灯,夜间恰好能照到建筑物前的一条笔直的人行小道，试证明人
行小道所在的直线与直线AB 平行； （Ⅱ）记建筑物内墙角所在直线与屋顶斜面ABFE 所成的角为α，当11=x 时，求sin α
F E A'
B'
C'
D'
D
C
B
A
的值；
（Ⅲ）已知四棱柱部分的外部装修费平均300元/平方米，三棱柱部分的外部装修费平均
400元/平方米，而且为视角美观，要求屋顶斜面四边形ABFE 中，
0.60.64AE
AB
≤
≤，试估算该闽南式大屋外部装修的最少费用.（精确到万元，参考
3.31 6.40≈≈.）
20．（本小题满分14分）
设函数)()()(,)(,sin )(x g x f x F ax x g x e x f x -==+=. (Ⅰ)若0=x 是)(x F 的极值点,求a 的值；
(Ⅱ)当 a =1时,设)0,0))((,()),(,(212211>>x x x g x Q x f x P , 且PQ //x 轴,求Q P ,两点间的最短距离；
(Ⅲ):若0≥x 时,函数y =F (x )的图象恒在y =F (－x )的图象上方,求实数a 的取值范围．
21.本题共有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则以所做的前2题计分．
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M 有特征值3λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
e ，并且矩阵M 对应的变换
将点(1,2)-变换成(9,15). 求矩阵M ．
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
俯视图
已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩
（t 为参数）， C 2：8cos ,
3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。

（Ⅰ）化C 1，C 2的方程为普通方程； （Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为2
t π
=
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,
:2x t C y t =+⎧⎨
=-+⎩
（t 为参数）距离的最小值及此时Q 点坐标.
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知a R ∈，设关于x 的不等式2x a -+3x +24x ≥+的解集为A. （Ⅰ）若1a =,求A ；
（Ⅱ）若A R =, 求a 的取值范围．
安溪八中2014年春季高三年3月质量检测数学试题 (理科)参考答案
10解析e x f e x g -=
)()(设，则3)0(,0)1)()(()(=>-+=g x f x f e x g 且 11 －1 12_ 12 13 2y x =±
14 (),0-∞ 15 22221111n
x x x ++ 16．解：（Ⅰ）3()sin 2f x x x =
+
)6x π=+（注：
也可以化为)3cos(3π-x ）所以)(x f 的最大值为3． （Ⅱ）因为)6
(2π
-
=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2sin 32sin =．
又A B 2=，所以A A 2sin 322sin =，即A A A 2
sin 3cos sin =，
而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A sin 3cos =，3
3
tan =
A ， 所以6
π
=
A ，3
2π
=
=A B ，2
π
π=
--=B A C ．
17．（1）解：解析：（１）1n =时，111a S ==；
2n ≥时，11
121(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=（1a 满足）； 则12n n a -=，*n N ∈；（本小题也可以先判断{}n a 为等比数列）
1b ，3b ，9b 成等比数列，有2
319b b b =⋅即2(12)1(18)d d +=⋅+，则1d =或0（舍），
则
1(1)n b n n =+-=；
(2) 12n n n n c a b n
-=+=+数
列
{}
n c 的前
n
项和
212
12
()()21
2n
n n n n n
T a a a b b b +=+++++=
+-
18. 解：（1）该曲线与坐标轴至少有3个交点知该曲线为焦点在x 轴上的椭圆， 且22,1c c == F1、F2
分别是该圆锥曲线的左、右焦点，
12||||4AF AF +==
所以2
24,2,413a a b ===-= 所以所求圆锥曲线的标准方程为22
143x y += 另解：待定系数法。

（2）设00(,)P x y ，则满足222
2
00000313(22)434
x y x y x +=⇔=--≤≤
22
2
2
00
1003||(1)324
44x x PF x x =-+-=-+
由022x -≤≤得到22
2
2
00
1003||(1)324[1,9]
44x x PF x x =-+-=-+∈，
1||[1,3]
PF ∈
12||||24PF PF a +==
2121112||||||(4||)4||||PF PF PF PF PF PF ⋅=⋅-=-
由
1||[1,3]PF ∈知12||||[3,4]PF PF ⋅∈
20．解：(Ⅰ)F (x )= e x
+sinx －ax,'()cos x
F x e x a =+-.
