第3节 分式方程及其应用

D. 无解
练习2 (2017威海)方程 3x 1 1的解是_x_＝__3____． x4 4x
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玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
二 根据分式方程解的情况求字母的值或范围
走 出 误区
1. 已知分式方程解的情况，确定字母的取值范围：(1)将分式方 程化为整式方程，把分式方程的解用含某字母的代数式表示出 来；(2)根据该分式方程解的具体情况，转化为不等式或不等式 组，求出字母的取值范围，要特别注意字母的取值要使分式有 意义．
＝3的解是正数，则字母m
的取值范围是( D )
A. m>3
B. m<3
C. m>－3 D. m<－3
【解析】去分母得2x－m＝3(x＋1)，去括号得2x－m＝3x ＋3，移项得x＝－3－m，∵分式方程的解为正数，∴x＝ －3－m＞0且x＋1≠0，解得m＜－3.
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检验：⑤_x_2__1___94___1___54___0__， 所以分式方程的解为⑥__x ____32___．
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练习1 (2017岳阳)解分式方程 2 2x 1，可知方程的解 x1 x1
为( D )
A. x＝1 B. x＝3 C. x＝ 1 2
2. 分式方程有增根，确定字母取值范围：(1)将分式方程化为整 式方程；(2)令公分母为0，求出x的值；(3)将x的值代入整式方 程，求出字母系数的值．
中考真题（2008～2017）
3. 分式方程无增根，确定字母取值范围：(1)将分式方程化为整 式方程，把分式方程的解用含某字母的代数式表示出来；(2)解 出公分母不为0的x的取值范围；(3)求出字母系数的取值范围．
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一 解分式方程（易错点）
走 出 误区
1. 去分母时切记要给常数项或整式乘最简公分母，且验根是解 分式方程必不可少的环节；
2. 注意与分式化简(求值)的区别：两者都需找最简公分母，但 分式化简(求值)的目的是约分，而分式方程的目的是去分母， 切勿混淆．
的解是非负数，∴3a－3≥0，∴a≥1，又∵ 3 a 3 ≠3，∴a≠9， 8
∴a≥1且a≠9.
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练习6 已知关于x的分式方程 a 2 ＝1的解是非正数，则a的 x1
取值范围是( B )
A. a≤－1 C. a≤1且a≠－2
B. a≤－1且a≠－2 D. a<1
4. 分式方程无解，确定字母取值范围：分两种情况：(1)整式方 程无解(使整式方程不成立的字母取值)；(2)整式方程有解，但 解使分式方程分母或最简公分母为0，即增根．
注意：无解与增根并非同一概念
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练习3
若关于x的分式方程
2
x x
m 1
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实际应 用中常 见类型 及关系 式
行程
问题
基本数量关系：路 程 =时间 速度
常见等量关系：同 一 慢 路 速 程同 一 快 路 速 程=时间差
温馨提示：注意双重检验（一验是否是增根，二验是否符 合实际情况）
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练习5 (2017龙东)已知关于x的分式方程 3 x a 1 的解是非 x3 3
负数，那么a的取值范围是( C )
A. a＞1 B. a≥1 C. a≥1且a≠9 D. a≤1
【解析】去分母得 9x－3a＝x－3，解得x＝3 a 3 ， ∵方程 8
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第二章 方程（组）与 不等式（组）
第3节 分式方程及其应用
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考点精讲
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解分式方程的步骤
分式方程及其应用
实际应用中常见类型及关系式
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解分式方程的步骤：
去分母
无解
增根：使得原分式方程的分母为0的根
注意：解分式方程的前提是正确确定最简公分母，关键是去分 母，此时千万不要漏乘整式项，分子是多项式时要添加括号， 验根是解公式方程的重要步骤，不能忽略，否则要被扣分 返回
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基本数量关系：工 作 总 量 工作效率
练习4 若关于x的分式方程 x 2 m 的解为正数，则满 x2 2x
足条件的正整数m的值为( C ) A. 1，2，3 B. 1，2 C. 1，3 D. 2，3
【解析】去分母得x＝2x－4＋m，移项得x＝4－m.∵分式方程 的解为正数，∴4－m＞0且x≠2，解得m＜4且m≠2.∵m为正整 数，∴m＝1，3.
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例 解分式方程： 2x 2 1 . x1 1x
解：去分母：①_x_(_x_＋__1_)_－__2_(x_2_－__1_)_＝__－__1_，
去括号：②__2_x_2_＋__2_x_－__2_x_2＋__2_＝__－__1___，
移项、合并同类项：③_2_x_＝__－__3___， 系数化为1：④_x__ ___32 _，
___4_____．
【解析】给分式方程两边同乘x－3，得1＋x－3＝a－x， 解得x＝ a 2 ，∵方程有增根，∴x＝3，解得a＝4.
2
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3
•立2、思科考学的的人灵，感给，那考决些点不具是有特坐锲等训而可不营以舍等的来人的。。20如22果年重说3月，难2科02点学2/上3突/的32发0破2现2/有3/3什20么22偶/3然/3玩的3/机3转/遇20的重22话庆，那1么0年这种中‘偶考然真的机题遇（’只2能0给08那～些学2有01素7养）的人，给那些善于独
•3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
【解析】去分母得a＋2＝x＋1，解得x＝a＋1，∵方程的解是 非正数，∴x≤0即a＋1≤0，解得a≤－1，又∵x≠－1，∴a＋1≠ －1，即a≠－2，综上所述，a≤－1且a≠－2.
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练习7 若分式方程 1 1 xa 的解为非负数，则a的取值 x3 3x
范围是 a≥－2且a≠4 ．
【解析】给分式方程两边同乘x－3，得1＋x－3＝a－x，解
得x＝ a 2 ，∵x为非负数，∴ a 2 ≥0，解得a≥－2，∵x≠3，
2
2
解得a≠4，∴a≥－2且a≠4.
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练习8 若分式方程 1 1 xa 有增根，则a的值是 x3 3x
=工作时间
实际
应用 中常 见类
工程 问题
常见等量关系：工 工 作 作 总 效 量 率 改 善 工 后 作 工 总 作 量 效 率 =时间差 1
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工 作 时 间
型及
=工作效率
关系
式
购买（盈
基本数量关系：总 单
价 价
=数量
利）问题
常见等量关系：减 总 少 售 后 价 单 价总 单 售 价 价=数量差未完继续