高考数学 第7讲 极坐标与参数方程知识点+典型例题+变式训练+基础训练+高考真题(精心整理,很实用)

第7讲 极坐标与参数方程
【基础知识】
一.极坐标知识点
1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐
标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 二.参数方程知识点
1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()
()
x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲
线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。

（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并
且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

） 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．曲线的参数方程
（1）圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,
cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .
（2）椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.
sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .
（3）抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,
22
为参数t pt y pt x ⎩
⎨
⎧==. （4）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.sin ,
cos o o ααt y y t x x （t 为参数）.
3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致. 规律方法指导：
1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.
常见的消参方法有：
代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2.把曲线的普通方程
化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前
后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。

【基本题型】
题型一. 极坐标与直角坐标的互化。

互化原理（三角函数定义）、数形结合。

例1． 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧-=+-=t
y t
x 13（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为0cos 2=+θρ. （1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；
（2）求直线l 与曲线C 的交点的极坐标（πθρ20,0<≤≥）.
解析：（1）由0cos 2=+θρ得θρcos 2-=，两边同乘以ρ，得x y x 22
2
-=+； （2）由直线l 的参数方程为⎩
⎨
⎧-=+-=t y t
x 13（t 为参数），得直线的普通方程为02=++y x ，联立曲线C 与
直线l 的方程得，⎩⎨
⎧-=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=0
2y x ，化为极坐标为)45,2(π或),2(π.
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化. 考点：cos ,sin x y ρθρθ==，2
2
2
x y ρ=+. 变式训练一．在极坐标系中，设圆C 经过点6π⎛
⎫P ⎪⎝
⎭，圆心是直线sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
试题解析：：6π⎫P ⎪⎭直线sin 32
πρθ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭与
x 轴的交点也就是圆心为()1,0，所所以圆的方程为()
2
211x y -+=，得
2220x y x +-=所以，圆的极坐标方程为：2cos ρθ=
考点：转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标； 题型二.曲线（圆与椭圆）的参数方程。

（1）普通方程互化和最值问题。

“1”的代换（22cos sin 1θθ+=）、三角解决。

例2．已知曲线C 的参数方程是)(sin ,
cos 2为参数θθ
θ⎩⎨
⎧==y x ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，B A ,的极坐标分别为)3
4,2(),,2(ππB A . （Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M 为曲线C 上的点，求点M 到直线AB 距离的最大值. 试题解析：
（Ⅰ）将A 、B 化为直角坐标为44(2cos ,2sin ),(2cos
,2sin )33
A B ππππ，
即(2,0),(1,A B --
，AB k =，
∴直线AB
的方程为02)y x -=+
0y ++=． （Ⅱ）设(2cos ,sin )M θθ，它到直线AB 的距离为
d =
=
，
（其中tan ϕ=，
∴max d ． 考点：1.椭圆的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值．
变式训练2．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程是22
x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
(t 是参数） ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
.
（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；
（2）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围. 解析：（1）直线l
的普通方程为0x y -+=，
曲线C 的直角坐标系下的方程为22
122x y ⎛⎛-
++= ⎝⎭⎝⎭
，
因为圆心22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
到直线0x y -+=的距离为51d ==>,
所以直线l 与曲线C 的的位置关系为相离.
（2）设点cos ,sin 22M θθ⎛⎫+-+
⎪ ⎪⎝⎭
，
则cos sin 4x y πθθθ⎛
⎫⎡+=+=
+∈ ⎪⎣⎝⎭
. 考点：直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程.
考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点到直线的距离． （2）公共点问题。

