广东省汕头市高二数学12月月考试题 文 新人教版

金山中学2012-2013年度第一学期12月考试
高二文科数学 试题卷
一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分） 1．若向量a =（2,3）, c =(3,x) , 满足条件 c a
，则x =( )
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．3 2．空间直角坐标系中，下列点在x 轴上的是（ ）
A ．(0.1, 0.2, 0.3)
B ．(0, 0, 0.001)
C ． (5, 0, 0)
D ． (0, 0.01, 0) 3．已知圆1C :1)1(2
2
y x ，圆2C : 1)2(2
2
y x ，则圆1C 与2C 的位置关系是
（ ）A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．内含 4．若p 是真命题，q 是假命题，则（ ）
A ．p q 是真命题
B ．p q 是假命题
C ．p 是真命题
D ．q 是真命题
5．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )
A.8:27
B. 2:3
C.4:9
D. 2:9
6．若实数x y ，满足1000x y x y x
，，，≥≥≤则y x z 2 的最小值是（ ）
A ．-1
B ．0
C ．
2
3
D ．2 7. 下列说法错误．．
的是（ ） A ． 命题“若2320x x ,则1x ”的逆否命题为:“若1x ,则2
320x x ”
B ． “1 a ”是“
11
a
”的充分不必要条件 C ． 若p q 为真命题，则p 、q 均为真命题
D ． 若命题p :“存在0x R ，0
2
x 0”,则p :“对任意的x R, 2x >0”.
8．设b a ,是两条直线， ,是两个平面，则b a 的一个充分条件是（ ）
A ． ,//,b a
B ． //,, b a
C ． //,, b a
D ． ,//,b a
9．已知圆的方程为0862
2
y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为
AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．106
B ．206
C ．306
D ．406
10．已知函数2
()2(4)4f x x m x m ，()g x mx ，若对于任一实数x ，()f x 与
()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）
A ． [4,4]
B ．(4,4)
C ．(,4)
D ． (,4) 二、填空题（每小题5分，共20分）
11．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
12．A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点P 与A 连结，则弦长超过半径的概率为
13．已知2F F 、1为椭圆
19
252
2 y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A 、两点。

若1222 B F A F ,则AB =
14．如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M
到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对（p 、q ）是点M 的“距离坐标”.已知常数
p ≥0，q ≥0，给出下列三个命题;
①若p =q =0，则“距离坐标”为（0，0）的点 有且仅有1个.
②若pq =0，且p +q ≠0，则“距离坐标”为
（p 、q ）的点有且仅有2个.
③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p 、q ）的点有且
仅有4个. 上述命题中，正确命题是 （填写序号）
三、解答题（共80 分）
15、（本小题满分12分）已知
4 a x x A ｜，
0342 x x x B ，p 是A 中x 满足的条件, q 是B 中x 满足的条件.
（1）求p 中x 满足的条件.
（2）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围.
16、（本小题满分12分）在△ABC 中，且4cos()2cos 23A B C .
（1）求角C 的大小；
（2）若△ABC 三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222
4a b c ，求△ABC 的面积. 17、（本小题满分14分）一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：
（1）求证：
BC
⊥
PB
；
（2）求出这个几何体的体积。

（3）若在PC 上有一点E ，满足CE ：EP ＝2：1，求证PA//平面BED 。

18、（本小题满分14分）已知椭圆 22
2210x y a b a b
的离心率e ，过点 0,A b 和
,0B a
的直线与原点的距离为
2。

⑴求椭圆的方程；⑵已知定点 1,0E ，若直线 20y kx k 与椭圆交于C D 、两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？
请说明理由。

19、（本小题满分14分）已知圆O ：12
2
y x 和定点)1,2(A ，由圆外一点),(b a P 向圆O
引切线PQ ，切点为Q ，且满足PA PQ . （1）求实数,a b 间满足的等量关系式； （2）求OQP 面积的最小值； （3）求PA PO 的最大值。

