2017-2018学年高一数学必修5教师用书：第1章 1-2 余弦

1.2 余弦定理 第1课时 余弦定理(1)
1．掌握余弦定理的两种形式及证明余弦定理的向量方法．(重点) 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 余弦定理
阅读教材P 13“思考”以上部分，完成下列问题．
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π
6，则a ＝ . 【解析】 a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1. 【答案】 1
2．在△ABC 中，若a ＝5，c ＝4，cos A ＝9
16，则b ＝ . 【解析】 由余弦定理可知 25＝b 2＋16－2×4b cos A ， 即b 2－9
2b －9＝0， 解得b ＝6.
【答案】 6
教材整理2 余弦定理的变形
阅读教材P13“思考”以下内容～P14，完成下列问题．1．余弦定理的变形
cos A＝b2＋c2－a2
2bc，
cos B＝a2＋c2－b2
2ca，
cos C＝a2＋b2－c2
2ab.
2．余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C 为锐角．
1．在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，则B＝.
【解析】cos B＝a2＋c2－b2
2ac＝
9＋4－7
12＝
1
2，
∴B＝60°.
【答案】60°
2．在△ABC中，若b2＋c2－a2<0，则△ABC必为三角形.
【导学号：92862010】
【解析】∵cos A＝b2＋c2－a2
2bc<0，
∴A∈(90°，180°)．∴△ABC必为钝角三角形．【答案】钝角
[小组合作型]
【精彩点拨】法一：直接利用余弦定理求边、求角；法二：先利用正弦定理求角，再利用余弦定理求边．
【自主解答】法一由余弦定理知
b2＝a2＋c2－2ac cos B，
∴2＝3＋c2－23·2
2c，
即c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋2
2或c＝
6－2
2.
当c＝6＋2
2时，由余弦定理得
cos A＝b2＋c2－a2
2bc＝
2＋
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
6＋2
2
2
－3
2×2×
6＋2
2
＝
1
2.
∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.
当c＝6－2
2时，由余弦定理得cos A＝
b2＋c2－a2
2bc＝
2＋
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
6＋2
2
2
－3
2×2×
6＋2
2
＝－
1
2.
∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.
故c＝6＋2
2，A＝60°，C＝75°或c＝
6－2
2，A＝120°，C＝15°.
法二由正弦定理
a
sin A＝
b
sin B，得
sin A＝a sin B
b＝3·
sin 45°
2
＝
3
2.
又∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或120°.当A＝60°时，得C＝75°.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C
＝3＋2－2×6×6－2
4＝2＋3，
∴c＝2＋3＝6＋2 2.
或用正弦定理求边c，由c
sin C＝
b
sin B得c＝
b sin C
sin B＝
2·sin 75°
sin 45°＝
2×
6＋2
4
2
2
＝6＋2
2.
当A＝120°时，得C＝15°，同理可求c＝
6－2
2，
故A＝60°，C＝75°，c＝
6＋2
2，
或A＝120°，C＝15°，c＝
6－2
2.
已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况：
(1)已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关
系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再求出其他角，可免去判断取舍的麻烦．
(2)已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，然后利用正弦定理求出另外两角．
[再练一题]
1．在△ABC中，若b＝3，c＝33，B＝30°，解此三角形.
【导学号：92862011】【解】法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos 30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，
∴C＝120°；
当a＝6时，由正弦定理得
sin A ＝
a sin B
b ＝6×12
3＝1，
∴A ＝90°， ∴C ＝60°.
法二 由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解． 由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×1
2
3＝3
2， ∴C ＝60°或120°. 当C ＝60°时，A ＝90°，
由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6； 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3.
综上所述，当a ＝3时，A ＝30°，C ＝120°；当a ＝6时，A ＝90°，C ＝60°.
【精彩点拨】 设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k ，代入cos A ，cos B ，cos C 求解．
【自主解答】 设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)，
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋(3＋1)2k 2－4k 226(3＋1)k 2＝22，∴A ＝45°.
同理可得cos B ＝1
2，B ＝60°. ∴C ＝180°－A －B ＝75°.
1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边解三角形．
[再练一题]
2．已知△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角． 【解】 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12. ∵0°<C <180°，∴C ＝120°. ∴△ABC 的最大内角为120°.
[探究共研型]
【提示】 若△ABC 是锐角三角形，则
⎩⎨⎧
cos A >0，
cos B >0，cos C >0，
即⎩⎨⎧
a 2＋
b 2>
c 2，
b 2＋
c 2>a 2，a 2＋c 2>b 2.
探究2 若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 是什么三角形．反之呢？ 【提示】 若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 是钝角三角形，反之不成立．
若钝角△ABC 的三边长分别为a ，a ＋1，a ＋2，求实数a 的取值范
围．
【精彩点拨】 首先a ，a ＋1，a ＋2需满足构成三角形的条件，其次要满足a ＋2对应的角为钝角．
【自主解答】 由题意知，a ＋2是三角形的最大边， 故⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，a ＋(a ＋1)>a ＋2，a 2
＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)<0，
即⎩⎨⎧
a >0，
a >1，
a 2－2a －3<0，
解得1<a <3.
用余弦定理判断三角形的形状
1．在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b 2＋c 2.
2．在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2.
3．在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.
提醒：①判断三角形形状时，要灵活选用公式，做到事半功倍．②注意题目中的隐含条件，防止增解或漏解．
[再练一题]
3．若2,3，x 是锐角三角形的三边，求实数x 的取值范围．
【解】
由题意可知⎩⎨⎧
22＋32－x 2>0，
22＋x 2－32
>0，
1<x <5，
即⎩⎨⎧
－13<x <13，x >5或x <－5，1<x <5，
∴5<x<13.
1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝ .
【解析】 由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝25＋9－49
2×5×3＝－
12.∵0<∠BAC <π，∴∠BAC ＝2
3π.
【答案】 2
3π
2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝ . 【解析】 ∵c 2＝1＋4－2×1×2cos 60° ＝1＋4－2
＝3，
∴c＝ 3.
【答案】 3
3．若△ABC的三边长为2,3,4，则该三角形是三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)
【解析】∵22＋32－42＝4＋9－16<0，
∴该三角形是钝角三角形．
【答案】钝角
4．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π
3，则a＝.
【导学号：92862012】
【答案】 1
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＋c2＝a2＋3bc，求：
(1)A的大小；
(2)2sin B cos C－sin(B－C)的值．
【解】(1)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，
故cos A＝b2＋c2－a2
2bc＝
3bc
2bc＝
3
2，所以A＝
π
6.
(2)2sin B cos C－sin(B－C)
＝2sin B cos C－(sin B cos C－cos B sin C)＝sin B cos C＋cos B sin C
＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A＝1 2.。