宁波市宁波中学(一中)九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案

宁波市宁波中学（一中）九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案
一、压轴题
1．已知在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4．P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF⊥BD，交射线BC 于点F ．联结AP ，画∠FPE=∠BAP，PE 交BF 于点E ．设PD=x ，EF=y ．
（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求△ABF 的面积；
（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC ，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD 的长．
2．将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()2,0A ，点B 在第一象限，90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，点P 在边OB 上（点P 不与点,O B 重合）．
（1）如图①，当1OP =时，求点P 的坐标；
（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ OP =，点O 的对应点为O '，设OP t =．
①如图②，若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分为四边形，,O P O Q ''分别与边AB 相交于点,C D ，试用含有t 的式子表示O D '的长，并直接写出t 的取值范围；
②若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分的面积为S ，当13t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．
3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACE CEB S
S =，求直线CE 的解析式 （3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标；
（4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21322
y x bx =-++与x 轴正半轴交于点A ，且点A 的坐标为()3,0，过点A 作垂直于x 轴的直线l ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ l ⊥于点Q ；M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+
，以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．
（1）求b 的值．
（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．
（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．
（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．
5．已知：如图，抛物线2134
y x x =--交x 正半轴交于点A ，交y 轴于点B ，点()4,C n -在抛物线上，直线l ：3
4y x m =-+过点B ，点E 是直线l 上的一个动点，
ACE △的外心是P ．
（1）求m ，n 的值．
（2）当点E 移动到点B 时，求ACE △的面积．
（3）①是否存在点E ，使得点P 落在ACE △的边上，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．
②过点A 作直线AD x ⊥轴交直线l 于点D ，当点E 从点D 移动到点B 时，圆心P 移动的路线长为_____．（直接写出答案）
6．二次函数22(0)63m m y x x m m =
-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．
（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；
（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63
m m y x x m m =
-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ．
①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．
7．如图，过原点的抛物线y=﹣12
x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，
连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ．
（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；
（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；
（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．
8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为(2,0)-，与y 轴交于点(0,4)C ，直线12y x m =-
+与抛物线交于B ，D 两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求m 的值和D 点坐标；
（3）点P 是直线BD 上方抛物线上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线BD 于点F ，过点D 作x 轴的平行线，交PH 于点N ，当N 是线段PF 的三等分点时，求P 点坐标；
（4）如图2，Q 是x 轴上一点，其坐标为4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭
，动点M 从A 出发，沿x 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M 的运动时间为t （0t >），连接AD ，过M 作MG AD ⊥于点G ，以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，点M 在运动过程中，线段A Q ''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A Q ''与抛物线有公共点时t 的取值范围．
9．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．
（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；
（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =
？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
10．如图，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l ．
（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与△EAD 相似时，求出BF 的长．
11．如图，在ABCD 中，E 为边BC 的中点，F 为线段AE 上一点，连结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ，设AD EF x AB AF
==．
（1）当1x =时，求:AG AB 的值；
（2）设GDH EBA
S y S =△△，求y 关于x 的函数关系式； （3）当3DH HC =时，求x 的值．
12．如图所示，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，43BC =，30C ∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒(0)t >，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF .
（1）求证：AE DF =；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）当t =________时，DEF ∆为直角三角形.
