北师大版2020-2021学年度第一学期九年级数学期中模拟培优提升测试题3(附答案详解)

北师大版2020-2021学年度第一学期九年级数学期中模拟培优提升测试题3
（附答案详解）
1．已知正方形ABCD 的边长为2，正方形内有一动点P ，求点P 到三个顶点A 、B 、C 的距离之和的最小值( )
A ．61+
B ．6
C ．62+
D ．13+
2．在一个不透明的袋中装有50个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有（ ）
A ．10个
B ．20个
C ．30个
D ．40个
3．如图，点M 是▱ABCD 边CD 上的一点，BM 的延长线交AD 大延长线于点N ，则图中相似的三角形有( )
A ．3对
B ．2对
C ．1对
D ．0对
4．一元二次方程2230x x +-=根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根
D ．无法确定
5．如图，菱形ABCD 的边长为23，∠ABC ＝60°，点E 、F 在对角线BD 上运动，且EF ＝2，连接AE 、AF ，则△AEF 周长的最小值是（ ）
A ．4
B ．4+3
C ．2+23
D ．6
6．如图，在ABC 中，点E 是线段AC 上一点，12AE CE =∶∶，
过点C 作CD AB
交BE 的延长线于点D ，若ABE △的面积等于4，则BCD 的面积等于（ ）
A ．8
B ．16
C ．24
D ．32
7．如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若点(6-，1y )，(2，2y )，(3，3y )都是反比例函数21a y x --=的图象上的点，则下列各式中正确的是（ ）
A ．1y ＜3y ＜2y
B ．2y ＜3y ＜1y
C ．3y ＜2y ＜1y
D ．1y ＜2y ＜3y 9．已知点A 在反比例函数5(0)y x x
=>的图象上，点B 、C 在反比例函数1(0)y x x
=>的图象上，点P 、Q 为x 、y 轴上任意一点，则PAC 和QAB 面积的大小关系为（ ）．
A ．PAC QA
B S S >△△ B ．PA
C QAB S S <△△ C ．PAC QAB S S =△△
D ．无法确定 10．小明随机地在如图正方形及其内部区域投针，则针扎到阴影区域的概率是（ ） A ．8π B ．6π C ．5π D ．4
π 11．若菱形的两条对角线长分别是方程x 2−10x +18=0的两实根，则菱形的面积为________ 12．如图所示，把正方形ABCD 中的∠A 折叠，折痕为EF ，则∠1+∠2的度数为_____．
13．如图，在正方形ABCD 的内侧，作等边DCE ∆，则BAE ∠的度数是________．
14．某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有________．
15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，E 为AB 边上一点，将△BEC 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BE ＝________．
16．已知111ABC A B C ∆∆∽，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对于，11:3:5AB A B =，BE 、11B E 分别是它们的对应中线，则11:BE B E =______.
17．若22(2)(1)0xy x y -+=，则y 与x 之间的函数关系式为_______________.
18．若反比例函数1m y x
的图像位于第二、四象限内，则m 的取值范围是______ ． 19．如图，已知点B D 、在反比例函数(0)a y a x =>的图象上，点A C 、在反比例函数(0)b y b x =>的图象上，AB CD x 轴，AB CD 、在x 轴的
同侧，43AB CD ==，，AB 与CD 间的距离为
12，则-a b 的值是_______________．
20．在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EC 平分BED ∠，若3ED =，4AB =，则BC =__________．
21．“车让人，让出文明，让出安全，让出秩序，让出和谐”.“车让人”成为古都西安一道亮丽的风景线.为采集更多“车让人”的文明事迹，某校九年级社会实践小组的5名同学计划在A 、B 两个十字路口抓拍“车让人”文明出行的感人瞬间.为了统一协调，5名同学中小米和小林均被其他人推荐为组长人选，且他俩都愿意成为组长.为了确定最终由谁担任组长，他们制定了一个游戏，规则如下：①在一个不透明的布袋中放入1个黑球和2个白球；②将袋中的球摇匀后，小米先从袋中摸出一球，记下颜色，将小球放回袋中；③将袋中的球摇匀后，小林再从袋中摸出一球，并记下颜色.若两次摸球颜色相同，则小米当组长；若两次摸球颜色不同，则小林当组长.