联立求解判别式，直线与圆d 与r 。

例3．在直角坐标系中，直线l 的参数方程为,
x a y t
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（t 为参数）．在极坐标系（以原点O 为极点，
以x 轴非负半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的长度单位）中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．
解析：（Ⅰ）由22222
4cos 4cos 4(2)4x y x x y ρθρρθ=⇒=⇒+=⇒-+=， ∴圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=（或22
40x y x +-=）；
（Ⅱ）直线l 的参数方程为,x a y t
⎧=⎪
⇒⎨
=⎪⎩0x a -=，
∵圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，由直线l 与圆C 22a =⇒=-或6． 考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
变式训练3．在极坐标系中，直线l ()sin 4m m R πθ⎛
⎫
-
=∈ ⎪⎝
⎭
，
以极点为原点极轴为x
轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为(sin x y α
αα
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数，且[]0,απ∈).
（1）写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；
（2）若直线l 与曲线C 有两个公共点，求m 的取值范围.
试题解析：（1）由直线l
sin cos cos sin
4
4m π
πθθ⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
， 即直线l 的直角坐标方程为：y x m -=，
由曲线C 的参数方程
(sin x y α
αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，且[]0,απ∈).
得：[]2
222
1,0,13x y y y +=+=∈
（2）设曲线C
上任意一点为
)
,sin αα
，则[]sin 2sin ,0,3m πααααπ⎛
⎫==-∈ ⎪⎝
⎭，
直线l 与曲线C
有两个公共点，)
2m ∴∈.
考点：极坐标系，参数方程，直角坐标方程的转换.
题型三。

直线参数方程（t 的几何意义）。

定点到动点的距离。

例4．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C
的极坐标方程为
ρθ=.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P
的坐标为，求PA PB +. 试题解析：（1
）由ρθ=
，得220x y +-=
，即22(5x y +=. （2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，
得22
(1))5+=
，即240t -=.由于0∆>，故可设12,t t
，是上述方程的两实根，所以12124
t t t t ⎧+=⎪⎨
⋅=-⎪⎩l
过点(1P ，故由上式及t 的几何意义得
考点：1.曲线的极坐标方程和普通方程的转化；2.直线的参数方程的应用．
变式训练4．在直角坐标系xoy 中，过点(1,2)P -的直线l 的斜率为1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为,A B ． （1）求直线l 的参数方程；（2）求||||PA PB
试题解析：（Ⅰ）由条件知，直线l 的倾斜角45α=︒
，所以cos sin 2
αα==. 设点(,)M x y 是直线l 上的任意一点，点P 到点M 的有向向量为t ，
则
12.22
x y ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ （Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为2
2y x =,
由此得2(2)2(1)22
-+
=+, 即
2
40t -+=. 设12,t t 为此方程的两个根，因为l 和C 的交点为,A B ， 所以12,t t 分别是点,A B 所对应的参数，由韦达定理得 PA PB ⋅=124t t = 考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【基础训练】
1.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________．答案：⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，3π4
2.（2012 宁夏）已知圆C
：22(1)(1x y ++=，则圆心C 的极坐标为_____(0,02)ρθπ>≤< 答案：（2(2,
)3
π
） 3..把点)4,3(),6,5(π
π--B A 的极坐标化为直角坐标。

4..曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化
成直角坐标方程为
A.x 2+(y+2)2=4
B.x 2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y 2=4
D.(x+2)2+y 2
=4
解：将ρ=22y x +，sin θ=
2
2y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.
5..在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为
极轴）中，圆C 的方程为ρθ=。

