优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅰ·文科)二轮复习优化方案二轮第一部分专题五第2讲专题强化精练提能

1．(2015·南京一模)椭圆x 225＋y 2
9
＝1的离心率是________．
解析：由椭圆方程可得a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝4
5
.
答案：45
2．过点P (－2，－4)的抛物线的标准方程为________．
解析：注意两种情况． 答案：x 2＝－y 或y 2＝－8x 3．(2015·南京盐城二模)若双曲线x 2－y 2＝a 2(a ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则a ＝________.
解析：双曲线x 2－y 2＝a 2的右焦点的坐标为(
)
2a ，0，抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，
从而2a ＝1，故a ＝
22
. 答案：
22
4．(2015·南通一模)在平面直角坐标系xOy 中，以直线y ＝±2x 为渐近线，且经过抛物线y 2＝4x 焦点的双曲线的方程是________．
解析：因为抛物线焦点为(1,0)，所以双曲线的焦点也在x 轴上，故可设所求双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．又双曲线的渐近线为y ＝±2x ，故b
a
＝2.即所求双曲线的标准
方程为x 2－y
24
＝1.
答案：x 2－y 24
＝1 5．(2015·镇江期末)若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等
于焦距的1
4
，则该双曲线的渐近线方程是________．
解析：不妨设焦点为(c,0)，则由题意得双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，故1
4
(2c )＝
bc a 2＋b 2＝bc
c
＝b ，即c ＝2b ，从而a ＝c 2－b 2＝4b 2－b 2＝3b ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3
3
x .
答案：y ＝±3
3
x
6．已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1与双曲线x 2a －y 2
b
＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线
的一个交点，则PF 1·PF 2等于________．
解析：点既在椭圆上又在双曲线上，且有相同焦点，所以有PF 1＋PF 2＝2m ，|PF 1－PF 2|＝2a ，两式平方相减可得PF 1·PF 2＝m －a .
答案：m －a 7．(2015·扬州期末)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作垂直于x 轴的直线交抛物线于A ，B 两点，且△AOB 的面积为8(O 为坐标原点)，则抛物线的焦点坐标为________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝2px ，x ＝p 2不妨取A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，⎝⎛⎭⎫p
2，p ，故AB ＝2p ，且O 到直线AB 的距离为p 2，故面积为12×p 2×(2p )＝p 2
2
＝8，故p ＝4，因此焦点坐标为(2,0)．
答案：(2,0)
8．(2015·徐州、淮安、宿迁、连云港四市一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，点A ，B 1，
B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．
解析：由题意得直线AB 2：x －a ＋y b ＝1，直线B 1F ：x c ＋y －b ＝1，将它们联立解得x ＝2ac
a －c
，
由于直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，故2ac a －c ＝a 2
c
，即2c 2＋ac －a 2＝0，故
2e 2＋e －1＝0，解得e ＝1
2
或－1(舍去)．
答案：12
9．以下五个命题中：
①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||
|P A →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；
②过定圆C 上一定点A 作该圆的动弦AB ，O 为坐标原点．若OP →＝12
(OA →＋OB →
)，则动点
P 的轨迹为椭圆；
③当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴
上的抛物线的标准方程是x 2＝4
3
y ；
④过双曲线x 2－y 2＝1的左焦点F 1且与x 轴垂直的直线l 与双曲线左支交于A 、B 两点，F 2是双曲线的右焦点，则△ABF 2的面积为22；
⑤已知双曲线x 24＋y 2
m
＝1，其离心率e ∈(1,2)，则m 的取值范围是－12<m <0.
其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
解析：对于①，只有当|k |＜AB 时，①才为真命题，故①为假命题；
对于②，由OP →＝12
(OA →＋OB →
)知P 为AB 的中点，故CP ⊥AB .设AC 的中点为D (D 为定点)，
则PD ＝12AC ＝r
2，P 点轨迹为圆，②为假命题；
对于③，直线方程即(x ＋2)a ＋(－x －y ＋1)＝0，所以过定点(－2,3)，设焦点在y 轴上的
抛物线x 2＝2py (p ≠0)，4＝6p ，p ＝23，故抛物线的标准方程是x 2＝4
3
y ，故③为真命题；
对于④，双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，因为若直线l 与x 轴垂直，在x 2－y 2＝1中令
x ＝－2，得y ＝±1，有AB ＝2，而F 1F 2＝22，所以S △ABF 2＝1
2·AB ·F 1F 2＝22，故④为真
命题；
对于⑤，双曲线方程为x 24＋y 2
m ＝1，则m <0，a 2＝4，b 2＝－m ，c 2＝4－m ，e ＝
4－m
2
，因为e ∈(1,2)，所以1<
4－m
2
<2,4<4－m <16，故－12<m <0，故⑤为真命题． 答案：③④⑤
10．(2015·南京二模)已知椭圆x 2＋
y 2
b 2
＝1(0<b <1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，
上顶点为B .过F 、B 、C 作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n )．当m ＋n >0时，则椭圆离心率的取值范围是________.