（1）请通过列表或画树状图的方法，求出小米当组长的概率；
（2）这个游戏规则对双方公平吗？为什么.
22．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE
（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；
（2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形． 23．已知关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=．
（1）若2m =-，求方程的解；
（2）若方程有一个解为
13
，求m 的值 （3）若方程至少有一个正根，求m 的取值范围． 24．x 为何值时，两个代数式x 2+1，4x +1的值相等？
25．直线y ＝kx +b 与反比例函数y ＝6x （x ＞0）的图象分别交于点A （m ，3）和点B （6，n ），与坐标轴分别交于点C 和点 D ．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）若点P 是x 轴上一动点，当S △ADP ＝32
S △BOD 时，求点P 的坐标．
26．如图，D 是ABC ∆的边AB 的中点，DE ∥BC ，CE ∥AB ，AC 与DE 相交于点F ，连接AE ，CD ．
（1）求证：AD CE =；
（2）当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是菱形？请说明理由．
27．学校的学生专用智能饮水机里水的温度y （℃）与时间x （分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热
（线段AB），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（BC为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式；
（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃~45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？
28．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是BC，AD边上的点，且AE=CF，若AC⊥EF，试判断四边形AECF的形状，请说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
画出图形即可；将△ABP 沿点B 逆时针旋转60°到△A 1BP 1，过A 1作A 1H ⊥BC ，交CB 的延长线于H ，连接P 1P ，由旋转的性质及两点之间线段最短即可得出结论；
【详解】
将△ABP 沿点B 逆时针旋转60°到△A 1BP 1，
如图过A 1作A 1H ⊥BC ，交CB 的延长线于H ，连接P 1P ，
易得：A 1B ＝AB ，PB ＝P 1B ，P A ＝P 1A 1，∠P 1BP ＝∠A 1BA ＝60°，
∵PB ＝P 1B ，∠P 1BP ＝60°，
∴△P 1PB 是正三角形，
∴PP 1＝PB ，
∴P A +PB +PC=P 1A 1+PP 1+PC ，
∴当A 1、P 1、P 、C 四点共线时P A +PB +P C 最小,最小值是A 1C 的长度
此时∠A 1BA ＝∠P 1BP ＝60°，∠CBA ＝90°，
∴∠1＝30°， 在Rt △A 1HB 中，A 1B ＝AB ＝2，∠1＝30°，得：A 1H ＝1，BH 3，
∴CH 3在Rt △A 1HC 中，由勾股定理得：
22221
11(32)62AC A H CH =+=++= ∴点P 到三个顶点A 、B 、C 62故选C
【点睛】
本题考查旋转综合题，还考查正方形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理．通过旋转把不同线段变换到一起，再根据两点之间线段最短求最值，是解题的关键.
