刚体转动习题
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v 及杆的转动角速度 。
解：在水平面上， 碰撞过程中系统角 动量守恒，
M ,2l
L0 L
mlv 0 mlv J （1）
o v0 m
弹性碰撞机械能守恒，
1 2
mv
0
2
1 mv 2
2
1 2
J2
（2）
注意没有关系： v l
联立(1)、(2)式求解
v (3m M )v0 M 3m
6mv 0
应用刚体的转动动能定理求解。对于仅受保守力
矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律 求解。
另 外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分 成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。
1.一个人站在有光滑固定转轴的转动平台 上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把 此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、 哑铃与转动平台组成的系统的
mg
为细杆质心的加速度。
以悬挂一端为轴，重力产生力矩。
mg l J （2）
2
J 1 ml 2
3
a r l
T （3）
m,l
2
联立(1)、(2)、(3)式求解
mg
T 1 mg 4
4.质量为m，半径为R的圆盘，可绕过盘中心且垂之于盘面的轴转
动，在转动过程中单位面积所受空气的阻力为 f kv
❖ 第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它 们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于 零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统 始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力
场作用下绕力心转动的质点问题，可直接用角动 量守恒定。
❖ 第三类：在刚体所受的合外力矩不等于零时，比 如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般
又一次看到质心
系的特殊地位
V 若S 系为质心系，则
i2iEmikii1i2mi121212im(mm0iiV2,ii2Vi2V(Vi2mci2iVi)EV)kV
Ek
1 2
mc2
（B）JB>JA
（C）JA=JB
（D）JA、JB哪个大，不能确定。
[B]
3：质量为 m 、长为 l 的细杆两端用细线
悬挂在天花板上，当其中一细线烧断的瞬 间另一根细线中的张力为多大？
解：在线烧断瞬间，
以杆为研究对象，
细杆受重力和线的 张力，
T m,l
mg T ma （1）
注意：在细杆转动时，各 点的加速度不同，公式中a
质心速度
证一：机械能守恒
v0
mgh
1 2
J 0
2
1 2
mv02
h
考虑到纯滚动：
v0 R
所以得
2mgh J0 mR2
因为 J0筒 mR2
J0柱
1 2
mR2
J0球
2 5
mR2
所以
J0筒 J0柱 J0球
即
筒 柱 球
——得证
证二：由上述结论
2 2mgh 4gh
1 mR2 mR2 3R2 2
质心加速度
质心速度
v0 aC
sh
因为 2 2 s ac
R
R
所以得
2
2ac s R2
即
2ac s R2
4gh 3R2
因而有
ac
2 3
g
sin
——与 m 、R 无关，得证
1 2
克尼希定理:
EK
1 2
mc2
EKC
mc2 质心的动能—整体随质心运动
EKC 质点系相对于质心的动能
Ek i 12mi
1 mgR d 13 mRv mRu
2
dt 8
du 0 a dv 4 g
dt
dt 13
8. 试证（1）半径和质量都相同的实心圆柱体、圆筒和实心
球，沿同一斜面、同一高度从静止纯滚动地滚下时，它们到 达底部的次序是：实心球最先，圆柱体次之，圆筒最后；
（2）不同质量、不同半径的均匀实心圆柱体在斜面上 滚下时质心具有同一加速度。
已知：dm dt
=
1×10
-3
kg/s
ω 0
J = 5×10-5 kg.m2 r
解：由角动量守恒
Jω 0
=
J ω´ ´=
(J
+mr
2)
1ω
20
1 2
m
r
2ω 0
=
1 2
Jω0
m
=
J r2
t
=
m dm
dt
=
r
J 2dm
dt
=
5×10-5 (0.1)2×1×10-3
=
5s
结束 目录
6.在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆， 有一质量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一 端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度
（A）机械能守恒,角动量守恒;
m
m
（B）机械能守恒,角动量不守恒,
（C）机械能不守恒,角动量守恒;
ω
（D）机械能不守恒,角动量不守恒.
