MPAcc联考数学基础篇方程与不等式一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的解法计算过程
一元二次不等式的解法计算过程嘿，咱今儿个就来唠唠一元二次不等式的解法计算过程。
你说这一元二次不等式啊，就像是个调皮的小精灵，得好好抓住它的小辫子才能搞定它。
咱先看看一元二次不等式长啥样，比如说 ax²+bx+c＞0 或者ax²+bx+c＜0 这样的。
那怎么解它呢？这可得有点小技巧啦。
咱先把它对应的一元二次方程 ax²+bx+c=0 给拎出来，然后用那什么求根公式算出两个根 x1 和 x2。
这就好比是找到了这个小精灵的两个落脚点。
然后呢，咱就根据这两个根把数轴分成几段。
嘿，你想想，这数轴就像一条长长的跑道，这两个根就是跑道上的标记点。
要是不等式是大于号，那咱就找跑道上在两根之外的部分，就像你找朋友，肯定找不在那两个特定点上的其他地方呀。
要是小于号呢，那就找两根之间的部分，这就好比找个安全的小窝躲起来。
举个例子呗，比如说 x²3x+2＞0，咱求出根是 1 和 2。
那数轴就被分成三段，小于 1 的那段，1 到 2 那段，还有大于 2 的那段。
因为是大于号，所以就找小于 1 和大于 2 的那两段，这两段上的 x 可都是满足条件的哟。
你说这是不是挺有意思的？就像玩游戏一样，找到正确的解法就通关啦。
再比如一个不等式 x²+2x1＜0，咱先整理一下变成 x²2x+1＞0，也就是(x1)²＞0。
那根就是 1 呗，可这时候就有点不一样啦，因为平方肯定是大于等于 0 的，要想大于 0，那就不能等于 1 呀，所以 x 就不能是 1，其他的都行。
哎呀，这一元二次不等式的解法计算过程啊，真的需要咱好好琢磨琢磨。
有时候可能会觉得有点难，但你想想，这就像爬山，虽然过程有点累，但等你爬到山顶，看到那美丽的风景，就会觉得一切都值了。
咱可不能被这小精灵给难住了呀，多练几次，肯定能把它拿捏得死死的。
等你熟练了，解起一元二次不等式来就跟玩儿似的。
所以啊，别害怕，大胆去尝试，去探索，你肯定能掌握这个有趣的解法计算过程的！加油吧！。
一元二次不等式与基本不等式常见题型及讲解
一、引言一元二次不等式是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型之一。
掌握一元二次不等式的解法及基本不等式的运用，对于提高学生的数学水平和解题能力有着重要的作用。
本文将重点讲解一元二次不等式及基本不等式的常见题型及解题方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、一元二次不等式的基本概念1. 一元二次不等式的定义一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数，且a≠0。
一元二次不等式的解就是使不等式成立的x的取值范围。
2. 一元二次不等式的常见形式一元二次不等式的常见形式包括ax^2+bx+c>0、ax^2+bx+c≥0、ax^2+bx+c<0和ax^2+bx+c≤0等，需要根据具体情况选择合适的解题方法来解决。
三、一元二次不等式的解法及常见题型1. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的常用方法有：利用一元二次函数的图像法、利用一元二次函数的根式关系法、利用配方法、利用因式分解法等。
需要根据具体不等式的形式和题目的要求选择合适的解题方法。
2. 一元二次不等式的常见题型及讲解(1) 一元二次不等式的根的情况讨论当一元二次不等式的根的情况为实数时，解法与一元二次方程类似，可以利用一元二次函数的图像法或根式关系法求解。
当根的情况为虚数时，需要利用配方法或因式分解法进行求解。
(2) 一元二次不等式的恒成立条件讨论对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0），当a>0时，条件为Δ<0；当a<0时，条件为Δ>0。
根据恒成立条件的讨论，可以快速判断一元二次不等式的解的范围。
(3) 一元二次不等式的应用题针对一元二次不等式的应用题，需要根据具体问题建立相应的不等式模型，再利用所学的解题方法进行求解，并得出相应的结论。
四、基本不等式的概念及应用1. 基本不等式的定义基本不等式是指在一定条件下成立的不等式，常见的基本不等式有算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦兹不等式等。
MPA联考真题
2010-2012-2013年MBA/MPA联考真题目录（一）2012年MBA综合真题及答案 (3)（二）2012年MBA英语真题及答案 (27)（三）2011年MBA综合真题及答案 (38)（四）2011年MBA英语真题及答案 (53)（五）2010年MBA综合真题及答案 (71)（六）2010年MBA英语真题及答案 (84)2013年MBA/MPA/MPACC考试大纲及真题：（一）算术1．整数（1）整数及其运算（2）整除、公倍数、公约数（3）奇数、偶数（4）质数、合数2.分数、小数、百分数3.比与比例4.数轴与绝对值（二）代数1．整式（1）整式及其运算（2）整式的因式与因式分解2．分式及其运算3．函数（1）集合（2）一元二次函数及其图像（3）指数函数、对数函数（保留2012年1月新增加考点）4．代数方程（1）一元一次方程（2）一元二次方程（3）二元一次方程组5．不等式（1）不等式的性质（2）均值不等式（3）不等式求解一元一次不等式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式。