2．A
【解析】
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【详解】
设袋中有红球x 个，由题意得
0.250
x 解得x ＝10，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
3．A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得出AB ∥CD ，AD ∥BC ，再根据相似三角形的判定定理推出即可.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴△DMN ∽△CMB ，△DMN ∽△NBA ，
∴△CMB ∽△NBA ，
即有3对相似三角形，
故选：A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理的内容是解此题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式可得出△=16＞0，由此即可得出结论．
【详解】
∵△=22-4×1×（-3）=16＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．5．D
【解析】
【分析】
作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF 周长的最小值即可．
【详解】
解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF 的周长最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA＝FH，
∵FA＝FC，
∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD 的边长为
ABC ＝60°，
∴AC ＝AB ＝
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，
∵AH ∥DB ，
∴AC ⊥AH ，
∴∠CAH ＝90°，
在Rt △CAH 中，CH
4== ∴AE+AF 的最小值4，
∴△AEF 的周长的最小值＝4+2＝6，
故选：D ．
【点睛】
本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键． 6．C
【解析】
【分析】
由平行线的性质和对顶角的性质得∠BAE=∠DCE ，∠AEB=∠CED ，从而证明△AEB ∽△CED ，由相似三角的性质面积比等相似比的平方得CED S 16=．根据12AE CE =∶∶可得BCE ABE S
2S =,即可得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵CD ∥AB ，
∴∠BAE=∠DCE ， 又∵∠AEB=∠CED ，
∴△AEB ∽△CED ，
∴2AEB CED S AE S EC ⎛⎫= ⎪⎝⎭
又∵
12AE EC = ，AEB S =4 ∴CED S 16=
∵12AE CE =∶∶
∴BCE ABE S
2S =8= ∴BCD BCE CED S S S =81624=++=
故选：C
【点睛】
本题综合考查了平行线的性质，对顶角的性质，相似三角形的判定与性质等相关知识，重点掌握相似三角的判定与性质，易错点相似三角的面积的比等于相似比的平方．
7．B
【解析】
【分析】
由已知条件可知，主视图有2列，每列小正方形数目分别为1，3．
【详解】
解：由题意可得：
主视图有2列，每列小正方形数目分别为1，3，
∴该几何体的主视图是
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了画三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的视图． 8．B
【解析】
【分析】
首先判断出该反比例函数的图象位于二、四象限，且在每个象限内y 随x 的增大而增大，进而比较函数值的大小即可．
【详解】
解：∵210a --<，
∴该反比例函数的图象位于二、四象限，且在每个象限内y 随x 的增大而增大，
∴1y ＞0，20y <，30y <，
∵2＜3，
∴23y y <，
∴231y y y <<，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与系数k 之间的关系是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】 如下图，在反比例函数1(0)y x x
=>上取点1C 、2C ，点P 不变，发现△ACP 的面积是在变化的，同理分析可得△ABQ 的面积也是变化的，从而得出选项．
【详解】 如下图，在反比例函数1(0)y x x
=>上取点1C 、2C ，点P 不变
则由图形可知：12APC APC APC S S S ＞＞
∵点C 、P 可任意选取，则△APC 的面积可任意变化
同理，△ABQ 的面积可任意变化
故选：D
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，解题关键是判断出三角形的面积是始终变化的．
10．D
【解析】
【分析】
根据几何概型的意义，求出圆的面积，再求出正方形的面积，算出其比值即可．
【详解】
解：设正方形的边长为2a ，则圆的半径为a ，
则圆的面积为：2a π，
正方形的面积为：22(2)4a a =， ∴针扎到阴影区域的概率是
2244a a ππ=，
故选：D ．
【点睛】 本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示
所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A）发生的概率．11．9
【解析】
【分析】
设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出ab=18，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
【详解】
设菱形的两条对角线长分别是a、b，
∵菱形的两条对角线长分别是方程x2-10x+18=0的两实根，
∴ab=18，
∴菱形的面积=1
2
ab=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
12．180°
【解析】
【分析】
根据折叠的性质、正方形的性质以及三角形内角和、四边形内角和、邻补角的定义即可求解．【详解】