P
D C B
A
20、（本小题满分14分）已知数列 n a 的前n 项和为n S 满足：)1(1
n n a a a
S (a 为常数，且1,0 a a ) （1）若2 a ，求数列 n a 的通项公式 （2）设12
n
n
n a S b ，若数列 n b 为等比数列，求a 的值. （3）在满足条件（2）的情形下，设1
11
11 n n n a a c ，数列 n c 前n 项和为n T ，求证3
12
n T n 高二文科数学 答案卷 一．选择题答案栏（50分）
二、填空题（20分）
11． x-2y-1=0 12．3
2
13．8 14. ①②③
15、解：（1）
44|44|4 a x a x x a x a x x a x x A 或或
…………………………………………………………………2分
p 中x 满足的条件是 44 a x a x C ｜…………………………………4分
（2）若p 是q 的必要条件等价于C B …………………………………………6分
31|031|0342 x x x x x x x x B ………………8分
由数轴可知满足
341
4a a ……………………………………………………11分
解得：51 a ……………………………………………………………12分
16、(1) 解：∵A+B+C=180° 1
/
由4cos()2cos 23A B C ， 得4cos 2cos23C C 2/
∴24cos 2(2cos 1)3C C 3
/
整理，得01cos 4cos 42
C C 4
/
1
cos 2C
5/
解 得： ∵ 1800C ∴C=60° 6/
（2）解：由余弦定理得：2
2
2
2cos c a b ab C 7
/ 22a b ab ， 8/
∴2
2
2
4ab a b c 10
∴11sin 422ABC S ab C
17、解：由三视图可知：ABCD PD 底面 ，底面ABCD 为直角梯形,，1A D A B ，
2CD
（1）∵ABCD PD 底面 ，ABCD BC 平面
∴ PD ⊥BC ， …………………………………… 1分
在梯形ABCD 中，1A B A D PD ，2CD ∴
B
D ，又可得
BC ，2CD ，
∴DB ⊥BC ， ……………………………… 2分 又∵PD BD D ，BD ,PD PBD 平面 ∴BC ⊥平面D PB ，PB PBD 平面
∴PB BC ……………………………5分 （2） PD 平面ABCD
PD 是这个四棱锥的高 6分
底面AD CD AB S ABCD
)(2162)42(21
7分 PD S V ABCD ABCD
P 314263
1
8分 （3）连结AC,设AC 交BD 于O 点
CD//AB CD=2AB
1
2
AO CO AB CD 10分 又
12 EP CE 12
EP CE AO CO 12分 PA//EO
EO 平面BED PA 平面BE
PA//平面BED
14分
221
22
a b ab
18、解：
1
2
2
22
22
22
122
1122
122
1
1
3
2
2
131290
330
12361301
12
13
,,,,
9
13
AB bx ay ab
c
a
a b
x
y
y kx
k x kx
x y
k k
k
x x
k
C x y
D x y
x x
k
L L L L L L L L L L
g
1直线方程为
依题意可得：
解得：
椭圆的方程为
假设存在这样的值。

由得
设则
2
12121212
12
12
1212
2
1212
2
2224
1
11
110
121503 y y kx kx k x x k x x
CE DE y y
x x
y y x x
k x x k x x
k
k
k
L L L L L g
g
g
L L L L L L
而＝＝
要使以CD为直径的圆过点E－1，0，当且仅当时则
即＝
7
将2代入3整理得＝
6
7
经验证＝使得1成立
6
7
综上可知，存在＝使得以CD为直径的圆过点E
6
19.解：
（Ⅰ）连结PO ,Q 为切点，OQ PQ
由勾股定理得 2
22OQ OP PQ …………………1分
PA PQ 2
2PA PQ ……………………………2分 2
2
2
2
2
)1()2(1 b a b a ……………………………4分 化简得032 b a ……………………………5分 （Ⅱ）PQ PQ OQ S OQP 2
1
21
,所以求OQP 面积的最小值转化为求PQ 的最小值…………………………………………………………………6分
法一：
81251)23(1222222
22
a a a a
b a OQ
PO PQ
5
4
)56(52 a ……
当5
6
a 时，552min PQ ………………………………………………………9分
所以OQP 面积的最小值为
5
5
…………………………………………………10分 法二：点P 在直线l ：032 y x 上
min min PA PQ …………………………………………………………6分
即求点A 到直线l 的距离
5
5
21
231222min
PQ ………………………………………………9分 所以OQP 面积的最小值为
5
5
………………………………………………10分 （3）设O 关于直线l ：032 y x 的对称点为),('
n m O …………………11分
032221)2(n m m n
解得
565
12n m …………………………………12分
PA PO 5
5)156()2512(
22'' A O PA PO ……………13分 PA PO 的最大值为
5
5
……………………………………………………14分 20、（1）当2 a 时，22 n n a S
当1 n 时，2211 a S 21 a …………………………1分
当2 n 时，22 n n a S
22`11 n n a S …………………………2分
两式相减得到122 n n n a a a ，（01 n a ）得到
21
n n
a a …………3分 n n a 2 …………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)
(31)211(1)
n n n n n
a
a a a a a
b a a a
，若{}n b 为等比数列， 则有2
213,b b b 而21232
32322
3,,,a a a b b b a a
故22232322()3a a a a a ，解得13a ， 再将13
a 代入得3n
n
b 成立， 所以1
3
a ． …………………………9分
（III ）证明：由（2）知1()3n
n a ，所以11111331131311()1()33
n n n n n n n c
111311311111131313131n n n n n n 1112()3131 n n ，……11 由111111,313313n n n n 得111111,313133
n n n n 所以111311
2()2()313133
＋ n n n n n c ， (13)
从而122231111111
[2()][2()][2()]333333
n n n n T c c c L L
22311111112[()()()]333333n n n L 1111
2()2333n n n ．
即1
23
n T n ． (14)。