13．如图，抛物线y ＝mx 2﹣4mx+2m+1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 2﹣x 1＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E 是抛物线上一点，∠EAB ＝2∠OCA ，求点E 的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D ，动点P 从点B 出发，沿抛物线向上运动，连接PD ，过点P 做PQ ⊥PD ，交抛物线的对称轴于点Q ，以QD 为对角线作矩形PQMD ，当点P 运动至点（5，t ）时，求线段DM 扫过的图形面积．
14．如图1，抛物线M 1：y ＝﹣x 2+4x 交x 正半轴于点A ，将抛物线M 1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M 2，M 1与M 2交于点B ，直线OB 交M 2于点C ． （1）求抛物线M 2的解析式；
（2）点P 是抛物线M 1上AB 间的一点，作PQ ⊥x 轴交抛物线M 2于点Q ，连接CP ，CQ ．设点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，使△CPQ 的面积最大，并求出最大值； （3）如图2，将直线OB 向下平移，交抛物线M 1于点E ，F ，交抛物线M 2于点G ，H ，则EG HF
的值是否为定值，证明你的结论．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若60180MPN ︒︒≤∠<，则称P 为⊙T 的环绕点．
(1)当⊙O 半径为1时，
①在123(1,0),(1,1),(0,2)P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;
②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；
（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以3,(0)3m m m ⎛
⎫> ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，33
m 为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的取值范围． 16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝
12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝32
-
且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求抛物线解析式．
（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
17．已知，在平面直角坐标系中，二次函数212
y x bx c =++的图象与x 轴交于点A B ，，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()1,0．
（1）如图1，分别求b c 、的值；
（2）如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，连接DO 并延长交抛物线于点E ，3OD OE =，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P 为第一象限的抛物线上一点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，连接EP 、EH ，点Q 为第二象限的抛物线上一点，且点Q 与点P 关于抛物线的对称轴对称，连接PQ ，设2AHE EPH α∠+∠=，tan PH PQ α=⋅，点M 为线段PQ 上一点，点N 为第三象限的抛物线上一点，分别连接MH NH 、，满足60MHN ∠=︒，MH NH =，过点N 作PE 的平行线，交y 轴于点F ，求直线FN 的解析式．
18．新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是“和谐点”．
（1）点M （1，2）_____“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点P （a ，3）是第一象限内的一
个“和谐点”，3
x a y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的二元一次方程y x b =-+的解，求a ，b 的值． （2）如图②，点E 是线段PB 上一点，连接OE 并延长交AP 的延长线于点Q ，若点P （2，3），2OBE EPQ S S ∆∆-=，求点Q 的坐标；
（3）如图③，连接OP ，将线段OP 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段11O P ．若M 是直线11O P 上的一动点，连接PM 、OM ，请画出图形并写出OMP ∠与1MPP ∠，1MOO ∠的数量关系．
19．已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ，过D 作DH ⊥AE 于H ，设直线DH 交AC 于N ．
(1)如图1，当M 在线段BO 上时，求证：MO=NO ；
(2)如图2，当M 在线段OD 上，连接NE 和MN ，当EN//BD 时，
①求证：四边形DENM 是菱形；
②求证：BM ＝AB ；
(3)在图3，当M 在线段OD 上，连接NE ，当NE ⊥BC 时，求证：AN 2＝NC ⋅AC ．
20．在平面直角坐标系xOy 中，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，它们与直线(0)x t t =>分别相交于点,P Q ．
（1）如图，函数1F 为
1y x =+，当2t =时，PQ 的长为_____； （2）函数1F 为3y x =，当6PQ =时，t 的值为______； （3）函数1F 为2(0)y ax bx c a =++≠， ①当b t b