6．数列、等差数列、等比数列（三）几何1．平面图形（1）三角形（2）四边形(矩形、平行四边形、梯形)（3）圆与扇形2．空间几何体（保留2012年1月新增加考点）（1）长方体（2）圆柱体（3）球体3．平面解析几何（1）平面直角坐标系（2）直线方程与圆的方程（3）两点间距离公式与点到直线的距离公式（四）数据分析l．计数原理（1）加法原理、乘法原理（2）排列与排列数（3）组合与组合数2．数据描述（1）平均值（2）方差与标准差（保留2012年1月新增加考点）（3）数据的图表表示直方图，饼图，数表。
3．概率（1）事件及其简单运算（2）加法公式（3）乘法公式（4）古典概型（5）贝努里概型（一）2012年MBA综合真题及答案一、问题求解题：第1～15小题，每小题三分，共45分。
下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的。
知识讲解_一元二次不等式及其解法_基础
.
因而不等式 x2 5x 0 的解集是{x | 0 x 5} .
（2）方法一：
因为 0 ， 方程 x2 4x 4 0 的解为 x1 x2 2 .
函数 y x2 4x 4 的简图为：
所以，原不等式的解集是{x | x 2} 方法二： x2 4x 4 (x 2)2 0 （当 x 2 时， (x 2)2 0 ） 所以原不等式的解集是{x | x 2}
照 0 ， 0 ， 0 可分三种情况，相应地，二次函数 y ax2 bx c (a 0) 的图像与 x 轴的位
置 关 系 也 分 为 三 种 情 况 . 因 此 我 们 分 三 种 情 况 来 讨 论 一 元 二 次 不 等 式 ax2 bx c 0 (a 0) 或
抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为 二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分 0, 0, 0 三种情况，得到一元二次不等式 ax2 bx c 0 与 ax2 bx c 0
当 0＜a＜1 时，解集为{x | x a2或x a} ；
当 a=1 时，解集为{x | x 1}；
【变式 3】（2015 春 房山区校级期中）解关于 x 的不等式 56x2+ax－a2＜0。
【答案】
∵56x2+ax－a2＜0，∴(7x+a)(8x－a)＜0，即[x ( a)]( x a) 0 。 78
∴原不等式的解集是 .
【总结升华】
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
2012年管理类mba,mpacc,mta联考数学串讲讲义
2012年MBAMPA 管理类联考：综合能力数学：串讲精要充分性判断的解题说明本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论。
阅读每小题中的条件（1）和（2）后选择： A ．条件（1）充分，但条件（2）不充分 B ．条件（2）充分，但条件（1）不充分C ．条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分D ．条件（1）充分，条件（2）也充分E ．条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）（2）联合起来也不充分解题指导思想：抓住“充分性”这一本质：由（1）（2）这样的条件推出题设成立才叫“充分性” 解题有三种方法可以应用。
（1）由下到上法：最本质的方法，“充分性”概念的体现。
（2）由上到下法：逆向思维，当题设推出的等价结论包含或者等于给出的条件时，“充分性”才可以成立。
（3）双向法：上面两种方法的结合。
一、实数部分1、实数的分类按定义分类：按正负分类：2、考试要点实数有理数无理数整数分数正整数 零 负整数 正分数负分数自然数有限小数或无限循环小数 正无理数负无理数无限不循环小数 实数正实数负实数零正整数负整数正分数负分数 负有理数负无理数正有理数正无理数（1）最小的质数是2， （2）最小的合数是4（3）大于2的质数必为奇数，即只有2是偶质数 （4）1既不是质数也不是合数（8）如果两个质数的和或差是奇数，那么必有一质数为2 （9）如果两个质数的积是偶数，那么必有一质数为2（10）整除关系（能被2，3，4，5，6，8，9，10，11，12整除） （17）最简分数（既约分数）（18）循环小数化为分数的方法：根据循环节的位数用9，99，999等等做为分母。
循环节上的数字作为分子。
2、典型题目例1：∙∙∙∙∙456.0,36.0,7.0例2：已知3个质数的倒数和为1661/1986，则这三个质数的和为（ ）二、整式与分式一、因式分解常用公式()=±2b a ()=±3b a22b a -=±33b a=++2)(c b a （重要）=---++ac bc ab c b a 222 （重要）例：已知n 为整数，2≥n ，则n n -3必有约数（ ）(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 （E ）9二、因式定理与余式定理整式的除法：如果()x f 除以()x g ，商式为()x Q ，余式为()x R ，则()=x f ()x g ()x Q +()x R 1：余式定理：多项式()x f 除以()a x -的余式为()a f ()x f 除以()b ax -的余式为⎪⎭⎫⎝⎛a b f 2：因式定理：相当于余式定理中余式为0的情况。
(完整版)高中数学一元二次不等式及其解法-知识点剖析
