著名的数学公式总结

同时
主验证
验证此公式，可透过因式分解，首先运用环的原理，设以下公式：
然后代入：
透过因式分解，可得：
这样便可验证：
和立方验证
透过和立方可验证立方和的原理：
那即是只要减去及便可得到立方和，可设：
右边的方程
运用因式分解的方法：
这样便可验证出：
几何验证
图象化
透过绘立体的图像，也可验证立方和。

根据右图，设两个立方，总和为：
把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：
要得到，可使用的空白位置。

该空白位置可分割为3个
部分：
∙
∙
∙
把三个部分加在一起，便得：
之后，把减去它，便得：上公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：
可透过
这样便可证明
反验证
透过也可反验证立方和。

以上计算方法亦可简化为一个表格：
这样便可证明
1. 把因式分解
∙把两个数项都转为立方：
∙运用立方和可得：
2. 把因式分解
∙把两个数项都转为立方：
∙运用立方和便可得：
∙但这个并非答案，因为答案仍可被因式分解：
∙亦可使用另一个方法来减省步骤。

首先把公因子抽出：
∙直接使用立方和，并得：
立方差
立方差也可以使用立方和来验证，例如：
运用负正得负，可得：
然后运用立方和，可得：
这个方法更可验证到立方差的公式是
平方差
及的排列并不重要，可随意排放。

来验证。

先设及。

那即是，同时运用了
若上列公式是的话，就得到以下公式：
以上运用了，也即是两方是相等，就得到：
注：
塞尔伯格迹公式
空间的函数空间上某类算子的，其中而
设为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面对的某
离散子群的商。

考虑上的拉普拉斯算子
由于为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的
值至多可数
事实上，更可将其由小至大排列：
对应的特征函数，并满足以下周期条
件：
行变元代换
于是特征值可依排列。

塞尔伯格迹公式写作
和式中的取遍所有双曲共轭类。

所取函数须满足下述性质：
∙在带状区域上为解析函数，在此为某常数。

∙偶性：。

∙满足估计：，在此为某常数。

函数是的。

后续发展
的尖点问题提供了纯粹的代数框架。

最后，为紧的情形可藉
处理，然而，一旦取
泰勒公式
称为指数函数在0处的n阶泰勒展开公式。

这个公式只对0附近的x有用，x离0越远，这个公式就越不准确。

实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。

对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。

这个想法的原由可以由微分的定义开始。

微分是函数在一点附近的最佳线性
近似：
，其中是
也就是说，或。

注意到和在a处的零阶导数和一阶导数
都相同。

对足够光滑的函数，如果一个多项式在a处的前n次导数值都与函数在a处的前n次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a附近的情况。

以下定理说明这是正确的：
定理：
设n是一个正整数。

如果函数f是区间[a, b] 上的n阶连续可微函数，并且在区间[a, b) 上n+1 次可导，那么对于[a, b) 上的任意x，都有：
[2]
其中的多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。

的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。

带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度：
也就是说，当x无限趋近a时，余项将会是的高阶无穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于[3]。

这个结论可以由下面更强的结论推出。

带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广：
即，其中[4]。

带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广[5]：
拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。

设函数在区间[a−r, a + r]上n次连续可微并且在区间(a−r, a + r) 上n + 1 次可导。

如果存在正实数M n使得区间(a−r, a + r) 里的任意x都
有，那么：
其中。

这个上界估计对区间(a−r, a + r) 里的任意x都成
立，是一个一致估计。

如果当n趋向于无穷大时，还有，那么可以推出，
f是区间(a−r, a + r) 上解析函数。

f在区间(a−r, a + r) 上任一点的值都等于在这一点的泰勒展开式的极限。

对所有，
其中的α 是多重指标。

其中的余项也满足不等式：
对所有满足|α| = n + 1 的α，
π的莱布尼茨公式
证明
初等证明
考虑如下分解
对于|x| < 1，右侧的分式是余下的几何级数的和。