由折叠知：∠A=∠A′，
∵正方形ABCD
∴∠A=∠A′=90°，
∵∠A+∠A′+∠A′FA+∠A′EA=360°，
∴∠A′FA+∠A′EA=180°，
∵∠1=180°-∠A′FA，∠2=180°-∠A′EA，
∴∠1+∠2=360°-（∠A′FA+∠A′EA）=180°．
故答案为：180°．
【点睛】
此题考查折叠的性质，角的计算的运用，解题关键在于掌握其性质．
13．15°
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质可得CD=DE，根据正方形的性质可得AD=CD，从而得到AD=DE，再根据等边对等角可得∠DAE=∠DEA，然后求出∠ADE=30°，再根据三角形内角和求出∠DAE，进一步求出∠BAE即可．
【详解】
解：∵△DCE是等边三角形，
∴CD=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA．
又∠ADE=∠ADC-∠EDC=90°-60°=30°，
∴∠EAD=1
2
×（180°-30°）=75°，
∴∠BAE=90°-75°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
14．5
【解析】
【分析】
由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【详解】
解：由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图为：
则组成这个几何体的小正方体最少有5个．
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．
15．3或6
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可BE的长．
【详解】
如图，若∠AEF＝90°，
∵∠B＝∠BCD＝90°＝∠AEF
∴四边形BCFE是矩形
∵将△BEC沿着CE翻折
∴CB＝CF
∴四边形BCFE是正方形
∴BE＝BC＝AD＝6，
如图，若∠AFE＝90°，
∵将△BEC沿着CE翻折
∴CB ＝CF ＝6，∠B ＝∠EFC ＝90°，BE ＝EF
∵∠AFE ＋∠EFC ＝180°
∴点A ，点F ，点C 三点共线
∴AC ＝10，
∴AF ＝AC−CF ＝4
∵AE 2＝AF 2＋EF 2，
∴（8−BE ）2＝16＋BE 2，
∴BE ＝3，
（3）若∠EAF ＝90°，
∵CD ＝8＞CF ＝6
∴点F 不可能落在直线AD 上，
∴不存在∠EAF ＝90°，
综上所述：BE ＝3或6．
故答案为：3或6．
【点睛】
本题主要考查的是翻折的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
16．3:5
【解析】
【分析】
根据相似三角形对应中线的比等于对应边的比即可求得结果.
【详解】
∵11:3:5AB A B =即相似比为3:5，
∴对应中线11:BE B E =3：5.
故填3:5.
【点睛】
此题考察相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应高线、对应中线、对应角平分线、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
17．2y x
= 【解析】
【分析】
易得第二个括号内的数不可能为0，令第一个括号内的数等于0得到x ，y 的关系式即可．
【详解】
∵22(2)(1)0xy x y -+=，且22
1x y +≠0， ∴xy ＝2，即2y x
=
． 故答案为：2y x =． 【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，用到的知识点为：两个数相乘得0，那么这两个数至少有一个为0．
18．1m
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象位于二，四象限，可知10m -<，解不等式即可．
【详解】 ∵反比例函数1m y
x 的图像位于第二、四象限内， ∴10m -<，
解得1m ，
故答案为：1m ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 19．6
【解析】
【分析】
利用反比例函数比例系数k 的几何意义，得出a-b=4•OE ，a-b=3•OF ，再根据OF-OE=12
，即可求出a-b 的值．
【详解】
解：如图，由题意知：
OE•BE=a ①，OE•AE=-b ②，
①+②，得OE•BE+OE•AE=a -b ，
即a-b=4•OE ，
同理，可得a-b=3•OF ，
∴4OE=3OF ，
∴OE ：OF=3：4，
又∵OF-OE=
12， ∴OE=32
，OF=2， ∴a-b=6．
故答案是：6．
【点睛】
此题考查反比例函数比例系数k 的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，利用数形结合是解题的关键． 20．256
【解析】
【分析】
作CF BE ⊥于F ，设BC x =，根据矩形的性质和角平分线的性质得4AB CD ==，AD BC x ==，4CF CD ==，3AE AD ED x =-=-，再根据勾股定理列式求解即可．
【详解】
作CF BE ⊥于F ，设BC x =
∵四边形ABCD 是矩形
∴90D ∠=︒，4AB CD ==，AD BC x ==
∵EC 平分BED ∠，CF BE ⊥
∴4CF CD == ∵3ED =
∴3AE AD ED x =-=-
∴在Rt △ABE 中，()2222243625BE AB AE x x x =
+=+-=-+ ∴在Rt △BCF 中，22216BF BC CF x =
-=- ∴2163BE BF EF x =+=
-+ ∴22625163x x x -+=-+
222625166169x x x x -+=-+-+
2632616x x -+=-
2236384102436576x x x -+=-
3841600x =
256
x 故答案为：
256．
【点睛】
本题考查了矩形的长的问题，掌握矩形的性质、角平分线的性质、勾股定理是解题的关键． 21．（1）P （小米当组长）59=
；（2）这个游戏规则对双方不公平，理由见解析. 【解析】
【分析】
（1）先利用树状图列出两次摸球的所有可能的结果，再找出两次摸球颜色相同的结果，最后利用概率公式计算即可；
（2）根据题（1）的树状图，求出小林当组长的概率，看小米当组长的概率与小林当组长的
概率是否相等即可.