一元二次不等式及其解法-知识点剖析一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集1．一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： （1）ax 2+bx+c>0（a>0）； （2）ax 2+bx+c<0（a>0）.上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax 2+bx+c=0的根确定.设Δ=b 2-4ac ，则： ①Δ>0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的解x 1、x 2，则不等式（1）的解集为{x|x>x 2或x<x 1}，不等式（2）的解集为{x|x 1<x<x 2}；②Δ=0时，方程ax 2+bx+c=0有两个相等的解，即x 1=x 2，则不等式（1）的解集为{x|x≠x 1}，不等式（2）的解集为；③Δ<0时，方程ax 2+bx+c=0无实数解，则不等式（1）的解集为R ，不等式（2）的解集为. 2．解一元二次不等式的一般步骤：当a>0时，解形如ax 2+bx+c>0（≥0）或ax 2+bx+c<0（≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步： （1）确定对应方程ax 2+bx+c=0的解； （2）画出对应函数图象的简图； （3）由图象得出不等式的解集.二、一元二次函数图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系 由下表可以看出ax 2+bx+c>0对一切x ∈R 都成立的条件为⎩⎨⎧<∆>，，00a ax 2+bx+c<0对一切x ∈R 都成立的条件为⎩⎨⎧<∆<.00a ，判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c （a>0）的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0（a>0）的根 有两相异实根x 1，2=aacb b 242-±-有两相等实根x 1=x 2=-a b 2 没有实根一元二次不等式的解集 ax 2+bx+c >0（a>0） {x|x>x 2或x<x 1}{x ∈R |x≠-ab2} Rax 2+bx+c <0（a>0）{x|x 1<x<x 2}φφ三、简单的分式不等式的解法 分式不等式同解不等式四、简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f （x ）>0用穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是： （1）将f （x ）最高次项的系数化为正数；（2）将f （x ）分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过）；（4）根据曲线显现出的f （x ）值的符号变化规律，写出不等式的解集. 例：解不等式（x+2）（x+1）2（x-1）3（x-2）≤0.解：原不等式变为（x+2）（x-1）（x-2）≤0或x=-1，各因式的根为-2，1，2，利用穿根法，原不等式的解集为{x|x≤-2或1≤x≤2或x=-1}. 知识探究问题1：解一元二次不等式应该注意哪些问题?探究：①要将二次项系数化为正，例如：解不等式-x 2-2x-1<0，需首先转化为x 2+2x+1>0求解. ②若一元二次不等式中二次项系数含字母，一般需要对二次项系数进行讨论，当两根的大小不确定时，还应对两根的大小进行讨论.例如：解关于x 的不等式ax 2-（a+1）x+1<0.首先对a 进行讨论，若a=0，原不等式⇔-x+1⇔{x|x>1}；若a<0，原不等式⇔（x-a 1）（x-1）>0⇔{x|x<a 1或x>1}； 若a>0，原不等式⇔（x-a1）（x-1）<0.①其解的情况应由a1与1的大小关系进行确定，故当a=1时，式①⇔{x|x ∈}；当a>1时，式①⇔{x|a1<x<1}；当0<a<1时，式①⇔{x|1<x<a1}.注：对上述类型的二次不等式要搞清楚讨论的依据. 问题2：解简单的分式不等式应该注意哪些问题？探究：对于简单的分式不等式不能直接去分母，要把不等号的一边化为0，然后用商的符号法则化为不等式（组）求解.例如：解不等式1x 15x ++<3，应先将不等式转化为1x 15x ++-3<0，即1x 1)2(x +-<0，可化为⎩⎨⎧>+<-0101x ，x 或⎩⎨⎧<+>-0101x ，x ，（即化为不等式①），也可直接等价于2（x-1）（x+1）<0（转化为不等式）来求.还应注意对含等号的分式不等式，首先保证分母不为0. 例如：解不等式1x 15x ++≤1⇔1x 1)2(x +-≤0⇔⎩⎨⎧>+≤-0101x ，x 或⎩⎨⎧<+≥-0101x ，x 或直接等价于()()⎩⎨⎧≠+≤+-.010112x ，x x 练习请你和你的同学根据下面所给的材料，探究、讨论窗户应设计成怎样的尺寸.要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户（如图3-2-4所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸?图3-2-4。
一元二次不等式及其解法-一元二次不等式解集
一元二次不等式也可以通过因式分解或配方法转换为 (x - x1)(x - x2) ≥ 0 或 (x - x1)(x - x2) ≤ 0 的形式，其中 x1 和 x2 是方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