然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数x成立。

上式两端从0到1积分可得：
当时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。

同时，积分项收敛到0：
当
这便证明了莱布尼茨公式。

乘法公式
：。

：。

：。

：。

：。

：。

：。

：。

9.
10. 。

二倍角公式
二倍角公式是数学三角函数中常用的一组公式，通过角的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。

二倍角公式均可通过和角公式推出。

此式就是正弦二倍角公式：
余弦二倍角公式
余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价：
正切二倍角公式
此式就是正切二倍角公式：
全概率公式
又因为
条件概率的期望值
在离散情况下，上述公式等于下面这个公式。

但后者在连续情况下仍然成立：
这个公式还可以表达为：
全期望公式
1.
验证
验证方法与两数和平方差不多，可透过多项式乘法验证：
透过几何验证也同样，根据右图将所有部分加在一起：
因式分解
因式分解，在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程。

在这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。

两个平方之和或两个平方之差
（请参见平方差）
根据以上两条恒等式，如原式符合以上条件，即可运用代用法直接分解。

两个n次方数之和与差
两个立方数之和
可分解为
两个立方数之差
可分解为
两个n次方数之差
两个奇数次方数之和
一次因式检验法
一个整系数的一元多项式，假如它有整系数因式，且p,q互质，则以下两条必成立：（逆叙述并不真）
∙
∙
不过反过来说，即使当和都成立时，整系数多项式也不一定是整系数多项式的因式
另外一个看法是：
一个整系数的ｎ次多项式，若是f(x)之因式，且p,q互质，则：（逆叙述并不真）
∙
∙
因式定理
指出，一个多项式有一个因式当且仅当。

因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。

从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。

若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部份，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。

方法如下：
1. 先设法找出多项式的一个零点。

2. 利用因式定理确认是多项式的因式。

3. 利用长除法计算多项式。

4. 中，所有满足条件的根都是方程式的根。

因为
的多项式阶数较要小。

因此要找出多项式的零点可能会比较简单。

另外欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式
外尔特征标公式
外尔特征标公式（Weyl's character formula) 描述紧李群不可约表示的特征标。

其名来自证明者赫尔曼·外尔。

定义：群G的表示r的特征标为一函数，，其中
Tr为线性算子之迹。

（由彼得-外尔定理可知紧李群的任何不可约表示都是有限维的；故迹之定义为线性代数中之定义。

）
特征标χ 记住了表示r本身的重要讯息。

外尔特征标公式用群G的其他资料来表达χ 。

本文考虑复表示，不失一般亦设其为酉表示，因而“不可约”亦等价于“不可分解”（即非二子表示之直和）。

其中
在1 维表示的特例中，特征标为1, 而外尔特征标公式简化成外尔分母公式：。

外尔维度公式
若只考虑单位元1之迹，则外尔特征标公式特殊化成外尔维数公式
,
其中
∙VΛ为有限维表示，其最高权为Λ；
∙ρ为外尔向量，
∙α 遍历所有正根。

由于式中分子与分母俱为高阶零，故必须取G中之元素渐近单位元1时之极限。

；
其中
∙Λ 为一最高权，
∙λ 为另一权，
∙dim Vλ为权λ 之重数，
∙ρ 为外尔向量，
∙外和中之α 历遍所有正根。

其中S为一修正项：
所有与最高权正交、且互相正交之有限子。

Peterson 发现了（广义）可对称化[3]卡茨-穆迪代数之根重数mult(β)
递归公式。

此公式等价于外尔-卡茨分母公式，但更便于计算：
,
其中γ 与δ 遍历所有正根，而。

婆罗摩笈多公式
婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。

若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，则其面积为：
证明
圆内接四边形的面积= 的面积+ 的面积
但由于是圆内接四边形，因此。

故。

所以：
对和利用余弦定理，我们有：
代入（这是由于和是互补角），并整理，得：
把这个等式代入面积的公式中，得：
它是的形式，因此可以写成的形式：
引入，
两边开平方，得：
证毕。

更特殊情况
若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，且外切于圆C，则其面积为：
证明
由于四边形内接于圆O，所以：
其中p为半周长：
又因为四边形外切圆C，所以：
则：
同理:
，，
综上：
证毕。