【详解】
（1）依题意，画树状图如下所示：
由树状图可知，两次摸球共有9种等可能的结果，其中两次摸球颜色相同的有5种结果
则P （小米当组长）59
=
故小米当组长的概率为59； （2）不公平.理由如下：
由树状图可知，其中两次摸球颜色不同的有4种结果
因此，P （小林当组长）49
= 则P （小林当组长）≠P （小米当组长）
故这个游戏规则对双方不公平.
【点睛】
本题考查了利用列举法求概率，依据题意正确列出事件的所有可能的结果是解题关键.错因分析：较易题.失分原因是：①不能正确理解题意，利用列表法或画树状图法列出所有可能出现的结果；②在判断符合的结果数时个数统计出错，导致概率计算出错.
22．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒
【解析】
【分析】
（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；
（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．
【详解】
解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：
∵DE BC ⊥，
90DFE ∴∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，
ACB DFB ∴∠=∠，
//AC DE ∴，
∵//MN AB ，即//CE AD ，
∴四边形ADEC 是平行四边形，
CE AD ∴=； D 为AB 中点，
AD BD ∴=，
BD CE ∴=，
∵//BD CE ，
∴四边形BECD 是平行四边形，
∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，
12
CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；
（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：
∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，
45ABC ∴∠=︒，
∵四边形BECD 是菱形，
12
ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，
∴四边形BECD 是正方形．
故答案为：45︒．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．
23．（1）x 1=3，x 2=3-；（2）m=4924
-
；（3）m ≤-1 【解析】
【分析】
（1）把2m =-代入方程，然后用公式法求解即可；
（2）把x=13
代入方程，即可求出m 的值； （3）根据根的判别式和至少有一个正根列式求解即可．
【详解】
（1）把2m =-代入方程，得
()22(21)2260x x +⨯--+⨯-+=，
即2620x x -+=，
∵∆=36-8=28，
∴
∴x 1=3，x 2=3；
（2）把x=13
代入方程，得 12(1)26093
m m +-++=， 解得 m=4924
-； （3）由∆=4(m -1)2-4(2m+6)=4m 2-16m-20≥0，得
m ≤-1或m ≥5.