[C]
2.两个均质圆盘 A 和 B 的密度分别为 A和 B，若 A> B ，但两圆盘的质量与厚度相
同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转 动惯量各为 JA和 JB，则 （A）JA>JB
m
0
m0
2kR2 t
0e m
5. 如图所示，转台绕中心竖直轴以角 速度ω 作匀速转动。转台对该轴的转动惯量 J = 5×1O-5 kg.m。现有砂粒以 1 g/s 的速 度落到转台，并粘在台面形成一半径 r =0.1 m的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度
变为ω0/2所花的时间。 ω 0
结束 目录
t 0时，圆盘的角速度为 0，求盘在任意时刻的速度 (t)
解：取半径为r宽为dr的圆带
dM 2rf (2rdr) 4kvr2dr
4kr3dr
o
R
M 4kr 0
由转动定理：J d
3dr
M
kR4
1 mR2 d
dr
kR4
r
dt
2 dt
d 2kR2 dt
d 2kR2
t
dt
(M 3m )l
M ,2l
o v0 m
7.一轻绳绕过一半径为R，质量为m/4的滑轮。质量为m的人抓住
了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为m/2的重物，如图所示 。求当人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？
解：选人、滑轮与重物为系统
R
o
m 4
v
对O轴，系统所受的外力矩为：
M
Rmg
R
m 2
g
1 2
Rmg
设u为人相对绳的匀速度，v 为重物上升的速度
m
则系统对o轴的角动量为:
m 2
L R m v Rmu v J J 1 m R2
2
2 4
L 13 mRv mRu 8
R
o
m 4
v
m
m 2
M 1 Rmg 2
L 13 mRv mRu 8
根据角动量定理：M dL dt
❖ 定轴转动的动力学问题
刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型 题。其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受 力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判 断应选用的规律，最后列方程求解。
❖ 第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度，一般应用 转动定律求解。如质点和刚体组成的系统，对质点
列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角 量和线量的关联方程，并联立求解。
解：在水平面上， 碰撞过程中系统角 动量守恒，
M ,2l
L0 L
mlv 0 mlv J （1）
o v0 m
弹性碰撞机械能守恒，
1 2
mv
0
2
1 mv 2
2
1 2
J2
（2）
注意没有关系： v l
联立(1)、(2)式求解
v (3m M )v0 M 3m
6mv 0
应用刚体的转动动能定理求解。对于仅受保守力
矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律 求解。
另 外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分 成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。
1.一个人站在有光滑固定转轴的转动平台 上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把 此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、 哑铃与转动平台组成的系统的
mg
为细杆质心的加速度。
以悬挂一端为轴，重力产生力矩。
mg l J （2）
2
J 1 ml 2
3
a r l
T （3）
m,l
2
联立(1)、(2)、(3)式求解
mg
T 1 mg 4
4.质量为m，半径为R的圆盘，可绕过盘中心且垂之于盘面的轴转
动，在转动过程中单位面积所受空气的阻力为 f kv
❖ 第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它 们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于 零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统 始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力
场作用下绕力心转动的质点问题，可直接用角动 量守恒定。
❖ 第三类：在刚体所受的合外力矩不等于零时，比 如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般
又一次看到质心
系的特殊地位
V 若S 系为质心系，则
i2iEmikii1i2mi121212im(mm0iiV2,ii2Vi2V(Vi2mci2iVi)EV)kV
Ek
1 2
mc2
（B）JB>JA
（C）JA=JB