求圆C 的直角坐标方程；
6..若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－2y －4x ＝0.
7..（梅州市2013届高三3月总复习质检）在极坐标系中，圆ρ＝2上的点到直线sin()
6πρθ+＝3的距离的最小值是＿＿＿＿ 答案：1
8..(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，
联立方程，得⎩⎨⎧ x 2＋y 2
－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎨⎧
x ＝－1，
y ＝1，
即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因
此这两条曲线的交点的极坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，3π4.
9..(2011·广州调研)在极坐标系中，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
解析 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋
y 2＝16，由圆中的弦长公式得：2
r 2－d 2＝2
42－⎝
⎛⎭
⎪⎫2 222
＝4 3. 10..把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩
⎨⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；
(2)⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋1
2t ，y ＝5＋3
2t .
解析：(1)由已知⎩⎨⎧
cos θ＝x －3，
sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2 θ＋sin 2θ＝1,
可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程． (2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋3
2t 中，
得y ＝5＋3
2(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程．
11.经过点M(1，5)且倾斜角为
3
π
的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211 D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 215231
12.已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=
，写出直线l 的参数方程;
解析：直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ
⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，即1112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．
13已知曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正
半轴，建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程是2(42
x t y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数），点P 是曲线C 上的动点，点Q 是直线l 上的动点，求|PQ |的最小值． 解：曲线C 的极坐标方程4sin ρθ=可化为24sin ρρθ=, 其直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=. 直线l 的方程为40x y --=.所以，圆心到直线l
的距离d ==
所以，PQ
的最小值为2.
14.（珠海市2013届高三上学期期末）在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212
, (为
参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθ
sin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A .B ，则线段AB 的长为 4 .
15.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C
的参数方程分别为
2:(x C y θθθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数02πθ≤≤）
和212:(2
x C t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是参数），它们的交点坐标为 (2,1
) 【高考真题】
1．（2013全国2文23）动点P Q ，都在曲线2cos 2sin x t
C :y t =⎧⎨=⎩
（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=
（0<<2πα），M 为PQ 的中点.（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.
2.（2014新课标Ⅱ文23）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处
的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
3（2012全国文23）已知曲线1C 的参数方程是12cos ,
:3sin ,
x C y ϕϕ=⎧⎨
=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为π2,
3⎛
⎫
⎪⎝
⎭
.（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；
（2）设P 为1C 上任意一点，求2222
PA PB PC PD +++的取值范围.
4.(2015全国II 文23) 在直线坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t ≠）其中0πα剟.
(1) 求2C 与3C 交点的直角坐标；
5.(2015全国I 文23)在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：()()22
121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程. （2）若直线3C 的极坐标方程为()π
4
θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为,M N ，求2C MN △的面积.
6.（2011全国文23））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,
22sin .
x y αα=⎧⎨
=+⎩（α为参数），M 是
1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C ．
（1）求2C 的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线π
3
θ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．
7（2013全国I 文23）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x t
y t =+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.
（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标()00<2πρθ≥≤，
8（2016全国卷1 23.）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x a t
y a t
=⎧⎨
=+⎩（t 为参数，a ＞0）。