=时，求OPQ △的面积； ②若0c >，函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，当1c x c ≤≤+时，设函数1F 的最大值和函数2F 的最小值的差为h ，求h 关于c 的函数解析式，并直接写出自变量c 的取值范围．
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一、压轴题
1．（1）1；（2）2(25)25(25)x x -≤<；（3）PD 51或
751455-． 【解析】 试题分析：（1）根据矩形ABCD ， A 、P 、F 在一条直线上，且PF ⊥BD ，可得
ADB BAF ∠=∠， tan tan AB BF ADB BAF AD AB
∠=∠=， ，得一1BF =，从而可得ABF S ∆ ； （2）先证明BAP ∆∽FPE ∆ ，从而得到AB BP PF EF
= ，由AD//BC ，可得ADB PBF ∠=∠，从而根据三角函数可得12PF BP = ，由25BP x =-得()
1252PF x =- ，代入AB BP PF EF =，即可得； （3）分∠CPF 的∠FPE 的内部与外部两种情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）∵矩形ABCD ，∴090BAD ABF ∠=∠=，
∴090ABD ADB ∠+∠= ， ∵A 、P 、F 在一条直线上，且PF ⊥BD ，
∴090BPA ∠= ， ∴090ABD BAF ∠+∠=，
∴ADB BAF ∠=∠，∵21tan 42AB ADB AD ∠=
==， ∴1tan 2BF BAF AB ∠=
= ， ∴1BF =， ∴11•21122
ABF S AB BF ∆==⨯⨯= ；
（2）∵PF ⊥BP ，∴090BPF ∠=，
∴090PFB PBF ∠+∠= ，∵090ABF ∠= ，∴090PBF ABP ∠+∠=，
∴ABP PFB ∠=∠， 又∵∠BAP =∠FPE ，
∴BAP ∆∽FPE ∆ ，∴AB BP PF EF
= ， ∵AD//BC ， ∴ADB PBF ∠=∠， ∴1tan tan 2PBF ADB ∠=∠= ， 即12
PF BP = ， ∵25BP x = ， ∴()
152PF x = ，
∴
225
25
2
x
y
x
-
=
-，
∴
()2
2525
(25)
45
x
y x
-
=≤<；
（3）∠CPF=∠BPE，
①如图所示，当点F在CE上时，
∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，
∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，
∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，
∴△PAB∽△CPD，
∴PB：CD=AB：PD，
∴PB·PD=CD·AB，
∴x（25x
-）=2×2，
∴x=51±；
②如图所示，当点F在EC延长线上时，
过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，则有PC：PM=CH：MH，
∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，
∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，
∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，
∵∠ABD=∠BDC，
∴△PAB∽△MPD，
∴PB：MD=AB：PD，
由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，
易得：DN=
5
5
x，PN=
25
5
x，CN=2-
5
5
x，
PH=2x，255x
-
，5，
由PB ：MD=AB ：PD 可得MD=()252x x
- ，从而可得MN ，
在Rt △PCN 中利用勾股定理可得PC ，
由PC ：PM=CH ：MH 可得PM ，
在在Rt △PMN 中利用勾股定理可得关于x 的方程，
解得x= 751455
-，
综上：PD 51或75145- 【点睛】本题考查了相似综合题，涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例等，解题的关键是根据图形正确地确定相似的三角形，添加适当的辅助线等.
2．（1）点P 的坐标为132⎛ ⎝⎭
；（2）①34O D t '=-，t 的取值范围是423t <<；343S ≤≤ 【解析】 【分析】
（1）过点P 作PH x ⊥轴，则90OHP ∠=︒，因为90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，可得60BOA ∠=︒，进而得30OPH ∠=︒，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得
1122OH OP =
=，进而用勾股定理可得2232
HP OP OH =-=，点P 的坐标即求出； （2）①由折叠知，O PQ OPQ '≌，所以O P OP '=，O Q OQ '=；再根据OQ OP =，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形OQO P '为菱形，所以//QO OB '，可得30ADQ B ∠=∠=︒；根据点A 的坐标可知2OA =，加之OP t =，从而有2QA OA OQ t =-=-；而在Rt QAD 中，242QD QA t ==-，
又因为O D O Q QD ''=-，所以得34O D t '=-，由34O D t '=-和2QA t =-的取值范围可得t 的范围是423
t <<；
②由①知，'POQ 为等边三角形，由（1）四边形OQO P '为菱形，所以'AB PQ ⊥,三角形DCQ 为直角三角形，∠Q=60°，从而11(34)22CQ DQ t ==-，33(34)22CD DQ t =
=-,进而可得222''33731243(34)()48877
POQ CDQ S S S t t t =-=--=--+，又已知t 的取值范围是13t ≤≤，即可得
34387S ≤≤． 【详解】
解：（1）如图，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，则90OHP ∠=︒．
90OAB ∠=︒，30B ∠=︒
9060BOA B ∴∠=︒-∠=︒．
9030OPH POH ∴∠=-∠=︒．