对一般四边形的面积，扩展的婆罗摩笈多公式用到了四边形的对角和：
其中是四边形一对角和的一半。

（选取另一对角也不会影响答案，因其和的一半是。

而，所以。

)
因为圆内接四边形的对角和为，，而，所以项
为零，给出公式的基本形式。

差分
到
概念。

差分的定义
差分的定义分为前向差分和逆向差分两种。

前向差分
函数的前向差分通常简称为函数的差分。

对于函数，如果：
，
则称为的一阶前向差分。

在微积分学中的有限差分（
的解法相似。

当是
逆向差分
对于函数，如果：
则称为的一阶逆向差分。

称为的阶差分，即前向阶差分，如果
根据数学归纳法，有
其中，为二项式系数。

特别的，有
∙如果C为常数，则有
∙线性：如果和为常数，则有
∙乘法定则：
∙除法定则：
或
∙级数：
牛顿数列
牛顿数列（级数），也称作牛顿前向差分方程是一个以数学与物理学家牛顿命名的函数关系。

具体为：
为的阶差立方
主验证
差立方可直接计算验证：
以上计算方式便可证明
:
布巴克尔多项式
有时也会使用另一种定义,可以通过递归的方式进行定义。

首先，规定前三个布巴克尔多项式为：
生成解
布巴克尔多项式的通解为 :
微分操作代表
布巴克尔多项式亦可记为 :
布雷特施奈德公式
在公式当中, a, b, c, d均是四边形的边长, s则是半周界,亦即是a+ b+c+ d再除以2, 而 and 则是其中两个对角。

半周界
一个四边形
设四边形的面积为A。

由此得到
因此
这亦可改写为
接着在中代入
这亦可改写为
刚才半周界的公式
因此上式成为
得证。

弗莱纳公式
在向量微积分中，弗莱纳公式(Frenet–Serret 公式)用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动。

更具体的说，弗莱纳公式描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。

单位切向量T，单位法向量N，单位副法向量B，被称作弗莱纳标架，他们的具体定义如下：
弗莱纳公式如下：
由于假设r′ ≠ 0，因此可以将t表示为s的函数，因此可将曲线表示为弧长s的函数r(s) = r(t(s))。

s通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线r(s)，弗莱纳标架 (或弗莱纳基底)定义如下：∙单位切向量T：
∙主法向量N：
∙副法向量B定义为T和N的外积：
螺旋线上弗莱纳标架的运动。

蓝色的箭头表示切向量，红色的箭头表示法向量，黑丝的箭头表示副法向量。

由于所以N与T垂直。

方程(3) 说明B垂直于T和N，因此向量T，N，B互相垂直。

弗莱纳公式如下：
其中的矩阵是反对称矩阵。

对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。

拉普拉斯展开
例子
考虑以下的矩阵：
这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：
也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：
很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和
第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。

设B是一个n ×n的矩阵，i、j∈{1, 2, ..., n}。

为了明确起见，将的系数记为
，其中1 ≤s,t≤n− 1.
考虑B的行列式|B|中的每个含有的项，它的形式为：
因此映射σ ↔ τ 是双射。

由此，
从而拉普拉斯展开成立。

一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。

定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。

斯托克斯公式
设 Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线，S 是以为边界的分片光滑的有向曲面，Γ 的正向与 S 的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面 S（连同边界 Γ）上具有一阶连续偏导数，则有
旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面。

在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。

这个公式叫做 ℝ³ 上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。

这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成：
也是一般的斯托克斯公式的一个特例，如果我们把向量场看成是等价的
n-1形式，可以通过和体积形式的内积实现。

微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。

使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直
观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。

另一种形式
通过以下公式可以在对坐标的曲线积分和对面积的面积积分之间相互转换：
流形上的斯托克斯公式
斯特灵公式
这就是说，对于足够大的整数n，这两个数互为近似值。