x=()212
m --±=1m - ∵方程至少有一个正根，
∴1m -0，
解得
m ＜-3，
∴m ≤-1时，方程至少有一个正根．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的解法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法即根的判别式是解答本题的关键，属于中档题．
24．x ＝0或x ＝4
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，利用因式分解法求解可得．
【详解】
解：由题意知x2+1＝4x+1，
整理，得：x2﹣4x＝0，
∵x(x﹣4)＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
解得x＝0或x＝4．
答：当x＝0或x＝4时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
25．（1）y＝﹣1
2
x+4；（2）点P的坐标为（4，0）或（12，0）．
【解析】
【分析】
（1）先通过反比例函数解析式确定A（2，3），B（6，1），然后利用待定系数法求直线AB 的解析式即可；
（2）先利用直线AB的解析式确定D（8，0），根据三角形面积公式计算出S△OBD＝4，则S△ADP
＝6，设P（t，0），根据三角形面积公式得到1
2
×|t﹣8|×3＝6，然后求出t即可得到点P的
坐标．【详解】
解：（1）把点A（m，3）、B（6，n）分别代入y＝6
x
得
3m＝6，6n＝6，
解得m＝2，n＝1，
∴A（2，3），B（6，1），
把A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b，得
2361k
b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得1k 2b 4
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线AB 的解析式为y ＝﹣
12x +4； （2）连接OB
当y ＝0时，﹣
12x +4＝0，解得x ＝8，则D （8，0）， ∵S △OBD ＝12
×8×1＝4， ∴S △ADP ＝32
S △BOD ＝6， 设P （t ，0），
∴12
×|t ﹣8|×3＝6，解得t ＝4或t ＝12， ∴点P 的坐标为（4，0）或（12，0）．
【点睛】
此题考查的是求一次函数的解析式和利用三角形面积求点的坐标，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和三角形的面积公式是解决此题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）90ACB ∠=︒，ADCE 为菱形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）关键证明四边形BCED 为平行四边形，得到CE=BD ，而BD=AD ，从而得证；
（2）逆向探究，若四边形ADCE 是菱形，则AD=BD=CD ，从而易知90ACB ∠=︒；反之若90ACB ∠=︒，易可证得四边形ADCE 是菱形．
【详解】
（1）∵//DE BC ，//CE AB ，
∴四边形ADCE 是平行四边形，
∴BD CE =，
又AD BD =，
∴AD CE =
（2）90ACB ∠=︒，理由如下：
∵//,AD CE AD CE =
∴四边形ADCE 是平行四边形，
又∵Rt ACB ∆，D 为AB 中点， ∴12
CD AB AD ==， ∴ADCE 是菱形．
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
27．（1）80209y x =+（0≤x ≤9）；900y x
=（9≤x ≤45）；（2）可以盛到最佳温度水的同学有120人．
【解析】
【分析】
（1）设线段AB 的函数表达式为：y kx b =+（0≤x ≤9）将(0,20)A ，(9,100)B 代入解析式中即可求出结论，然后设双曲线BC 的函数表达式为：a y x =
，将(9,100)B 代入即可求出结论；
（2）如图，依题意得：(,20)t ，(,30)m ，(,45)n 在900y x
=
上，代入求出m 和n 的值即可求出结论．
【详解】
解：（1）设线段AB 的函数表达式为：y kx b =+（0≤x ≤9）
∵(0,20)A ，(9,100)B 在y kx b =+上
∴
20 9100 b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
80
k
9
b20
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
∴线段AB的函数表达式为：
80
20
9
y x
=+（0≤x≤9）
设双曲线BC的函数表达式为：
a
y
x
=，
将(9,100)
B代入，得
∴900
a=
∴双曲线BC的函数表达式为
900
y
x
=
当y=20时，解得x=45
∴双曲线BC的函数表达式为
900
y
x
=（9≤x≤45）
（2）如图，依题意得：(,20)
t，(,30)
m，(,45)
n在
900
y
x
=上
∴45
t=，3045
m=<，2045
n=<
∴可以盛到最佳温度水的同学有：12(3020)120
⨯-=人．
【点睛】
此题考查的是反比例函数和一次函数的应用，掌握实际意义、利用待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式是解决此题的关键．
28．四边形AECF是菱形，理由见解析．
【解析】
【分析】
由矩形的性质得出∠B=∠D=90°，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，由HL 证明
Rt △ABE ≌Rt △CDF ，即可BE=DF ，得出CE=AF ，由CE ∥AF ，证出四边形AECF 是平行四边形，再由AC ⊥EF ，即可得出四边形AECF 是菱形．
【详解】
四边形AECF 是菱形，
理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠D =90°，AB =CD ，AD =BC ，AD ∥BC ， 在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，
AE CF AB CD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABE ≌Rt △CDF (HL )，
∴BE =DF ．
∵BC =AD ，
∴CE =AF ．
∵CE ∥AF ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
又∵AC ⊥EF ，
∴四边形AECF 是菱形．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．。