在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.
（Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为0a θ=，其中0a 满足0tan 2a =，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
9.（2016全国卷1 22.）．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为
4,
1,x a t t y t =+⎧⎨
=-⎩
（为参数）．
（1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ． 10．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．
（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．
11．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程
为
2cos sin 110ρθθ++=．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
12．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=
3
θπ
时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．
13．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A
，)4B π
，)4
C 3π
，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2
π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．
（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M
上，且||OP =
P 的极坐标．
高考题答案
1.分析（1）根据已知条件得出P Q 、两点的坐标，然后转化为参数方程；（2）根据两点间的距离公式进行
求解验证.
解析：解：（1）依题意有()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα，因此
()cos cos2,sin sin 2M αααα++.M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,
sin sin 2x y αααα=+⎧⎨
=+⎩
（α为参数，02απ<<）.
（2）M
点到坐标原点的距离)02d α=
=π<<.
当α=π时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点. 2解析（I ）C 的普通方程为()()2
21101x y y
-+=剟.可得C 的参数方程为1cos sin x t
y t
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数，
（II ）设()1cos ,sin D t t +.由（I ）知C 是以()1,0G 为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与
l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同
.tan t =，π3t =
.故D 的直角坐标为ππ1cos ,sin 33⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭.
即
3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. 3.解析（1）由已知可得ππ2cos
,2sin 33A ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，ππππ2cos ,2sin 3232B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭， ππ2cos π,2sin π33C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，π3ππ3π2cos ,2sin 3232D ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
即(A
，()B
，(1,C -
，)
1D
-.
（2）设()2cos ,3sin P ϕϕ，令2
2
2
2
S PA PB PC PD =+++，则
22216cos 36sin 163220sin S ϕϕϕ=++=+.因为20sin 1ϕ剟，所以S 的取值范围是[]32,52.
4.分析(1)将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可求解；
(2)先确定曲线1C 的极坐标方程()0θαρρ=∈≠R ，，进一步求出点A 的极坐标为()2sin αα，，点B
的极坐标为()
αα，
，由此可得2sin AB αα=-=π4sin 43α⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
…． 解析 (1)曲线2C 的直角坐标方程为22
20x y y +-=，曲线3C
的直角坐标方程为2
2
0x y +-=．联
立2
2
22
200
x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩
或3
2
x y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
．所以2C 与1
C 交点的直角坐标为(0,0)
和3)2．
(2)曲线1C 的极坐标方程为(,0)θαρρ=∈≠R ，其中0πα<…
.因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B 的极
坐标为,)αα．
所以2sin AB αα=-π4sin()43α=-…，当5π
6
α=
时，AB 取得最大值，最大值为4． 5.解析（1）由1C ：2x =-，可得极坐标方程为cos 2ρθ=-，
由2C ：2
2
21441x x y y -++-+=，得极坐标方程为2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=． （2）由题意可得3C ：()0y x x =….
由2C ：()()2
2
121x y -+-=，得圆心()21,2C .则()
2,2
d C MN =
=
. 由半径
.
弦心距及半弦长的关系，可得MN =
=
211
222
C MN S ==△．
6.解析（Ⅰ）设(,)P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫
⎪⎝⎭
．由于M 点在1C 上， 所以2cos ,2
22sin ,2
x
y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即4cos ,44sin .
x y αα=⎧⎨=+⎩从而2C 的参数方程为4cos ,44sin .x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)
（2）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线π3θ=
与1C 的交点A 的极径为1π4sin 3ρ=，射线π3θ=与2C 的交点B 的极径为2π
8sin 3
ρ=．
所以21AB ρρ=
-=．
7.分析利用同角三角函数的平方关系将参数方程化为普通方程；（2）利用联立方程组求解曲线的交点. 解析：（1）将45cos ,55sin x t y t
=+⎧⎨
=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()22
4525,x y -+-=即
221:810160.C x y x y +--+=将cos ,sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入22
810160x y x y +--+=得
28cos 10sin 160.ρρθρθ--+=所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160.ρρθρθ--+=
（2）2C 的普通方程为2
2
20x y y +-=.由2222
810160,
20.
x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以1C
与2C 的交点的极坐标分别为4π⎫⎪⎭，2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
8.解析：（Ⅰ）根据C 1参数方程的形式知其是一个以(0,1)为圆心，a 为半径的圆
所以其标准方程为：2
2
2
(1)x y a +-=利用极坐标转换可得：2
2
2
2
cos (sin 1)a ρθρθ+-= 化简得：2
22sin 10a ρρθ--+=
（Ⅱ）由题意知C 3为直线方程：2y x =，C 2为圆的方程：2
2
(2)4x y -+=
联立C 2，C 3解得公共点为：48(0,0),(,)55
,带入222
(1)x y a +-=可得1a =.
9.（2016全国卷1 22.）．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为
4,
1,x a t t y t =+⎧⎨
=-⎩
（为参数）． （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l
a ．
【解析】（1）曲线C 的普通方程为2
219
x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．
由22
430,
1
9x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,25
24.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为
d =
．
当4a ≥-时，d
=8a =； 当4a <-时，d
=16a =-．综上，8a =或16a =-． 10．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．
（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．
由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有
两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2
2=，故43k =-或0k =．
经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共
点．
当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2
2=，故0k =或43k =．
经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =
时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4
||23
y x =-+．
11．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
，（t 为参数）．以
坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程
为
2cos sin 110ρθθ++=．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
【答案】（1）2
2
1(1)4
y x x +=≠-；l
的直角坐标方程为2110x ++=；（2
．
【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()
2
2
2
22
222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为2
2
1(1)4
y x x +=≠-．
l
的直角坐标方程为2110x ++=．
（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,
2sin x y αα=⎧⎨=⎩
（α为参数，ππα-<<）．
C 上的点到l
π4cos 11
α⎛
⎫-+ ⎪=
当2π3α=-
时，π4cos 113α⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭取得最小值7，故C 上的点到l
．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．
12．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=
3
θπ
时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1
）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23
ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
；
（2）4cos ,,42
ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
π．
【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=
时，04sin 3
ρπ
== 由已知得||||cos
23
OP OA π
==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫
-
== ⎪⎝
⎭
， 经检验，点(2,)3
P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-
= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42
ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
π．
【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．
13．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π
，)4
C 3π
，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2
π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．
（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =
P 的极坐标．
【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫
=≤≤
⎪⎝
⎭
，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤
⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭
．
（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫
⎪⎭
．
【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，
2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫
=≤≤ ⎪⎝
⎭
，2M 的极坐标方程为π3π2sin 4
4ρθθ⎛⎫=≤≤
⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭
．（2）设(,)P ρθ，由题
设及（1）知若π04θ≤≤，则2c o s θ=解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2s
i n θ=解得π
3
θ=
或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6
θ=
．
综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫
⎪⎭
．
【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．高考题答
案1.分析（1）根据已知条件得出P Q 、两点的坐标，然后转化为参数方程；（2）根据两点间的距离公式进行求解验证.。