更加精确地：
或
历史
常数×
斯特灵证明了公式中的常数为。

更加精确的形式是雅克·比内发现的。

这个方程的右面是积分的近似值（利用
我们把这个极限记为y。

由于欧拉-麦克劳林公式中的余项R m,n满足：
其中我们用到了大O符号，与以上的方程结合，便得出对数形式的近似公式：
两边取指数，并选择任何正整数m，我们便得到了一个含有未知数e y的公式。

当m=1时，公式为：
将上述表达式代入沃利斯乘积公式，并令n趋于无穷，便可以得出e y （）。

因此，我们便得出斯特灵公式：
这个公式也可以反复使用分部积分法来得出，首项可以通过最速下降法得到。

把以下的和
用积分近似代替，可以得出不含的因子的斯特灵公式（这个因子通常在实际应用中无关）：
收敛速率和误差估计
y轴表示截断的斯特灵级数的相对误差，x轴表示所使用的项数。

更加精确的近似公式为：
其中：
斯特灵公式实际上是以下级数（现在称为斯特灵级数）的第一个近似值：
当时，截断级数的误差等于第一个省略掉的项。

这是渐近展开式的一个例子。

它不是一个收敛级数；对于任何特殊值n，级数的准确性只在取有限个项时达到最大，如果再取更多的项，则准确性将变得越来越差。

阶乘的对数的渐近展开式也称为斯特灵级数：
在这种情况下，级数的误差总是与第一个省略掉的项同号，且最多同大小。

伽玛函数的斯特灵公式
对于所有正整数，有：
然而，伽玛函数与阶乘不一样，它对于所有复数都有定义。

尽管如此，斯特灵公式仍然适用。

如果，那么：
反复使用分部积分法，可得以下渐近展开式：
其中B n是第n个伯努利数。

当，其中ε是正数时，这
个公式对于绝对值足够大的z是适用的，当使用了最初m个项时，误差
项为。

对应的近似值可以写为：
斯特灵公式的收敛形式
欲得出斯特灵公式的一个收敛形式，我们必须计算：
一种方法是利用含有上升阶乘幂的级数。

如果
，那么：
其中：
从中可以得出斯特灵级数的一个收敛形式：
它在时收敛。

以下的近似值
或
可以通过把斯特灵公式整理，并注意到它的幂级数与双曲正弦函数的泰勒级数展开式的相似性来得出。

当z的实数部分大于8时，这个近似值精确到小数点后8位。

2002年，Robert H. Windschitl建议计算器用这个公式来计算伽玛函数。

Gergő Nemes在2007年提出了一个近似公式，它的精确度与Windschitl
的公式相等，但更加简单：
或
斯科伦范式
Skolem 化的本质是对如下形式的公式的观察
有某些点使得
使得公式
为真。

