2019年高考数学(文科)二轮复习对点练:三三角专题对点练10(含答案)
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(1)求 a 的值,并求 f(x)的单调递增区间;
������ (2)先将函数 y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再将所得图象向右平移12个单位,得到函数
[ ]������
0,
y=g(x)的图象,求方程 g(x)=4 在区间 2 上所有根之和.
8.函数 f(x) =2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求 f 3 的值;
(2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(2a-c)cos B=bcos C,求角 B 的大小以及 f(A)的取值范围.
[ ]������
0,
7.已知函数 f(x)=2cos2x+2 3sin xcos x+a,且当 x∈ 2 时,f(x)的最小值为 2.
2������ +
=sin
3.
2������
所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π.
(2)证明 因为-≤x≤,
������ 5������ ≤
所以-≤2x+3 6 .
( ) ( ) ������
������
2������ +
-
所以 sin
3 ≥sin 6 =-.
[ ]������ ������ -, 所以当 x∈ 4 4 时,f(x)≥-.
2������ - =
(2)由 f(B+C)=cos
3 +1=,得 cos
3 2.
2
2
又 A∈(0,π),得 A=.
在△ABC 中,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc, 又 a= 3,b+c=3,∴3=9-3bc,
解得 bc=2,
������ 1 3 3
=
=
∴△ABC 的面积 S=bcsin3 2×2× 2 2 .
( )������
2������ +
3.解 (1)f(x)=cos2x- 3sin xcos x+=cos
3 +1,
∴f(x)的最小正周期为 T=π.
( )������
2������ +
∵x∈R,∴-1≤cos
3 ≤1,
故 f(x)的值域为[0,2].
[ ] ( ) ������
������ 1
2(������ + ������) +
������
4.已知函数 f(x)= 3sin ωx·cos ωx+cos2ωx- (ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为2.
(1)求 ω 的值;
������
(2)将函数 f(x)的图象向左平移6个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得
[ ] ������ 2������ -,
(2)∵A=,可得 tan A= 3,
( ) 3
������
2������������ -
∴f(x)= 3sin ωxcos ωx-cos 2ωx= 2 sin 2ωx-cos 2ωx=sin
6,
������ 2������ =
∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为,可得 T=2×2 2������,解得 ω=1,
6 +a+1,
[ ] [ ] ������
������ ������ 7������
0,
∈,
∵x∈ 2 ,∴2x+6 6 6 ,
∴f(x)的最小值为-1+a+1=2,
解得 a=2,
( )������
2������ +
∴f(x)=2sin
6 +3.
[ ] ������
������
������������ - ,������������ +
[ ]������ ������ -,
(1)求 f(x)的解析式,并求函数 f(x)在 12 4 上的值域; 2
2
(2)在△ABC 中,AB=3,AC=2,f(A) =1,求 sin 2B.
2
2
专题对点练 10 答案
1.解 (1)∵f(x)=asin 2x+2cos2x,
∴f(-x)=-asin 2x+2cos2x. ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴-asin 2x+2cos2x=asin 2x+2cos2x,
= 2 sin 2ωx-cos 2ωx-
( )������ 1
2������������ - ‒
=sin
6 2.
2������
∵最小正周期为 T=π,∴2������=π,ω=1.
( )������ 1
2������ - ‒
∴f(x)=sin
6 2.
( ) ( ) 4������
4������ ������ 1 1
∴4x-=2kπ+或 4x-=2kπ+ 6 (k∈Z),
������������ ������ ������������ ������
+
+
解得 x= 2 12或 x= 2 4(k∈Z),
[ ]������
������
0,
∵x∈ 2 ,∴x=12或 x=,
������ ������ ������ +=
[ ] ������
������ ������
-,
左平移4个单位,得到函数 y=g(x)图象,求函数 g(x)在区间 24 4 上的值域.
( ) 3������
- ������������
6.已知 f(x)= 3sin(π+ωx)·sin 2
-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 T=π.
( )4������
2× - ‒ =
∴f 3 =sin 3 6 2 2.