（D）JA、JB哪个大，不能确定。
[B]
3：质量为 m 、长为 l 的细杆两端用细线
悬挂在天花板上，当其中一细线烧断的瞬 间另一根细线中的张力为多大？
解：在线烧断瞬间，
以杆为研究对象，
细杆受重力和线的 张力，
T m,l
mg T ma （1）
注意：在细杆转动时，各 点的加速度不同，公式中a
质心速度
证一：机械能守恒
v0
mgh
1 2
J 0
2
1 2
mv02
h
考虑到纯滚动：
v0 R
所以得
2mgh J0 mR2
因为 J0筒 mR2
J0柱
1 2
mR2
J0球
2 5
mR2
所以
J0筒 J0柱 J0球
即
筒 柱 球
——得证
证二：由上述结论
2 2mgh 4gh
1 mR2 mR2 3R2 2
质心加速度
质心速度
v0 aC
sh
因为 2 2 s ac
R
R
所以得
2
2ac s R2
即
2ac s R2
4gh 3R2
因而有
ac
2 3
g
sin
——与 m 、R 无关，得证
1 2
克尼希定理:
EK
1 2
mc2
EKC
mc2 质心的动能—整体随质心运动
EKC 质点系相对于质心的动能
Ek i 12mi
1 mgR d 13 mRv mRu
2
dt 8
du 0 a dv 4 g
dt
dt 13
8. 试证（1）半径和质量都相同的实心圆柱体、圆筒和实心
球，沿同一斜面、同一高度从静止纯滚动地滚下时，它们到 达底部的次序是：实心球最先，圆柱体次之，圆筒最后；
（2）不同质量、不同半径的均匀实心圆柱体在斜面上 滚下时质心具有同一加速度。
已知：dm dt
=
1×10
-3
kg/s
ω 0
J = 5×10-5 kg.m2 r
解：由角动量守恒
Jω 0
=
J ω´ ´=
(J
+mr
2)
1ω
20
1 2
m
r
2ω 0
=
1 2
Jω0
m
=
J r2
t
=
m dm
dt
=
r
J 2dm
dt
=
5×10-5 (0.1)2×1×10-3
=
5s
结束 目录
6.在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆， 有一质量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一 端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度
（A）机械能守恒,角动量守恒;
m
m
（B）机械能守恒,角动量不守恒,
（C）机械能不守恒,角动量守恒;
ω
（D）机械能不守恒,角动量不守恒.
[C]
2.两个均质圆盘 A 和 B 的密度分别为 A和 B，若 A> B ，但两圆盘的质量与厚度相
同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转 动惯量各为 JA和 JB，则 （A）JA>JB
m
0
m0
2kR2 t
0e m
5. 如图所示，转台绕中心竖直轴以角 速度ω 作匀速转动。转台对该轴的转动惯量 J = 5×1O-5 kg.m。现有砂粒以 1 g/s 的速 度落到转台，并粘在台面形成一半径 r =0.1 m的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度
变为ω0/2所花的时间。 ω 0
结束 目录
t 0时，圆盘的角速度为 0，求盘在任意时刻的速度 (t)
解：取半径为r宽为dr的圆带
dM 2rf (2rdr) 4kvr2dr
4kr3dr
o
R
M 4kr 0
由转动定理：J d
3dr
M
kR4
1 mR2 d
dr
kR4
r
dt
2 dt
d 2kR2 dt
d 2kR2
t
dt
(M 3m )l
M ,2l
o v0 m
7.一轻绳绕过一半径为R，质量为m/4的滑轮。质量为m的人抓住
了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为m/2的重物，如图所示 。求当人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？
解：选人、滑轮与重物为系统
R
o
m 4
v
对O轴，系统所受的外力矩为：
M
Rmg
R
m 2
g
1 2
Rmg
设u为人相对绳的匀速度，v 为重物上升的速度
m
则系统对o轴的角动量为:
m 2
L R m v Rmu v J J 1 m R2
2
2 4
L 13 mRv mRu 8
R
o
m 4
v
m
m 2
M 1 Rmg 2
L 13 mRv mRu 8
根据角动量定理：M dL dt
❖ 定轴转动的动力学问题
刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型 题。其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受 力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判 断应选用的规律，最后列方程求解。
❖ 第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度，一般应用 转动定律求解。如质点和刚体组成的系统，对质点
列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角 量和线量的关联方程，并联立求解。