函数f叫做Skolem 函数。

举例说明:
其中a为常数
在一阶逻辑中为何我们需要Skolem范式?
首先当我们根据一阶逻辑构成法则构建一个公式，为了测试证明是否该公式存在一个模型（或解释），也就是说他是否是可满足的
∙所谓可满足式的公式是指该公式至少拥有一个模型(或称解释)，使该公式为真(也就是说使该公式在一定的解释下有意义)
为了能够测试证明所有公式的满足性问题，我们就使用一种通过让公式变形达到公式统一标准为目的的方法，来证明公式的满足性问题因此我们引入(Clause)句子的概念，也就是说把公式φ变形成Clause(φ)的形式来判断公式φ的可满足性问题
∙为何要把公式统一化？其目的是为了更好地使判断可满足性的算法应用于任何公式中，因此公式变形成统一的表达标准
我们有一个定理: 如果φ是可满足的当且仅当Clause(φ)是可满足性的由于该定理的存在，确保公式的可满足性在Clause(φ)中是等价的，所以我们应用算法，来使公式变形在公式φ转变成Clause(φ)过程中，由于根据公式构成规则，公式φ中可能有存在量词∃，所以我们使用Skolemisation方法，其目的是消减公式φ中所有的存在量词∃根据(Clause)句子的定义，句子中的每个变量必须是以所有量词∀限定的约束变量
∙我们有一个定理: 前提如果有公式φ且φ是(formule normale negative)否定标准式，如果公式ψ是由公式φ通过Skolemisation方法所得到公式，
那么
∙如果I |= ψ ,那么I |= φ
∙如果I |= φ ,那么存在I的保守扩展J J|= ψ
根据如上定理我们确保在使用Skolemisation方法后，公式φ和公式ψ的可
满足性是等价的
在应用Skolemisation方法之前，公式φ必须是(formule normale negative)
否定标准式，否则可满足性就有问题
比如有公式φ：
φ= (∃xp(x))∧(∃xp(x))
φ不是(formule normale negative)否定标准式，我们如果不把φ变成(formule normale negative)否定标准式，当我们应用Skolemisation方法后(∃xp(x))
∧(∃xp(x))就变成p(a)∧p(b),a,b是常数，因此p(a)∧p(b)是可满足式的，然而当我们先把φ转换成(formule normale negative)否定标准式，
于是(∃xp(x))∧(∃xp(x))就变成∀(x)∧(∃xp(x)),我们应用Skolemisation方法以后就变成∀(x)∧p(a),a为常数，此时∀(x)∧p(a)为永假式，所以当应用Skolemisation方法前，公式必须是(formule normale negative)否定标准式
柯西–比内公式
线性代数中，柯西–比内公式（Cauchy–Binet formula）将行列式的可乘性（两个方块矩阵的行列式等于两个行列式的乘积）推广到非方块矩阵。

假设A是一个m×n矩阵，而B是一个n×m矩阵。

如果S是{ 1, ..., n } 中具
有m个元素的子集，我们记A S为A中列指标位于S中的m×m子矩阵。

类似地，记B S为B中行指标位于S中的m×m子矩阵。

柯西–比内公式说
如果与
柯西积分公式
其中的积分为逆时针方向沿着C的积分。

柯西－阿达马公式
上式中,
则该级数收敛半径 R 由下式给出：
格林公式
特殊情况的证明
以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C2和C4是竖直的直线。

对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线。

如果我们可以证明
以及
那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为：
现在计算(1)式中的曲线积分。

C可以写成四条曲线C1、C2、C3和
C4的交集。

对于C1，使用参数方程：x = x，y = g1(x)，a≤x≤b。

那么：
沿着C3的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。

在
C2和C4上，x是常数，因此：
所以：
(3)和(4)相加，便得到(1)。

类似地，也可以得到(2)。

高斯散度定理
或
高斯公式用散度表示为：
其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而
n是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。

令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积，是定义在V中和S上连续可微的矢量场。

如果是外法向矢量面元，则
∙对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：
∙对于两个向量场的向量积，应用高斯公式可得：
∙对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：
∙对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：
二阶张量的高斯公式
1. 两个矢量和并排放在一起所形成的量被称为矢量和的并矢
或并矢张量。

要注意，一般来说，。

2. 的充分必要条件是或。

3. 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。

4. 分别线性地依赖于和。

5. 二阶张量和矢量的缩并以及对和都是线性的。

6. 特别是，当时，
所以，一般说来，。

下面举一个例子：用二阶张量及其与矢量的缩并来重新
写和。

我们还用到二阶张量的转置（又可以记为），定义如下：
1. 仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于。

2. 。

设，
是的外法线方向上的，是定义在的某个
的连续的二阶张量场，是
证明：下面以第二个式子为例进行证明。

令第二个式子的左边为，则
于是
至此证毕。

格林第一公式
函数(x,y,z)和(x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶连续
其中是闭区域的整个边界曲面，为函数(x,y,z)沿的
，符号称为
格林第二公式
设(x,y,z)、(x,y,z)，、依次表示(x,y,z)、(x,y,z)
其中Δ为拉普拉斯算子。

上面的公式叫做格林第二公式。

欧拉公式
在复分析领域的欧拉公式为
对于任意实数，存在:
当时，欧拉公式的特殊形式为。

（参见欧拉恒等式）。