在Rt OHP △中，1OP =，
1122OH OP =∴=，2232
HP OP OH =-=． ∴点P 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
．
（2）①由折叠知，O PQ OPQ '≌，
O P OP '∴=，O Q OQ '=．
又OQ OP t ==，
O P OP OQ O Q t ''∴====．
∴四边形OQO P '为菱形．
//QO OB '∴．可得30ADQ B ∠=∠=︒．
点()2,0A ，
2OA ∴=．有2QA OA OQ t =-=-．
在Rt QAD 中，242QD QA t ==-．
O D O Q QD ''=-，
34O D t '∴=-，其中t 的取值范围是423t <<． ②由①知，'POQ 为等边三角形，
∵四边形OQO P '为菱形， ∴'AB PQ ⊥,三角形DCQ 为直角三角形，∠Q=60°，
∴11(34)22CQ DQ t ==-，33(34)22
CD DQ t ==-, ∴222''33731243(34)()48877
POQ CDQ S S S t t t =-=--=--+， ∵13t ≤≤， ∴34387
S ≤≤． ，
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识．
3．（1）2y x 2x 3=-++；（2）63y x =-+；（3）点P 的坐标为
(15,1),(13,1)-；（4）存在，点K 的坐标为(2,3)
【解析】
【分析】
（1）由于点A 、B 为抛物线与x 轴的交点，可设两点式求解；也可将A 、B 、C 的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；
（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出:3:5AE EB =，求出AE,根据点A 坐标可解得点E 坐标,进而求得直线CE 的解析式；
（3）分两种情况讨论①当四边形DCPQ 为平行四边形时；②当四边形DCQP 为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；
（4）根据抛物线的对称性，AF=BF ，则HF+AF=HF+BF ，当H 、F 、B 共线时，HF+AF 值最小，求出此时点F 的坐标，设()00,K x y ，由勾股定理和抛物线方程得0174KF y =-，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174，则点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，此时，
0174
KS y =-,∴KF+KG=KS+KG,当S 、K 、G 共线且平行y 轴时，KF+KG 值最小，由点G 坐标解得0x ，代入抛物线方程中解得0y ，即为所求K 的坐标．
【详解】
解：（1）方法1：设抛物线的解析式为(3)(1)y a x x
将点(0,3)C 代入解析式中，则有1(03)31a a ⨯-=∴=-．
∴抛物线的解析式为()
222323y x x x x =---=-++． 方法二：∵经过,,A B C 三点抛物线的解析式为2y ax bx c =++，
将(1,0),(3,0),(0,3)A B C -代入解析式中，则有
30930c a b c a b c =⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++．
（2）:3:5ACE CEB S S ∆∆=，
13215
2
AE CO EB CO ⋅∴=⋅． :3:5AE EB ∴=．
3334882
AE AB ∴==⨯=． 31122
E x ∴=-+=． E ∴的坐标为1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
． 又C 点的坐标为(0,3)． ∴直线CE 的解析式为63y x =-+．
（3）2223(1)4y x x x =-++=--+．
∴顶点D 的坐标为(1,4)．
①当四边形DCPQ 为平行四边形时，由DQ ∥CP ，DQ=CP 得：
D Q C P y y y y -=-，即403P y -=-．
1p y ∴=-．令1y =-，则2231x x -++=-．
1x ∴=
∴点P
的坐标为(11)-．
②当四边形DCQP 为平行四边形时，由CQ ∥DP ，CQ=DP 得：
c Q D p y y y y -=-，即304P y -=-
1p y ∴=．令1y =，则2231x x -++=．
1x ∴=
∴点P 的坐标为(1．
∴综合得：点P 的坐标为(11),(1)-
（4）∵点A 或点B 关于对称轴1x =对称
∴连接BH 与直线1x =交点即为F 点．
∵点H 的坐标为450,8⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，点B 的坐标为(3,0)， ∴直线BH 的解析式为：154588y x =-
+． 令1x =，则154
y =． 当点F 的坐标为151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，HF AF +的值最小．11分 设抛物线上存在一点()00,K x y ，使得FK FG +的值最小．
则由勾股定理可得：()2
22001514KF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． 又∵点K 在抛物线上，
()2
0014y x ∴=--+
()20014x y ∴-=-代入上式中， ()22
20001517444KF y y y ⎛⎫⎛⎫∴=-+-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 0174KF y ∴=-． 如图，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为
174． ∴点S 的坐标为017,
4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 则0174
SK y =-． 000171717,444y y y ⎛⎫<∴-=- ⎪⎝⎭
（两处绝对值化简或者不化简者正确．）
KF SK ∴=．
KF KG SK KG ∴+=+
