2018-2019学年高二数学人教A版选修4-4课件：第一讲 三 简单曲线的极坐标方程 1.圆的极坐标方程

2．圆的极坐标方程 (1)圆心在 C(a,0)(a＞0)，半径为 a 的圆的极坐标方程为 __ρ_＝__2_a_c_o_s__θ__.
(2)圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 __ρ_＝__r_.
(3) 圆 心 在 点 a，π2 处 且 过 极 点 的 圆 的 方 程 为 __ρ_＝ ___2_a_s_i_n__θ_(_0_≤__θ_≤_．π)
(2)两边同时乘以 ρ，得 ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即 x2＋y2＝9x ＋9y，整理得x－922＋y－922＝821.
它是以92，92为圆心，以9 2 2为半径的圆． (3)将 ρ＝4 两边平方，得 ρ2＝16，即 x2＋y2＝16. 它是以原点为圆心，以 4 为半径的圆． (4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即 2x－3y＝5，是一条直线．
几种特殊情形下的圆的极坐标方程 当圆心在极轴上即 θ0＝0 时，方程为 r2＝ρ02＋ρ2－ 2ρρ0cos θ，若再有 ρ0＝r，则其方程为 ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ， 若 ρ0＝r，θ0≠0，则方程为 ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程 经常用来判断图形的形状和位置．
1．求圆心为

2±1，π4 也适合上式，所以 Nhomakorabea的极坐标方程为 ρ2－2 2ρcosθ－π4＋1＝0.
2．求圆心在 A2，32π处并且过极点的圆的极坐标方程．
解：设 M(ρ，θ)为圆上除 O，B 外的任 意一点，连接 OM，MB，则有|OB|＝4， |OM|＝ρ， ∠MOB＝θ－32π，∠BMO＝90°，从而△ BOM 为直角三角形． ∴有|OM|＝|OB|cos∠MOB 即 ρ＝4cosθ－32π＝－4sin θ.
极坐标方程与直角坐标方程的互化
[例 2] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图 形的形状．
(1)ρ＝2acos θ(a>0)；(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；(3)ρ＝4； (4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5. [解] (1)两边同时乘以 ρ，得 ρ2＝2aρcos θ，即 x2＋y2＝2ax， 整理得(x－a)2＋y2＝a2， 它是以(a,0)为圆心，以 a 为半径的圆．
“应用创新演练”见“课时跟踪检测(四)” (单击进入电子文档)
三
简单曲线的极坐标方程
1．圆的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程 (1)在极坐标系中，如果曲线 C 上任意一点 的极坐标 中 至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点 都在曲线C上 ，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫做 曲线 C 的 极坐标方程 ．
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是： ①建立适当的极坐标系，设 P(ρ，θ)是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简． ④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．
圆的极坐标方程
[例 1] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的方程． [思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程．
[解] 在 圆周上任 取一点 P(如 图)，
设其极坐标为(ρ，θ)． 由 余 弦 定 理 知 ： |CP|2 ＝ |OP|2 ＋ |OC|2－2|OP|·|OC|cos∠COP， 故其极坐标方程为 r2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．
两种坐标方程间进行互化时的注意点 (1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系 的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种 坐标系的单位长度相同． (2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里 约定只在 0≤θ＜2π 范围内求值．
(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简． (4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等 价性，通常总要用 ρ 去乘方程的两端，应该检查极点是否在 曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．

C

2，π4，半径为 1 的圆的极坐标方程．
解：设圆 C 上任意一点的极坐标为 M(ρ，θ)，
如图，在△OCM 中，由余弦定理，得
|OM|2 ＋ |OC|2 － 2|OM|·|OC|·cos ∠ COM ＝
|CM|2，即 ρ2－2 2ρcosθ－π4＋1＝0.
当 O，C，M 三点共线时，点 M 的极坐标
5．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
(1)ρ＝6cos θ；
(2)ρ＝2cosθ－π4.
解：(1)因为 ρ＝6cos θ，所以 ρ2＝6ρcos θ， 所以化为直角坐标方程为 x2＋y2－6x＝0.
(2)因为 ρ＝2cos θcosπ4＋2sin θsinπ4＝ 2cos θ＋ 2sin θ， 所以 ρ2＝ 2ρcos θ＋ 2ρsin θ. 所以化为直角坐标方程为 x2＋y2－ 2x－ 2y＝0.
3．曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程 为________． 解析：将 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ 代入 x2＋y2－2x＝0， 得 ρ2－2ρcos θ＝0，整理得 ρ＝2cos θ. 答案：ρ＝2cos θ
4．把下列直角坐标方程化为极坐标方程． (1)y＝ 3x；(2)x2－y2＝1.
解：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y＝ 3x 得 ρsin θ＝ 3ρcos θ，从而 θ＝π3. (2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 x2－y2＝1， 得 ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化简，得 ρ2＝cos12θ.