(2)∵(2a-c)cos B=bcos C,
∴(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,
2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A.
∵sin A>0,∴cos B=,
∵B∈(0,π),∴B=.
( ) 3
1 + ������������������2������������ 1 3
������
‒=
2������������ +
4.解 (1)原函数可化为 f(x)= 2 sin 2ωx+ 2
2 2 sin 2ωx+·cos 2ωx=sin
6.
∵函数 f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为,
∴f(x)的最小正周期为 2×=π. 2������
∴所有根之和为12 4 3.
11������ ������ 3������ ‒=
8.解 (1)由题图知, T= 12 6 4 ,
∴T=π. 2������
∴ ������ =π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ).
2
2
( )������ ,2 ∵点 6 在函数 f(x)的图象上,
( ) ������ + ������ ∴sin 3 =1,
由 2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得 kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为
3
6 (k∈Z).
(2)由函数图象变换可得
( )������
4������ -
g(x)=2sin
6 +3,
( )������ 1
4������ - =
由 g(x)=4 可得 sin
6 2,
5������
[ ]1 - ,1 ∴实数 k 的取值范围为 2 .
3
3
5.解 (1)∵bsin Acos C+csin Acos B= 2 a,∴由正弦定理可得 sin Bsin Acos C+sin Csin Acos B= 2 sin A,
∵A 为锐角,sin A≠0,
3
3
∴sin Bcos C+sin Ccos B= 2 ,可得 sin(B+C)=sin A= 2 ,∴A=.
∴x=- 24 或-24 24 24 . 11������ 5������ 13������ 19������ 或或
∴所求方程的解为 x=- 24 或-24 24 24 . 3
2.(1)解 f(x)= 2 cos 2x+sin 2x-sin 2x 3
=sin 2x+ 2 cos 2x
( )������
2.已知函数 f(x)= 3cos
3 -2sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期;
[ ]������ ������ -,
(2)求证:当 x∈ 4 4 时,f(x)≥-.
3.设函数 f(x)=cos2x- 3sin xcos x+.
(1)求 f(x)的最小正周期及值域; (2)已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(B+C)=,a= 3,b+c=3,求△ABC 的面积.
( )������
2������ -
∴f(x)=sin
6,
[ ( ) ] ( ) ������ ������
������
2 ������ + -
2������ +
∴将 y=f(x)的图象向左平移个单位,图象对应的函数为 y=g(x)=sin
4 6 =sin
3,
[ ] ������ ������ -, ∵x∈ 24 4 ,
2������ +
∴2sin
6 +1=1- 2,
( )������ 2
2������ +
∴sin
6 =- 2 ,
������ 5 =
∴2x+=-+2kπ 或 2x+6 4π+2kπ,k∈Z,
5������
13������
∴x=kπ-24或 x=kπ+ 24 ,k∈Z.
∵x∈[-π,π], 11������ 5������ 13������ 19������ 或或
[ ] ������ ������ 5������ ∈, 可得 2x+3 4 6 ,
( ) [ ] ������ 1
2������ + ∈ ,1
∴g(x)=sin
3 2.
( ) 3������
- ������������
6.解 (1)f(x)= 3sin(π+ωx)·sin 2
-cos2ωx
2
2
= 3sin ωx·cos ωx-cos2ωx 3
∴2������=π,∴ω=1.
( )������
2������ +
(2)由(1)知,ω=1,f(x)=sin
6 ,将函数 f(x)的图象向左平移个单位,得到函数
[ ( ) ] ( ) ������ ������
������
2 ������ + +
2������ +
y=sin
6 6 =sin
2 =cos 2x 的图象,再将函数 y=cos 2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2
∴2asin 2x=0,∴a=0.
( )������
=3
(2)∵f 4
+1,
∴asin+2cos2=a+1= 3+1,
∴a= 3,
( )������
2������ +
∴f(x)= 3sin 2x+2cos2x= 3sin 2x+cos 2x+1=2sin
6 +1.