当且仅当,,S K G 三点在一条直线上，且该直线干行于y 轴，FK FG +的值最小． 又∵点G 的坐标为(2,0)，
02x ∴=，将其代入抛物线解析式中可得：03y =．
∴当点K 的坐标为(2,3)时，KF KG +最小．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．
4．（1）1b =；（2）1
20,4m m ；（3）71m =-；（4）03m <<或4m >． 【解析】
【分析】
（1）将A 点坐标代入函数解析式即可求得b 的值；
（2）分别表示出P 、Q 、M 的坐标，根据Q 、M 的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；
（3）分别表示出PQ 和MQ 的长度，根据矩形PQMN 是正方形时PQ MQ =，即可求得m 的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m 的值；
（4）分1m ，13m <<，3m =，3m >四种情况讨论，结合图形分析即可．
【详解】
解：（1）将点()3,0A 代入21322y x bx =-
++ 得21
303322
b =-⨯++， 解得b=1,； （2）由（1）可得函数的解析式为21322y x x =-
++， ∴213,22P m m m ⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭
,
∵PQ l ⊥于点Q ， ∴233,122m m Q ⎛
⎫ ⎪⎝-+⎭
+, ∵M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32
m -+， ∴3(3,)2
m M -+，
若点Q 与点M 重合，则 2133222
m m m -++=-+， 解得120,4m m ；
（3）由（2）可得|3|PQ m ，223131)2222|(()||2|MQ m m m m m ，
当矩形PQMN 是正方形时，PQ MQ = 即212|
2||3|m m m ， 即
22123m m m 或22123m m m ， 解22123m m m 得1271,71m m ， 解22123m m m 得3233,33m m ，
又2131(1)2222
y x x x =-++=--+， ∴抛物线的顶点为(1，2)，
∵抛物线的顶点在该正方形内部，
∴P 点在抛物线对称轴左侧，即1m <，且M 点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即3
22m ，
解得12m <-，故m 的值为71；
（4）①如下图
当1m 时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小， 则M 点的纵坐标应该小于P 点纵坐标，且P 点应该在x 轴上侧， 即2313222m m m 且213022m m -++>， 解2313222m
m m 得04m <<， 解213022
m m -++>得13m -<<， ∴01m <≤，
②如下图
当13m <<时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小， 则M 点的纵坐标应该小于P 点纵坐标，
即23
13222
m m m ，解得04m <<， ∴13m <<；
③当3m =时，P 点和M 点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；
④如下图
当3m >时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小， 则M 点的纵坐标应该大于P 点纵坐标， 即2313
22
2
m
m m
，解得0m <或4m >， 故4m >，
综上所述03m <<或4m >． 【点睛】
本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M 、P 、Q 的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论． 5．（1）3,5m n =-=；（2）30ACE
S
=；（3）①点E 的坐标为：1653,1122⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
或
6415,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3660,1111E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭； ②圆心P 移动的路线长255 【解析】 【分析】 （1）令2
130,4
y x x =
--=求出点A （6，0），把点C （-4，n ）代入在抛物线方程，解得：n=5，把点B （0，-3）代入3
4
y x m =-+，从而可得答案；
（2）记AC 与y 轴的交点为H ，利用()1
.2
ACE
A C S
BH x x =••-即可求解； （3）①分当点P 落在CA 上时，点P 落在AE 上时，点P 落在CE 上时三种情况讨论即可； ②分E 在D 和B 点两种情况，求出圆心12,P P 点的坐标，则圆心P 移动的路线长=12PP ，即可求解． 【详解】 解：（1）令2
130,4
y x x =
--=
24120,x x ∴--=
()()260,x x ∴+-= 122,6,x x ∴=-=
∴ 点A （6，0），
把点C （-4，n ）代入在抛物线方程， 解得：()()2
14435,4
n =
⨯----= ()4,5C ∴-，
把点B （0，-3）代入3
4
y x m =-+，
解得：3m =-， 则：直线l ：3
34
y x =-
-，…① 3,5,m n ∴=-=
（2）由（1）知：A （6，0）、B （0，-3）、C （-4，5）、 AC 中点为51,
,2⎛⎫
⎪⎝⎭
设AC 为：,y kx b =+
60
45k b k b +=⎧∴⎨-+=⎩
解得：123
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
AC ∴所在的直线方程为：1
32
y x =-
+， 如图，AC 与y 轴交点H 坐标为：（0，3），
()11
61030.22
ACE
A C S
BH x x ∴=
••-=⨯⨯=
（3）如下图： ①当点P 落在CA 上时， 圆心P 为AC 的中点51,,2⎛⎫