02 一元二次不等式的解法
配方法
总结词
通过配方将一元二次不等式转化为完全平方形式，从而求解。
05 一元二次不等式的扩展
一元高次不等式
一元高次不等式是指形如 ax^n > b (n ≥ 2) 的不等式，其中 a、b 是常数 且 a ≠ 0。
解一元高次不等式时需要注意不等式 的符号和临界点，确保解集的准确性。
解一元高次不等式需要利用因式分解、 不等式的性质以及数轴等方法，逐步 化简不等式，最终得到解集。
二元一次不等式组的解集可以通过平 面区域来表示，通过确定临界点和约 束条件来确定区域的边界。
一元二次不等式的解集可以通过抛物 线的开口方向和顶点坐标来表示，一 元高次不等式的解集可以通过相应函 数的图像来表示。
利用几何意义可以更加直观地理解不 等式的解集，有助于解决复杂的不等 式问题。
THANKS FOR WATCHING
函数分析
通过一元二次不等式，可以对一元二次函数进行全面的分析，包括函数的单调性、极值点、零点等。
在物理领域的应用
力学问题
在解决物理中的力学问题时，常常需要用到 一元二次不等式。例如，在解决碰撞、落体 等问题时，可以通过一元二次不等式来描述 物理量的变化范围。
波动问题
在研究波动问题时，如声波、电磁波等，一 元二次不等式可以用来描述波的传播范围以 及某些物理量的变化范围。
因式分解法
总结词
通过因式分解将一元二次不等式转化为 两个一次不等式的乘积形式，从而求解 。
不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。
一元二次不等式及解法课件
例1：解不等式4x2-4x +1>0
解： 因为△= 16 -16 =0
另解:由于4x2-4x+1
方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是
=(2x-1)2≥0
x1=x2=1/2
故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
例2：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
或 ax2 bx c 0(a 0)又怎样去寻求解集呢？
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
△>0 y
x1 O x2 x
△=0 y
a(ax>2+0b)的x+根c大小=0 于于有x100,两x在夹2相(x异两中1<实x边间2根) ，有x两O1=相xx2=等1 实2ba根x
新知讲解
一元二次不等式
形如 x2 5x 0 这样只含一个 未知数，并且未知数最高次数 为2的不等式。
探究新知
思考：
那么一元二次不等式 x2 5x 0 怎样
去求解呢？
探究新知
y
我们来考察它与其所对的二次
y>0,x轴
函数 y x2 5x 的关系：
上方
（1）当 x 0 或 x 5 时，y 0
●
O
（2）当 x 0 或 x 5 时，y 0
（3）当0 x 5 时，y<0
●
x
5
y=0，x
轴上
y<0，x轴 下方
结论：
结合图像知不等式 x2 5x 0 的解集
是 {x | 0 x 5}
不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法
2023《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》contents •一元二次不等式的定义与理解•一元二次不等式的解法•一元二次不等式的应用•一元二次不等式的扩展知识目录01一元二次不等式的定义与理解定义一元二次不等式是指形如`ax^2 + bx + c > 0`或`ax^2 + bx + c < 0`的不等式，其中`a`, `b`, `c`是常数，且`a`不等于0。
它是由一元二次方程的根的判别式和不等式的性质引出的。
一元二次不等式的解集就是使不等式成立的所有x的集合。
ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。
标准形式如`(x-a)(x-b) > 0`或`(x-a)(x-b) < 0`等。
特殊形式一元二次不等式的形式一元二次不等式的解集当判别式`Delta = b^2 - 4ac > 0`时，解集为两个开区间；当判别式`Delta = b^2 - 4ac < 0`时，解集为一个空集和两个开区间的并集。
当判别式`Delta = b^2 - 4ac = 0`时，解集为一个开区间和一个闭区间；注意：在求解一元二次不等式时，还需要考虑二次项系数a的正负情况，以及不等式的符号。
02一元二次不等式的解法总结词通过配方法将一元二次不等式转化为二次函数，利用二次函数的图像和性质求解。
详细描述将一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)化为a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a>0，再利用二次函数的图像和性质求解。
配方法总结词利用一元二次方程的求根公式，将一元二次不等式转化为两个一次不等式组，求解。
详细描述根据一元二次方程的求根公式，将一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)的两个根x1，x2代入，得到两个一次不等式组，求解即可得到解集。
公式法通过图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，根据图像求解。