∵f(x)=1- 2,
( )������
( ) ( ) 2������ ������
������ 7������
0,
∈- ,
∴A∈ 3 ,2A-6
6 6,
( ) ( ] ������
1
2������ - ∈ - ,1
∴sin
6
2.
( ]1
- 1,
即 f(A)的取值范围为
2.
( )������
2������ +
7.解 (1)f(x)=2cos2x+2 3·sin xcos x+a=cos 2x+1+ 3sin 2x+a=2sin
( )������
2������ +
(2)∵f(A)=2sin
到函数 y=g(x)的图象,若函数 y=g(x)-k 在区间 6 3 上存在零点,求实数 k 的取值范围.
2
2
3
5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 A 为锐角,且 bsin Acos C+csin Acos B= 2 a.
(1)求角 A 的大小;来自������(2)设函数 f(x)=tan Asin ωxcos ωx-cos 2ωx(ω>0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为2,将函数 y=f(x)的图象向
∴+φ=+2kπ(k∈Z).
∵0<φ<π,∴φ=,
( )������
2������ +
∴f(x)=2sin
6.
������
������ 2������
≤
∵-12≤x≤,∴0≤2x+6 3 .
( ) [ ] ������
������ ������
2������ +
-,
∴0≤sin
6 ≤1,∴0≤f(x)≤2,即函数 f(x)在 12 4 上的值域为[0,2].
2
专题对点练 10 三角函数与三角变换
1.(2018 上海,18)设常数 a∈R,函数 f(x)=asin 2x+2cos2x.
(1)若 f(x)为偶函数,求 a 的值;
( )������
=3
(2)若 f 4
+1,求方程 f(x)=1- 2在区间[-π,π]上的解.
( )������
2������ -
倍,纵坐标不变,得到函数 y=cos x 的图象.
∴g(x)=cos x.
[ ] ������ 2������ -, ∵x∈ 6 3 ,
[ ]1 - ,1 ∴g(x)=cos x∈ 2 .
[ ] ������ 2������ -, ∵函数 y=g(x)-k 在区间 6 3 上存在零点,
[ ]1 - ,1 ∴k∈ 2 .
������ (2)先将函数 y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再将所得图象向右平移12个单位,得到函数
[ ]������
0,
y=g(x)的图象,求方程 g(x)=4 在区间 2 上所有根之和.
8.函数 f(x) =2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求 f 3 的值;
(2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(2a-c)cos B=bcos C,求角 B 的大小以及 f(A)的取值范围.
[ ]������
0,
7.已知函数 f(x)=2cos2x+2 3sin xcos x+a,且当 x∈ 2 时,f(x)的最小值为 2.
2������ +
=sin
3.
2������
所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π.
(2)证明 因为-≤x≤,
������ 5������ ≤
所以-≤2x+3 6 .
( ) ( ) ������
������
2������ +
-
所以 sin
3 ≥sin 6 =-.
[ ]������ ������ -, 所以当 x∈ 4 4 时,f(x)≥-.
2������ - =
(2)由 f(B+C)=cos
3 +1=,得 cos
3 2.
2
2
又 A∈(0,π),得 A=.
在△ABC 中,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc, 又 a= 3,b+c=3,∴3=9-3bc,
解得 bc=2,
������ 1 3 3
=
=
∴△ABC 的面积 S=bcsin3 2×2× 2 2 .
( )������
2������ +
3.解 (1)f(x)=cos2x- 3sin xcos x+=cos
3 +1,
∴f(x)的最小正周期为 T=π.
( )������
2������ +
∵x∈R,∴-1≤cos
3 ≤1,
故 f(x)的值域为[0,2].
[ ] ( ) ������
������ 1
2(������ + ������) +
������
4.已知函数 f(x)= 3sin ωx·cos ωx+cos2ωx- (ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为2.