⎪⎝⎭
其所在的直线与AC 垂直，
1
,2
AC k =-
AC ∴的垂直平分线即圆心P 所在的直线方程为：2,y x a =+
把51,2⎛⎫
⎪⎝⎭
代入得：52,2a =+
1
,2
a ∴=
1
22
y x ∴=+…②，
334122y x y x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩
①②
解得：1611
,5322x y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
E 的坐标为1653,1122⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭； 当点P 落在AE 上时， 设点3,3,4E m m ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
则点P 的坐标633,2
82m m +⎛⎫
-- ⎪⎝⎭， 则PA=PC ，
2222
633633645282282m m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 解得：64
,11
m =- 故点6415,.1111E ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
当点P 落在CE 上时， 则PC=PA ， 同理可得：36,11
m =
故点3660,1111E ⎛⎫-
⎪⎝⎭
综上，点E 的坐标为：1653,1122⎛⎫-
- ⎪⎝⎭或6415,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3660,1111E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；
②当E 在D 点时，作AD 的垂直平分线交AC 的垂直平分线于1P 点，
则156,2D ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，1
P 的纵坐标为15,4- 代入②式，解得：11715,,8
4P ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭ 同理当当E 在B 点时， 作AB 的垂直平分线交AC 的垂直平分线于2P 点，
()()6,0,0,3,A B -
AB ∴的中点为：33,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，
设AB 为：y ex f =+，
603e f f +=⎧∴⎨=-⎩
解得：123e f ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
∴ AB 直线方程为：1
32
y x =
-， 设AB 的垂直平分线方程为：12,y x b =-+
13
23,2
b ∴-⨯+=-
192
b ∴=
，
∴ AB 的垂直平分线方程为：9
2,2
y x =-+
122922y x y x ⎧
=+⎪⎪∴⎨⎪=-+
⎪⎩
解得：1
52x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
251,,2P ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
则圆心P 移动的路线长=2
2
1217515251 5.8248PP ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
255
【点评】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x 轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，三角形的外心的性质、一次函数的交点问题，勾股定理的应用，综合性很强，是难度较大类题目． 6．（1）P （2，1
3
）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4． 【解析】 【分析】
（1）把m =1代入二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；
（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63
m m
y x x m m =
-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；
（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；
②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可． 【详解】
解：（1）当m =1时，二次函数为212
163
y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，
1
3
）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263
m m
b a a m =
-+， 即：2263
m m
b m a a -=
- ∵0b m ->， ∴
2263
m m a a -＞0， ∵m ＞0，
∴2263
a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，
∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；
（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，
∵二次函数的解析式为2263
m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，
3
m
）， 当x=0时，y=m ， ∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；
设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A （0，m ），点P （2，
3
m
）代入，得： 23
m b m
k b =⎧⎪
⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m