一元二次不等式的概念与解法
一元二次不等式的概念与解法在数学中，一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0（或ax²+bx+c<0、ax²+bx+c≥0、ax²+bx+c≤0）的不等式，其中a、b、c是已知实数，且a≠0。
一元二次不等式是解决实际问题和证明数学命题的重要工具。
本文将详细介绍一元二次不等式的概念与解法。
一、概念一元二次不等式是由一元二次方程演变而来的。
一元二次方程的标准形式为ax²+bx+c=0（a≠0）。
而一元二次不等式则是在二次方程的基础上引入了不等关系符号，使得方程的解不再是精确的数值，而是满足不等式条件的数值范围。
二、解法解一元二次不等式的过程主要分为三步：确定开口方向、求解零点、确定解集。
1. 确定开口方向首先，我们需要通过一元二次不等式的系数a的正负来确定开口的方向。
若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下。
2. 求解零点接下来，我们需要求解一元二次不等式对应的二次方程的零点。
通过求解二次方程ax²+bx+c=0，我们可以得到其两个零点x1和x2，即F(x1)=F(x2)=0。
3. 确定解集最后，我们需要根据一元二次不等式的不等关系符号，结合开口方向与零点的位置，确定解集的范围。
若一元二次不等式为ax²+bx+c>0（或ax²+bx+c≥0），则解集为F(x)>0（或F(x)≥0）。
开口向上时，解集为零点之间的区间；开口向下时，解集为零点之外的两个区间。
若一元二次不等式为ax²+bx+c<0（或ax²+bx+c≤0），则解集为F(x)<0（或F(x)≤0）。
开口向上时，解集为零点之外的两个区间；开口向下时，解集为零点之间的区间。
需要注意的是，解集中的符号与不等关系符号要严格对应，且解集可以用不等关系符号连接多个不等式，如F(x)>0并且F(x)<3。
知识讲解 一元二次不等式及其解法 基础
一元二次不等式及其编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：250xx ??.一元二次不等式的一般形式：20axbxc ???(0)a ?或20axbxc ???(0)a ?. 设一元二次方程20(0)axbxca ????的两根为12xx 、且12xx ?，则不等式20axbxc ???的解集为??21xxxxx ??或，不等式20axbxc ???的解集为??21xxxx ??要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ?成立.要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系对于一元二次方程20(0)axbxca ????的两根为12xx 、且12xx ?，设ac b42???，它的解按照0??，0??，0??可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc ???(0)a ?的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc ???(0)a ?或20axbxc ???(0)a ?的解集.要点诠释：（1）一元二次方程20(0)axbxca????的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线?y cbxax??2与x轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0??????三种情况，得到一元二次不等式20axbxc???与20axbxc ???的解集.要点三、解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程20axbxc???(0)a?，计算判别式?：①0??时，求出两根12xx、，且12xx?（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0??时，求根abxx221???；③0??时，方程无解（3）根据不等式，写出解集.用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程开始将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)Δ=b2-4ac求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2方程ax2+bx+c=0没有实数根Δ≥0?否是要点诠释：1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法例1.解下列一元二次不等式（1）250xx??；（2）2440xx???；（3）2450xx????【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符法则解答.【解析】（1）方法一：因为2(5)410250????????所以方程250xx??的两个实数根为：10x?，25x?函数25yxx??的简图为：因而不等式250xx??的解集是{|05}xx??. 方法二：250(5)0xxxx?????050xx???????或050xx??????解得05xx?????或05xx?????，即05x??或x??. 因而不等式250xx??的解集是{|05}xx??. （2）方法一：因为0??