考虑动半径和粘度变化的稠油非牛顿不稳定渗流数学模型

+1 n +1 +1 n 2 pn + pn i －1 － （ 2 + M i ） p i i + 1 = － M i p i + λ r w exp （ i Δ x ） Δ x ．
2 其中 M i = r w exp （ 2 i Δ x ） （ K μ s ）
－1
ln （ μ o / μ s ） 828 5 C exp Td μ 0. o r e 1 － exp － 0. 000 9 2 λ
(
(
))
r w （ 1 + exp x ） + rw λ， t ＞ 0．
= λ r w exp x ，
x = ln （ r b / r w ）
设在泄油区范围内取 N 个节点， 节点间距为 Δ x = ln （ r b / r w ） / N ，采用 点 中 心 网 格 系 统， 进 行 差 分 离 散， 隐式差分格式如下：
对于平面径向流， 其渗流方程为 1 p 1 p p λ － = + ， 2 r r r χ t r 3. 2 平面径向流数学模型 由于存在启动压力梯度， 则地层中存在两个区域， 内部为渗流区， 外部为定压区， 其边界为 r b ，并随吞吐 周期而变 ． 假设渗流区外为未受扰动的静止区， 则在动边界上有如下条件： p r 面径向流数学模型为 = λ，
(
(
))
p（ x， t） | p x p x
t=0
= pe ，
0 ≤ x ≤ ln ( r b / r w ) ，
x =0
ln （ μ o / μ s ） Q －1 828 5 = μ exp Td μ 0. o 2 π Kh s r e 1 － exp － 0. 000 9 2 λ
－1
ln
， a = μ (μ μ )
o s
－1 s
exp （ br w ） ．
将动半径与吞吐周期 T 和启动压力梯度 λ 的关系代入式 （ 2 ） ， 得到非牛 顿 稠 油 粘 度 与 径 向 半 径 r 、 吞吐 周期 T 和启动压力梯度 λ 的关系式 （ r w + r ） ln （ μ o / μ s ） －1 828 5 μ = μ s exp Td μ 0. o r e 1 － exp － 0. 000 9 2 λ ．
4 3 3
（ 4）
y， z， t） ， 为简单起见， 令 1 / | p | = H（ x， 对 Bingham 流体渗流方程进行简化， V =－ 将式（ 5 ） 代入连续性方程 K p（ 1 － λH） ， μ λH ＜ 1， （ 5）
（ ρ ） + · （ ρ V ） = 0 ，则渗流方程可表示为 t （ 1 － λH） 2 p － λH·p = 1 p ． χ t p ＞ λ． r （ 6）
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理
第 28 卷
d0 d1 d2 d N －2 d N －1 － p e + λ（ re － rb ） 对内边界条件进行差分离散可得 d0 = ln （ μ o / μ s ） Q 828 5 exp Td μ 0. o 2 π Kh μ s r e 1 － exp － 0. 000 9 2 λ
828 5 r b = r e （ 1 － exp （ － 0. 000 9 Td μ 0. / λ2 ） ） + rw ， o
（ 1）
其中 T 是吞吐周期（ 轮次） ； d 是每周期生产时间（ d ） ； μ o 是地层温度下的原油粘度 （ mPa·s ） ； λ 是启动压力 ·m － 1 ） ． 梯度（ Pa
（ 12 ） p w p n +1 0 1 n +1 p2 0 = n +1 1 p N －2 － （ 2 + M N －1 ） p n +1 N －1 0
可得到原问题的三对角系数矩阵方程组为 －1 1 0 0 0 1 － （ 2 + M1 ） 1 0 0 0 1 － （ 2 + M2 ） 0 0 0 0 1 0 0 … … … … … 0 0 0 1 0 0 0 0 － （ 2 + M N －2 ） 1
罗艳艳 ， 程林松 ， 黄世军
（ 中国石油大学石油工程学院石油工程教育部重点实验室 ，北京 102249 ）
摘
要： 针对稠油非牛顿特征，在 Bingham 流体渗流方程基础上，通过对动半径和粘度进行表征，建立 同 时 考 虑
启动压力梯度 、 动半径变化和粘度变化的非牛顿稠油不稳定 渗 流 数 学 模 型 ， 完 善 Bingham 型 稠 油 渗 流 数 学 模 型 ． 通过空间 、 时间离散差分及 Matlab 数值计算，得到非牛 顿 稠 油 非 稳 态 渗 流 地 层 压 力 分 布 ． 结 果 表 明， 相 同 产 量 下，随启动压力梯度增大，动半径向井方向移动； 启动 压 力 梯 度 越 大， 压 降 曲 线 越 陡， 相 应 近 井 压 降 越 大； 相 同启动压力梯度下，产量越大，不同吞吐周期 压 力 差 距 越 大 ． 将 半 径 和 粘 度 动 态 变 化 相 结 合， 弥 补 了 现 行 非 牛 顿稠油渗流数学模型的一个缺陷 ． 关键词： 动边界； 非牛顿稠油； 不稳定渗流； 压力分布； 启动压力梯度 中图分类号： TE345 文献标识码： A
， 由于稠油的流动存
． Bingham 流体开始流动之后， 其应力应变呈线
［8］
． 稠油与 Bingham 流体的区别在于稠油开始流动之后， 其粘度仍随温度的变化而变化 ． 并且在稠油热 ． 本文在
采过程中， 随着吞吐周期的增大， 其有效泄油半径（ 即动半径） 增大 ． 但目前关于动半径的研究较少
Bingham 流体渗流方程的基础上， 对动半径和粘度进行了表征， 建立了同时考虑启动压力梯度 、 动半径和粘度变 完善了 Bingham 型稠油渗流数学模型， 弥补了现有数学模型的不足 ． 通 化的非牛顿稠油不稳定渗流数学模型， 过在空间 、 时间离散差分及 Matlab 数值计算， 得到了非牛顿稠油非稳态状况下的地层压力分布 ．