⎧
=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线AP 的解析式为y=3
m
-x+m ， 当y=0时，x=3， ∴点B （3，0）； ∴OB=3；
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ， 在△ADF 和△ABO 中，
DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADF ≌△ABO （AAS ），
∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），
∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，
∴当x =m 时，3y m ≤+，可得3
2
2363m m
m m -+≤+，化简得：32418m m -≤．
∵0m >，∴2184m m m -≤，∴2
18(2)4m m
--≤，
显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，
当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m
-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；
当x = m +3时，y ≥3，可得2
(3)2(3)
363m m m m m ++-+≥，
∵0m >，∴21823m m m ++≥，即2
18(1)2m m
++≥，
显然：m =1不是上述不等式的解，
当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m
++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；
综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4． 【点睛】
本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键． 7．（1）2122
y x x =-
+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，
抛物线向左平移． 【解析】 【分析】
（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；
（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2
m
），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；
（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离．
【详解】
解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12
-x 2
+bx+c ． 得0
40c b b c =⎧
⎨
-++=⎩，
∴0
2
c b =⎧⎨
=⎩． ∴2211
2(2)222
y x x x =-
+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）． （2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．
∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．
∵O′P=OP=m ． ∴C′D=
12O′P=1
2
m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（3
2m ，2
m ）．
当点O′在y=12
-x 2
+2x 上． 则−
12
m 2
+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2． 当点C′在y=12
-x 2
+2x 上， 则12-
×(32
m )2+2×3
2m ＝12m ，
解得：120
9
m =，20m =（舍去）． ∴m=
209
（3）存在n=2
7
，抛物线向左平移．
当m=20
9
时，点C′的坐标为（
10
3
，
10
9
）．
如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．
以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．
∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（10
3
，
10
9
），点B（2，2）．
∴点A′（8
3
，
8
9
）．
∴点A″的坐标为（8
3
，
28
9
）．
设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39
k=，
解得：k=7
6
．
∴直线OA″的解析式为y=7
6 x．
将y=2代入得：7
6
x=2，
解得：x=12
7
，
∴点B′得坐标为（12
7
，2）．
∴n=2
122 77 -=．
∴存在n=2
7
，抛物线向左平移．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性
质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（3
2
m
，
2
m
）以及点B′的
坐标是解题的关键．
8．（1）21
y=x +x+42﹣；（2）m=2，D(﹣1，52)；（3）P （52，278 ）或P(1，92
)； （4）0＜t≤
261200
． 【解析】
【分析】 (1)根据A ，C 两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．
(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B 点坐标，代入一次函数12y x m =-
+,即可求出m 的值，联立二次函数与一次函数可求出D 点坐标．