，方程2440xx???的解为122xx??.函数244yxx???的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}xx?方法二：2244(2)0xxx?????（当2x?时，2(2)0x??）所以原不等式的解集是{|2}xx?（3）方法一：原不等式整理得2450xx???.因为0??，方程2450xx???无实数解，函数245yxx???的简图为：所以不等式2450xx???的解集是?. 所以原不等式的解集是?.方法二：∵2245(2)110xxx??????????∴原不等式的解集是?. 【总结升华】1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当0??时，用配方法，结合符法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0??且是一个完全平方数时，利用因式分解和符法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一一元二次不等式的解法】【变式1】已知函数222,0,()2,0xxxfxxxx???????????解不等式f(x)＞3.【答案】由题意知20,23xxx??????或20,23,xxx???????解得：x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}．．【变式2】（2015 重庆）函数22(x)log(x2x3)f???的定义域是（）A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞，-3]∪[1.+ ∞)D. (-∞，-3)∪(1.+ ∞) 【答案】由题意得：2230xx???，即(x1)(x3)0???解得x>1或x<-3,所以定义域为(-∞，-3)∪(1.+ ∞)，故选D。
一元二次不等式及其解法
解法编辑解法一当△=b²-4ac≥0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实根，那么ax²+bx+c可分解为如a(x-x1)(x-x2)的形式。
这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。
一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。
举例：试解一元二次不等式解：利用十字相乘法：2x -3x-2得（2x-3)(x-2)<0然后，分两种情况讨论。
口诀同一元一次不等式的“数轴法”：大大取大，小小取小；大小小大取中间，小小大大没有解。
1）2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2（不成立）2）2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2。
得最终不等式的解集为：解法二此外，亦可用配方法解一元二次不等式。
如上例题中：2x²-7x+6=2(x²-3.5x)+6=2(x²-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x²-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)²-0.125<02(x-1.75)²<0.125(x-1.75)²<0.0625两边开平方，得：x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为解法三一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。
一元二次不等式及其解法
第一课时
探究新知：
解不等式： x 5x 6
2
解：原不等式可变形为：x 5x 6 0
2
方程x 5x 6 0的两个根为：
2
x1＝2，x2＝3
∴ 不等式的解集为{x│ x <2或x>3}.
探究新知： 二次函数、一元二次方程、一元二次不等 式是一个有机的整体。通过函数把方程与不等 式联系起来，我们可以通过对方程的研究利用 函数来解一元二次不等式。 方程的解即对应函数图象与x轴交点的横坐 标;不等式的解集即对应函数图象在x轴下方或 上方图象所对应x的范围,且解集的端点值为对 应方程的根。
,
a a 16 x1 2 显然 x1 x 2
2
；
,
a a 2 16 x2 2
a a 2 16 a a 2 16 固：
1 1、若0 a 1, 则不等式（x a） ( x ) 0的解是（ A ） a 1 1 A．a＜x＜ C．x＞ 或x＜a a a 1 1 B． ＜x＜a D．x＜ 或x＞a a a
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
2
二、按判别式 的符号分类，即分 0, 0, 0 三种情况
三、按对应方程 ax bx c 0 的根 x1 , x 2 的大小分类，即分 x1 x2 , x1 x2 , x1 x 2 三种情况．
2
1 2a 2 1 3 a
一元二次不等式的解法和技巧
一元二次不等式的解法和技巧大家好，今天咱们聊聊一元二次不等式的解法。
别担心，我会把它讲得简单明了，让你不至于觉得像看天书一样。
话不多说，咱们直接进入正题。
1. 一元二次不等式的基本概念1.1 什么是“一元二次不等式”？简单来说，一元二次不等式就是这样的：它的形状像个大写的“U”，我们通常看到的格式是“ax² + bx + c < 0”（或者“> 0”、“≤ 0”、“≥ 0”）。