解析：设F 、B 、C 的坐标分别为(－c,0)，(0，b )，(1,0)，则FC 、BC 的中垂线分别为x ＝1－c 2，y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫
x －12.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－c 2，y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫
x －12，
解出⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－c 2，y ＝b 2
－c 2b .
m ＋n ＝1－c 2＋b 2－c
2b
>0，即b －bc ＋b 2－c >0，即(1＋b )·(b －c )>0，所以b >c .从而b 2>c 2，
即有a 2>2c 2，所以e 2<12.又e >0，所以0<e <2
2.
答案：0<e <2
2
11．(2015·扬州期末)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于点
P ，F 是双曲线的右焦点．
(1)求证：PF ⊥l ；
(2)若PF ＝3，且双曲线的离心率e ＝5
4
，求该双曲线方程．
解：(1)证明：右准线为x ＝a 2c ，由对称性不妨设渐近线l 为y ＝b
a
x ，
则P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，又F (c,0)，所以k PF ＝ab c －0a 2c －c ＝－a b ，又因为k l ＝b a ，所以k PF ·k l ＝－a b ·b a ＝－1，
所以PF ⊥l .
(2)因为PF 的长即F (c,0)到l ：bx －ay ＝0的距离，
所以|bc |
a 2＋b
2＝3，即b ＝3，
又e ＝c a ＝54，所以a 2＋b 2a 2＝2516，所以a ＝4，故双曲线方程为x 216－y 2
9
＝1.
12．已知双曲线C 1：x 2a 2－y
2b
2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，抛物线C 2：
y 2
＝2px (p >0)的焦点与C 1的右焦点重合，P 是C 1与C 2的一个交点．
(1)若双曲线的实轴长为4，且离心率为3，求抛物线的方程；
(2)求证：PF 1PF 2－F 1F 2
PF 1
＝1.
解： (1)由题意可知：2a ＝4，c
a ＝3，于是a ＝2，c ＝23，
于是，双曲线的焦点分别为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，
而抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， 所以p
2＝2 3 ，即p ＝4 3. 所以抛物线的方程为y 2＝83x .
(2)证明：因为PF 1PF 2＝e ＝c
a
且PF 1－PF 2＝2a ，
所以PF 1－PF 2F 1F 2 ＝2a 2c ＝a c ＝PF 2PF 1，所以PF 1－PF 2PF 2＝F 1F 2
PF 1 ，
所以PF 1PF 2－F 1F 2
PF 1
＝1.
13．(2015·南通市二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左
顶点为A ，右焦点为F (c,0)．P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且P A ⊥PF .
(1)若a ＝3，b ＝5，求x 0的值； (2)若x 0＝0，求椭圆的离心率；
(3)求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线x ＝a 2
c 相切．
解：(1)因为a ＝3，b ＝5，所以c 2＝a 2－b 2＝4，即c ＝2,
由P A ⊥PF 得，y 0x 0＋3·y 0
x 0－2
＝－1，即y 20＝－x 20－x 0
＋6， 又x 209＋y 20
5
＝1， 所以4x 20＋9x 0－9＝0，解得x 0＝34
或x 0＝－3(舍去) . (2)当x 0＝0时，y 20
＝b 2， 由P A ⊥PF 得，y 0a ·y 0
－c
＝－1，即b 2＝ac ，故a 2－c 2＝ac ，
所以e 2＋e －1＝0，解得
e ＝5－12
(负值已舍)．
(3)证明：依题意，椭圆右焦点到直线x ＝a 2c 的距离为a 2c －c ＝b 2c ，且x 20a 2＋y 20
b
2＝1，①
由P A ⊥PF 得，y 0x 0＋a ·y 0
x 0－c ＝－1，即y 20＝－x 2
0＋(c －a )x 0＋ca ，②
由①②得，x 2
0＋a 2c
2(a －c )x 0＋a 2c
2(b 2－ac )＝0，即(x 0＋a )
⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤x 0＋a (b 2－ac )c 2＝0，
解得x 0＝－a (b 2－ac )
c 2或x 0＝－a (舍去)．
所以|PF |＝(x 0－c )2＋y 20
＝(x 0－c )2－x 20＋(c －a )x 0＋ca ＝(a ＋c )(c －x 0)＝
(a ＋c )⎝
⎛⎭⎪⎫
c ＋ab 2－a 2c c 2
＝
(a ＋c )(a －c )b 2c ＝b 2
c
.
所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线x ＝a 2
c
相切．
14．(2015·高考湖北卷)一种画椭圆的工具如图(1)所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连结，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图(2)所示的平面直角坐标系．
(1) (2)
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
解：(1)因为OM ≤MN ＋NO ＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立；
同理，OM ≥MN －NO ＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立，所以椭
圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 2
4
＝1.
(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝1
2
×4×4＝8.
②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝
⎛⎭⎫k ≠±12， 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，
x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，
即m 2＝16k 2＋4.(*1)
又由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ； 同理可得Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－2m 1＋2k ，m 1＋2k . 由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k 2
和|PQ |＝
1＋k 2|xP －xQ |，可得
S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝1
2|m ||xP －xQ |
＝12·|m |2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝2m 21－4k 2
.(*2) 将(*1)代入(*2)，得S △OPQ ＝2m 2
1－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|.
当k 2>14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋24k 2
－1>8； 当0≤k 2<
14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1＋21－4k 2. 因为0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2
≥2，
所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号．
所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.
综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。