斐波那契数列

§斐波那契数列
八百多年以前，意大利数学家斐波那契在他的名著《算经》中提到一个有趣的问题．
我们假设一对成熟的兔子每一个月可生一对小兔子，而一对小兔子出生后第二个月又可生一对小兔子．
那么一对兔子一年内可繁殖成多少对呢?
我们画图来表示每个月兔子的数量．图中黑点表示一对成熟的兔子，白点表示一对不成熟的兔子．
从图中可看出，半年后即第七个月兔子成了十三对
不难发现，如果把每个月兔子的数量排成一个数列，这个数列从第三项起，每一项都是前两项的和，即l，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，……从而可知一对兔子一年内可繁殖成144对．人们为了纪念这个发现，把这个数列叫斐渡那契数列，每一项都叫斐波那契数．
有趣的斐波那契数列使后人产生许多有趣的故事．
美国著名魔术家兰迪先生有一块长21分米宽8分米的地毯，他请地毯匠改成边长为13分米的正方形．
地毯匠奥尔玛惊奇地说：伟大的魔术家，您的算术竟这样差，21
×8 = 168，而l3×13 = l69，缺l 平方分米，这怎能办得到呢?
兰迪狡黠地笑了，“伟大的兰迪从来不会错! 劳你的驾，按图1上尺寸把这块地毯裁成四块．”魔术家说出的四个尺寸5，8，13，21都是斐波那契数．
奥尔玛裁好后，又按兰迪的意图重新缝好一量地毯，果然13分米的正方形．
且慢，168 = 169，真的是这样吗? 难道魔术家真的会无中生有?
还是用数学知识来揭露这个诡辩吧!如图2，△AEF∽△ADC，我们看看EF真的为5吗?由相似△性质，有EF:DC=AE;AD，从而EF：8=13:21从而EF=13×8/21104/21 <5．
原来，E F略小于5，奥秘就在这里!
奥尔玛缝好的地毯面积我们来精确计算一下：
精确的计算告诉我们，地毯面积并没有增加那所谓的1分米2，不过是5与太接近罢了!
从这个故事我们还可以发现斐波那契数刊有一个有趣的性质：啊a n2=a n-1a n+1±1 (n≥2).如：2×5-1=32，3×8+l=52，5×13-1=82……．。