这里的a、b、c都是数字，而x是未知数。
听起来有点复杂，但别急，慢慢来，我们一步一步搞定它。
1.2 为什么要解一元二次不等式？解这些不等式的目的，就是找出使得不等式成立的x的值。
说白了，就是找出符合条件的x的范围。
比如，咱们想知道在什么情况下，一辆车的速度会低于60公里每小时。
这些条件就可以通过解不等式来找出。
2. 解一元二次不等式的步骤2.1 先把不等式转化为标准形式首先，要把一元二次不等式的两边整理得干干净净。
比如，给你一个不等式“x² 4x 5 < 0”，你要确保它的右边是0。
这就像整理房间，把东西都摆放整齐一样。
把它整理成“x² 4x 5 < 0”这个标准形式。
2.2 求出对应的方程的根接下来，我们要找出与这个不等式相关的方程的根。
也就是把它变成一个等式：“x² 4x 5 = 0”。
要找出x的值，可以使用因式分解法或者求根公式。
这就像是解一个谜题，找出那些关键的线索。
因式分解法：如果一元二次方程比较简单，可以尝试因式分解。
比如，“x² 4x 5”可以分解成“(x 5)(x + 1) = 0”，所以它的根是x = 5和x = 1。
求根公式：对于复杂一点的方程，我们可以用求根公式。
公式是这样的：“x = [b ± √(b² 4ac)] / 2a”。
记得要代入方程中的a、b、c值，解出x的值。
2.3 确定不等式的解集有了方程的根之后，我们就得确定不等式的解集。
一元二次不等式及其解法
一、复习一元二次不等式解法
二次函数、一元二次方程、一元二次不 等式是一个有机的整体。 利用函数把方程与不等式联系起来，这 样我们可以通过对二次函数的研究，来讨论 方程的解，根据方程的解进一步来解一元二 次不等式。
引例.画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答：
(1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) 该坐标与方程 x2 -x-6=0的解有什么关 系： 交点的横坐标即为方程的根 。 ,
解：∵f(x)= 的定义域为R , ∴ k ≥ 0 当k=0时，f(x)=lg8 满足条件. 当k> 0时，∴只要△ ＜ 0 即△=(6k)2－4k(k+8) X 0 =32k2－32Ｋ＜ 0 ∴0＜k＜1 ∴f(x)的定义域为R时， k的取值范围为0 ≤ k ＜ 1
lg(kx2 －6kx+k+8）
一元二次不等式的解集如下表
⊿=b2-4ac
二次函数
⊿> 0
Y
⊿=0
Y x1
⊿< 0
Y
y=ax2+bx+c
(a >0)的图象
0 x1
方程
ax2+bx+c=0
的根
有两个不等 实根 x1≠ x2
有两个相 等实根 x1=x2 = -b/2a
无实根
ax2+bx+c>0
的解集
﹛x|x<x1或 x>x2﹜
例1 、解不等式: x2－2│x│－15≥0
分析2：也可用绝对值定义去掉绝对值 将不等式转化为不含绝对值的求解。 解法2：当x＞0时， 原不等式可化为x2 －2x－15≥0 则不等式的解为x≥5或 x≤－3 ∵ x＞ 0 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 } 当x ≤0时， 原不等式可化为x2 ＋2x－15≥0 则不等式的解为x≥3或x ≤－5 ∵x≤0 ∴ 不等式的解集为{x│x≤－5 } 由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法3.2 一元二次不等式及其解法本课时的研究目标如下：1.掌握一元二次不等式的解法（重点）。
2.能够根据“三个二次”之间的关系解决简单问题（难点）。
基础·初探】1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2.一元二次不等式的一般形式1) ax^2 + bx + c。
0 (a ≠ 0)。
2) ax^2 + bx + c ≥ 0 (a ≠ 0)。
3) ax^2 + bx + c < 0 (a ≠ 0)。
4) ax^2 + bx + c ≤ 0 (a ≠ 0)。
3.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集。
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）1) mx^2 - 5x < 0 是一元二次不等式。
（×）解析：当 m = 0 时，是一元一次不等式；当m ≠ 0 时，它是一元二次不等式。
2) 若 a。
0，则一元二次不等式 ax^2 + 1.0 无解。
（×）解析：因为 a。
0，所以不等式 ax^2 + 1.0 恒成立，即原不等式的解集为 R。
3) x^2 - x。
0 为一元二次不等式。
（×）解析：因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有 x，故该说法错误。
答案】(1) × (2) × (3) ×二次函数与一元二次不等式的关系】考虑一元二次不等式 f(x)。
0（或 f(x)。
0）。
1.判别式Δ = b^2 - 4ac。
2.求出方程 f(x) = 0 的解集 {x | x1 < x < x2}，其中 x1 和x2 分别是 f(x) = 0 的两个实根。
3.画出函数 y = f(x) 的图像。
4.根据 f(x)。
0（或 f(x) < 0）的条件，得到一元二次不等式的解集。
§9.2一元二次不等式及其解法
1
x
1
若 a<0,则原不等式等价于 x- (x-1)<0,解得 <x<1.