收稿日期： 2010 － 12 － 03 ； 修回日期： 2011 － 03 － 28 005 006 ） 及国家重大专项（ 2011 ZX05012 004 ） 资助项目 基金项目： 国家 973 项目（ 2011 CB707305 ） ， 国家科技重大专项（ 2011ZX05024作者简介： 罗艳艳（ 1984 － ） ， 女， 博士生， 主要从事油气田开发研究，E-mail ： 2002 luoyy@ 163. com
r = rb
（ 7）
r = rb ．
（ 8）
经过推导得出在单井泄油范围内， 考虑动边界与粘度变化的油井定产时单相微 可 压 缩 非 牛 顿 稠 油 的 平
第6期
罗艳艳等： 考虑动半径和粘度变化的稠油非牛顿不稳定渗流数学模型
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3. 3
1 p － λ = （ K ） μs r r r r r p（ r， t） | p r p r
+1 n +1 +1 pn + pn i －1 － 2 p i i +1
Δx r2 w 整理得：
2
=
ln （ μ o / μ s ） exp （ 2 i Δ x ） 828 5 C exp Td μ 0. o Kμs r e 1 － exp － 0. 000 9 2 λ
(
(
))
n n +1 r w （ 1 + exp x ） p i － p i + λ r w exp （ i Δ x ） ， （ 11 ） Δt
(
(
))
r w （ 1 + exp （ i Δ x ） ） Δ x 2 ． Δt
n 2 令 d i = － M i p i + λ r w exp （ i Δ x ） Δ x ，有 +1 n +1 +1 pn + pn i －1 － （ 2 + M i ） p i i +1 = d i ．
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2
非牛顿稠油粘度表征
伴随着蒸汽注入， 加热区内的温度分布不同， 从而粘度是一个不断变化 的 过 程 ． 假 定 粘 度 的 变 化 是 一 个
［9］
负幂指数形式
． μ = a exp （ br ） ， （ 2）
满足 μ （ r b ） = μ o ，μ （ r w ） = μ s ，其中 μ s 为蒸汽注入温度下的原油粘度 ． 由以上条件可得 b = （ rb － rw ）
t=0
( )
－1
ln （ μ o / μ s ） 828 5 C exp Td μ 0. o r e 1 － exp － 0. 000 9 2 λ
(
(
))
（ r w + r） p ， t （ 9）
= pe ，
－1
rw ≤ r ≤ re ， ln （ μ o / μ s ） 828 5 Q exp Td μ 0. o r e 1 － exp － 0. 000 9 2 λ
= （ 2 π r w Kh μ s ）
r = rw
(
(
))
（ r w + r） + λ，
= λ，
r = rb
t ＞ 0ห้องสมุดไป่ตู้
－ 0. 333 3
其中， 启动压力梯度采用由一维驱替实验得到的结果 λ = 0. 733 6 （ K / μ o ） 变换坐标下的差分方程
．
由于离井点越远， 压 力 变 化 趋 缓， 网 格 应 越 大， 因 此 需 对 r 采 用 不 均 匀 网 格， 进 行 坐 标 变 换， 令 x = ln （ r / r w ） ，模型变换为 ln （ μ o / μ s ） 2 p C 2 828 5 = λ r w exp x + r w exp （ 2 x ） exp Td μ 0. 2 o Kμs r e 1 － exp － 0. 000 9 x 2 λ r w （ 1 + exp x ） p ， t （ 10 ）
第 28 卷 第 6 期 2011 年 11 月
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CHINESE JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS
Vol． 28 ， No． 6 Nov． ，2011
246X （ 2011 ） 06086906 文章编号： 1001-
考虑动半径和粘度变化的稠油非牛顿 不稳定渗流数学模型
(
(
))
（ 3）
3
3. 1
油井定产时平面径向流不稳定渗流数学模型及数值求解
平面径向流压力分布 假设在未饱和稠油油藏中的单井泄油区中， 油井以定产生产， 均相微可压缩， 平面径向流， 忽略岩石的可
压缩性和流体的重力作用 ． Bingham 流体渗流的广义 Darcy 定律可写成［10］ V =－ λ [ (| p|) ] K 1 λ λ λ = － p[ ( 1 － ． － 1 － ) 3 | μ p | ( | p | | p | ) ] K 4 1 λ + p 1 － 3 | p | 3 μ
0
引言
［1］ 20 世纪 50 年代， 前苏联等国家对稠油的流变性进行了大量研究， 指出地下稠油不属于牛顿流体 ． 稠 ［2 － 4］
国内外学者对非线性渗流进行了大量的研究 油在多孔介质中的流动具有非牛顿特性， 在启动压力梯度， 因此大部分研究将稠油视为 Bingham 流体 性关系
［7］ ［5 － 6］
1
非牛顿稠油动半径表征
在稠油热采过程中， 随着蒸汽的注入， 热量不断向外传递， 从而动半径 r b 随着时间的增大不断扩 展， 同
时扩展速度与原油的启动压力梯度有关 ． 启动压力梯度越大， 动半径的扩展速度越小 ． 假设动半径 r b 与吞吐 周期 T 和启动压力梯度 λ 的关系式满足： ① T = 0 时，r b = r w ； ② λ 越大， 有效泄油半径的扩展速度越小 ． 通过多次试算， 最终得到有效泄油半径 r b 与吞吐周期 T 和启动压力梯度 λ 的关系式