因为x =0是F (x )的极值点,所以'(0)110,2F a a =+-==.………2分
又当a =2时,若x <0, '()cos 0x
F x e x a =+-<;若 x >0, '()cos 0x
F x e x a =+->. ∴x =0是F (x )的极小值点, ∴a=2符合题意. ………4分 (Ⅱ) ∵a =1, 且
PQ //x 轴,由
f (x 1)=
g (x 2)得:121sin x
x e x =+,所以
12111s i n x x x e x x
-=+-.
令()sin ,'()cos 10x x h x e x x h x e x =+-=+->当x >0时恒成立. ∴x ∈[0,+∞)时,h (x )的最小值为h (0)=1.∴|PQ|mi n =1. ………9分 (Ⅲ)令()()()2sin 2.x x x F x F x e e x ax ϕ-=--=-+-
则'()2cos 2.x x x e e x a ϕ-=++-()''()2sin x x S x x e e x ϕ-==--. 因为'()2cos 0x x S x e e x -=+-≥当x ≥0时恒成立, ………11分 所以函数S (x )在[0,)+∞上单调递增, ………12分 ∴S (x )≥S (0)=0当x ∈[0,+∞)时恒成立;
因此函数'()x ϕ在[0,)+∞上单调递增, '()'(0)42x a ϕϕ≥=-当x ∈[0,+∞)时恒成立. 当a ≤2时,'()0x ϕ≥,()x ϕ在[0,+∞)单调递增,即()(0)0x ϕϕ≥=. 故a ≤2时F (x )≥F(－x )恒成立. ………13分
[)[)[)[)(]00002'()0,'()0,(0,),0'()0.()0,(0)0(0,)()0(14)()00,2.a x x x x x x x x x x F x F x x a a ϕϕϕϕϕϕ><+∞∴∈+∞<=∴∈<--≥∈+∞⋯∴>∞⋯⋯当时，又在单调递增，总存在使得在区间，上导致在递减，而，当时，，这与对恒成立不符，不合题意.综上取值范围是-,2分
21．（1）解：设M =a b c d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=311⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，故3,3.
a b c d +=⎧⎨+=⎩
a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=915⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，故29,215.a b c d -+=⎧⎨-+=⎩
联立以上两方程组解得a =1-，b =4，c =3-，d =6，故M =1436-⎡⎤
⎢
⎥-⎣⎦
． (2)（Ⅰ）22
2
2
12:(4)(3)1,:
1.649
x y C x y C ++-=+= （Ⅱ）当2
t π
=
时，3
(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2
P Q M θθθθ--++
故 3C
为直线3270,4cos 3sin 13|.x y M C d θθ--==
--到的距离
从而当43cos ,sin 55θθ=
=-
时，5
d 取得最小值 所以，此时
Q
点坐标为
329
(
,)55- (3).解（1）当x ≤-3时,原不等式化为-3x-2≥2x+4, 得x ≤-3,
当-3<x ≤
2
1
,原不等式化为4-x ≥2x+4,得3<x 0≤ 当x>
2
1
时，3X+2≥2X+4,得x 2≥ 综上，A={}2,0|≥≤x x x
(2)当x ≤-2时,32++-x a x ≥0≥2x+4成立. 当x>-2时, 32++-x a x = +-a x 2x+3≥2x+4. 得x ≥a +1 或x ≤
3
1
-a , 所以a +1≤-2或a +1≤
3
1
-a ,得a ≤-2. 综上，a 的取值范围为a ≤-2。