若 a>0,则原不等式等价于
(x-1)>0.
1
1
1
1
1
a>1 时, <1,解 x- (x-1)>0 得 x>1 或 x< ;
1
1
1
0<a<1 时, >1,解 x- (x-1)>0,得 x> 或 x<1.
以不等式的解集不可能是 R,故 B 错误;
因为 f(x)=mx2-2x-1 的图象开口向上,所以不等式 mx2-2x-1>0(m>0)的解集可
能表示为两根之外,不可能为两根之间,故 C 错误;
因为 f(x)=mx2-2x-1 的图象开口向上,所以不等式 mx2-2x-1>0(m>0)的解集不
可能为⌀,故 D 错误.
有两相等实根1 =
2 = −
2
{| ≠ 1 }
________________________________
⌀
没有实数
根
⌀
________
5
目录
拓展知识
不等式 ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件
= = 0,
（1）不等式 ax2+bx+c>0 对任意实数 x 恒成立⇔
【解析】要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,则 mx -mx+m-6<0,即 m
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法初中数学知识归纳：一元二次不等式与解法一、引言初中数学学科中，一元二次不等式是一个重要的内容。
在解决实际问题和数学推理中，一元二次不等式经常被应用。
本文将对一元二次不等式的定义、性质以及解法进行详细的归纳与总结。
二、一元二次不等式的定义与性质一元二次不等式指的是包含未知数的平方项的不等式，其一般形式为：ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0其中，a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
1. 定义一元二次不等式是基于一元二次方程和不等式的概念而产生的。
不等式中的未知数仍然是x，与一元二次方程相同。
2. 性质（1）二次函数性质：一元二次不等式与一元二次方程在性质上有很多相似之处，其中关键是利用二次函数的凹凸性质进行分析。
（2）符号问题：处理不等式时需要确定不等号的方向，区别于一元二次方程需要使用等号。
三、解一元二次不等式的常用方法一元二次不等式的解法有两种常用的方法：图像法和区间法。
1. 图像法图像法基于二次函数的图像和不等式的定义，通过对二次函数图像的观察，从几何直觉的角度得出不等式的解集。
2. 区间法区间法利用了二次函数在不等式中的凹凸性质。
通过求解一元二次不等式的判别式和二次函数的极值点，将定义域划分成若干个区间，进而判定不等式的解集。
四、具体解题步骤与示例以下是一元二次不等式解题的一般步骤：1. 对齐系数，将不等式变形成标准形式(ax^2 + bx + c ＞0 或 ax^2 + bx + c ＜0)。
2. 利用图像法或区间法进行解题。
3. 在解集中找出满足题意的解。
解题示例：例题1：解不等式 x^2 + 6x ＞ 0解答过程如下：1. 对齐系数，得到： x^2 + 6x ＞ 02. 根据二次函数的性质，当 a > 0 时，二次函数开口向上，函数图像位于x轴上方。
因此，解集是实数集 R。
3. 综上所述，不等式 x^2 + 6x ＞ 0 的解集为实数集 R。
一元二次不等式解
一元二次不等式解
一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。
解一元二次不等式的方法如下：
1. 首先，将不等式化为标准形式，即将不等式的右边移至左边，使不等式的右边为0。
例如，将不等式ax^2 + bx + c > 0改写为
ax^2 + bx + c - 0 > 0。
2. 判断一元二次函数的开口方向。
当a > 0时，二次函数的开口向上；当a < 0时，二次函数的开口向下。
3. 找到二次函数的顶点。
二次函数的顶点坐标为 x = -b/2a。
计算并得出顶点坐标。
4. 根据二次函数的开口方向，确定不等式的解集区间。
- 当a > 0时，二次函数开口向上，对应的不等式解集为顶点坐标两侧的区间，即 x < -b/2a 和 x > -b/2a。
- 当a < 0时，二次函数开口向下，对应的不等式解集为顶点坐标之外的区间，即 x < -b/2a 或 x > -b/2a。
综上所述，通过以上步骤可以求解一元二次不等式。
请注意，具体的实例问题需要根据具体的不等式形式和参数进行计算。