(3)设出P 点坐标，通过P 点坐标表示出N ，F 坐标，再分类讨论PN=2NF ，NF=2PN ，即可求出P 点(4)由A ，D 两点坐标求出AD 的函数关系式，因为以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，所以QQ '∥AD ，即可求出QQ '的函数关系式，设直线QQ '与抛物线交于第一象限P 点，所以当Q '与P 重合时，t 有最大值，利用中点坐标公式求出PQ 中点H 点坐标,进而求出MH 的函数关系式，令y=0求出函数与x 轴交点坐标，从而可求出t 的值,求出t 的取值范围．
【详解】
解：(1)∵A (2,0)-，(0,4)C
把A,C 代入抛物线212
y x bx c =-++， 得：142b+c=02c=4
⎧⨯⎪⎨⎪⎩﹣－ 解得b=1c=4
⎧⎨⎩ ∴21y=x +x+42
﹣． （2）令y=0即21
x +x+4=02
﹣， 解得1x =2﹣
，2x =4 ∴B （4,0）
把B （4,0）代入12y x m =-
+ 得1042
m =-⨯+
m=2
122
y x =-+， ∴21y=x +x+42122y x ⎧⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
﹣ 得11x =15y =2⎧⎪⎨⎪⎩﹣ 或22x =4y =0⎧⎨⎩ ∴B(4,0),D(﹣1，52
) ∴,m=2，D(﹣1，52
)． （3）设P （a ，
21
a +a+42﹣），则F （a ，1a 22-+）， ∵DN ⊥PH ，
∴N 点纵坐标等于D 点的纵坐标
∴N(a ，
52) FN=52－（1a 22-+）=11a 22+，PN=21a +a+42﹣－52=213a +a+22
﹣， ∵N 是线段PF 的三等分点，
∴①当FN=2PN 时，
11a 22+=2（213a +a+22
﹣）， 解得：a=
52或a=﹣1（舍去）， ∴P （52，278
）． ②当2FN=PN 时，
2（11a 22+）=（213a +a+22
﹣）， 得a=1或a=﹣1（舍去），
∴P(1,92
)， 综上P 点坐标为P （52，278 ）或P(1,92
)， (4)由（2）问得D(﹣1，
52)，又A (2,0)-， 设AD ：y=kx+b ，
22k 0b ⎨⎪+=⎩
﹣ ， ∴5k=2b=5
⎧⎪⎨⎪⎩ ， ∴AD ：y=52
x+5， 又GM ⊥AD ， ∴可设GM ： y=
2
5﹣x+p ， 以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，
∴QQ '∥AD ，
可设QQ '：y=52x+q ，又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭
，代入QQ '， 得：5
2×45⎛⎫- ⎪⎝⎭
+q=0， q=2， ∴QQ '：y=
52x+2， 设直线QQ '与抛物线交于第一象限N 点,,所以当Q '与N 点重合时,t 有最大值， ∴25+221y=x +x+42y x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩
﹣ ， 解得：11x =19y =2⎧⎪⎨⎪⎩
或22x =4y =8⎧⎨⎩﹣﹣ ， ∴N(1,92)又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 设H 为N,Q 中点， 则H （
110，94）， 又∵H 在直线GM 上，
∴把H 代入GM y=
25﹣x+p ， 得：921=+p 4510
⨯﹣，
100
∴y=2 5
﹣x+229 100
，
令y=0得：0=2 5
﹣x+229 100
，
∴x=229 40
，
即QM=229
40
+
4
5
=
261
40
，
∵M的速度为5，
∴t=261
40
÷5=
261
200
，
∴0＜t≤261 200
．
【点睛】
本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．
9．（1）t=1；（2）存在，
14
3
t=，理由见解析；（3）可能，
34
55
t≤≤或
45
33
t≤≤或
35
t
≤≤理由见解析
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；
（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面
积，即不存在t ，使重叠面积为9136
S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为
169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；
（3）由已知求得点D （2，1），
AC=
结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．
【详解】
（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，
设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，
将点A 、C 坐标代入，得：
402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122
y x =-+， 当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），
将点H 代入122
y x =-+，得： 11(3)22
t =--+，解得：t=1； （2）存在，143t =，使得9136
S =． 根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =
，故t ﹥4， 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，
将点A 、B 坐标代入，得：
402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122
m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122
y x =+， 当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)， 当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =
+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133
t =；。