(1)求 ω 的值;
������
(2)将函数 f(x)的图象向左平移6个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得
[ ] ������ 2������ -,
(2)∵A=,可得 tan A= 3,
( ) 3
������
2������������ -
∴f(x)= 3sin ωxcos ωx-cos 2ωx= 2 sin 2ωx-cos 2ωx=sin
6,
������ 2������ =
∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为,可得 T=2×2 2������,解得 ω=1,
6 +a+1,
[ ] [ ] ������
������ ������ 7������
0,
∈,
∵x∈ 2 ,∴2x+6 6 6 ,
∴f(x)的最小值为-1+a+1=2,
解得 a=2,
( )������
2������ +
∴f(x)=2sin
6 +3.
[ ] ������
������
������������ - ,������������ +
[ ]������ ������ -,
(1)求 f(x)的解析式,并求函数 f(x)在 12 4 上的值域; 2
2
(2)在△ABC 中,AB=3,AC=2,f(A) =1,求 sin 2B.
2
2
专题对点练 10 答案
1.解 (1)∵f(x)=asin 2x+2cos2x,
∴f(-x)=-asin 2x+2cos2x. ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴-asin 2x+2cos2x=asin 2x+2cos2x,
= 2 sin 2ωx-cos 2ωx-
( )������ 1
2������������ - ‒
=sin
6 2.
2������
∵最小正周期为 T=π,∴2������=π,ω=1.
( )������ 1
2������ - ‒
∴f(x)=sin
6 2.
( ) ( ) 4������
4������ ������ 1 1
∴4x-=2kπ+或 4x-=2kπ+ 6 (k∈Z),
������������ ������ ������������ ������
+
+
解得 x= 2 12或 x= 2 4(k∈Z),
[ ]������
������
0,
∵x∈ 2 ,∴x=12或 x=,
������ ������ ������ +=
[ ] ������
������ ������
-,
左平移4个单位,得到函数 y=g(x)图象,求函数 g(x)在区间 24 4 上的值域.
( ) 3������
- ������������
6.已知 f(x)= 3sin(π+ωx)·sin 2
-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 T=π.
( )4������
2× - ‒ =
∴f 3 =sin 3 6 2 2.
(2)∵(2a-c)cos B=bcos C,
∴(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,
2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A.
∵sin A>0,∴cos B=,
∵B∈(0,π),∴B=.
( ) 3
1 + ������������������2������������ 1 3
������
‒=
2������������ +
4.解 (1)原函数可化为 f(x)= 2 sin 2ωx+ 2
2 2 sin 2ωx+·cos 2ωx=sin
6.
∵函数 f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为,
∴f(x)的最小正周期为 2×=π. 2������
∴所有根之和为12 4 3.
11������ ������ 3������ ‒=
8.解 (1)由题图知, T= 12 6 4 ,
∴T=π. 2������
∴ ������ =π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ).
2
2
( )������ ,2 ∵点 6 在函数 f(x)的图象上,
( ) ������ + ������ ∴sin 3 =1,
由 2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得 kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为
3
6 (k∈Z).
(2)由函数图象变换可得
( )������
4������ -
g(x)=2sin
6 +3,
( )������ 1
4������ - =
由 g(x)=4 可得 sin
6 2,
5������
[ ]1 - ,1 ∴实数 k 的取值范围为 2 .
3
3
5.解 (1)∵bsin Acos C+csin Acos B= 2 a,∴由正弦定理可得 sin Bsin Acos C+sin Csin Acos B= 2 sin A,
∵A 为锐角,sin A≠0,
3
3
∴sin Bcos C+sin Ccos B= 2 ,可得 sin(B+C)=sin A= 2 ,∴A=.
∴x=- 24 或-24 24 24 . 11������ 5������ 13������ 19������ 或或
∴所求方程的解为 x=- 24 或-24 24 24 . 3
2.(1)解 f(x)= 2 cos 2x+sin 2x-sin 2x 3
=sin 2x+ 2 cos 2x
( )������
2.已知函数 f(x)= 3cos
3 -2sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期;
[ ]������ ������ -,
(2)求证:当 x∈ 4 4 时,f(x)≥-.
3.设函数 f(x)=cos2x- 3sin xcos x+.
(1)求 f(x)的最小正周期及值域; (2)已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(B+C)=,a= 3,b+c=3,求△ABC 的面积.
( )������
2������ -
∴f(x)=sin
6,
[ ( ) ] ( ) ������ ������
������
2 ������ + -
2������ +
∴将 y=f(x)的图象向左平移个单位,图象对应的函数为 y=g(x)=sin
4 6 =sin
3,
[ ] ������ ������ -, ∵x∈ 24 4 ,
2������ +
∴2sin
6 +1=1- 2,
( )������ 2
2������ +
∴sin
6 =- 2 ,
������ 5 =
∴2x+=-+2kπ 或 2x+6 4π+2kπ,k∈Z,
5������
13������
∴x=kπ-24或 x=kπ+ 24 ,k∈Z.
∵x∈[-π,π], 11������ 5������ 13������ 19������ 或或
[ ] ������ ������ 5������ ∈, 可得 2x+3 4 6 ,
( ) [ ] ������ 1
2������ + ∈ ,1
∴g(x)=sin
3 2.
( ) 3������
- ������������
6.解 (1)f(x)= 3sin(π+ωx)·sin 2
-cos2ωx
2
2
= 3sin ωx·cos ωx-cos2ωx 3
∴2������=π,∴ω=1.
( )������
2������ +
(2)由(1)知,ω=1,f(x)=sin
6 ,将函数 f(x)的图象向左平移个单位,得到函数
[ ( ) ] ( ) ������ ������
������
2 ������ + +
2������ +
y=sin
6 6 =sin
2 =cos 2x 的图象,再将函数 y=cos 2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2
∴2asin 2x=0,∴a=0.
( )������
=3
(2)∵f 4
+1,
∴asin+2cos2=a+1= 3+1,
∴a= 3,
( )������
2������ +
∴f(x)= 3sin 2x+2cos2x= 3sin 2x+cos 2x+1=2sin
6 +1.
∵f(x)=1- 2,
( )������
( ) ( ) 2������ ������
������ 7������
0,
∈- ,
∴A∈ 3 ,2A-6
6 6,
( ) ( ] ������
1
2������ - ∈ - ,1
∴sin
6
2.
( ]1
- 1,
即 f(A)的取值范围为
2.
( )������
2������ +
7.解 (1)f(x)=2cos2x+2 3·sin xcos x+a=cos 2x+1+ 3sin 2x+a=2sin
( )������
2������ +
(2)∵f(A)=2sin
到函数 y=g(x)的图象,若函数 y=g(x)-k 在区间 6 3 上存在零点,求实数 k 的取值范围.
2
2
3
5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 A 为锐角,且 bsin Acos C+csin Acos B= 2 a.
(1)求角 A 的大小;来自������(2)设函数 f(x)=tan Asin ωxcos ωx-cos 2ωx(ω>0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为2,将函数 y=f(x)的图象向
∴+φ=+2kπ(k∈Z).
∵0<φ<π,∴φ=,
( )������
2������ +
∴f(x)=2sin
6.
������
������ 2������
≤
∵-12≤x≤,∴0≤2x+6 3 .
( ) [ ] ������
������ ������
2������ +
-,
∴0≤sin
6 ≤1,∴0≤f(x)≤2,即函数 f(x)在 12 4 上的值域为[0,2].
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专题对点练 10 三角函数与三角变换
1.(2018 上海,18)设常数 a∈R,函数 f(x)=asin 2x+2cos2x.
(1)若 f(x)为偶函数,求 a 的值;
( )������
=3
(2)若 f 4
+1,求方程 f(x)=1- 2在区间[-π,π]上的解.
( )������
2������ -
倍,纵坐标不变,得到函数 y=cos x 的图象.
∴g(x)=cos x.
[ ] ������ 2������ -, ∵x∈ 6 3 ,
[ ]1 - ,1 ∴g(x)=cos x∈ 2 .
[ ] ������ 2������ -, ∵函数 y=g(x)-k 在区间 6 3 上存在零点,
[ ]1 - ,1 ∴k∈ 2 .