河南省淮阳中学富洲部2013-高一5月考试数学试题

绝密★启用前 2014-05-24
2013-2014学年度下期淮阳中学富洲部高一5月考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分
一、选择题（每题5分，共60分）
1．给出下列命题：①终边相同的角的同名函数值相等；②终边不同的角的同名函数值不相等；③若,0sin >α则α是第一或第二象限的角；④若α是第二象限角，且),(y x P 是其终边上的一点，则2
2
cos y
x x +-=
α；⑤若βα、是第二象限的角，且βα>，则
βαcos cos <。

其中正确的命题有（ ）
A ．1个
B.2个 C ．3个 D ．4个
2．已知向量(1,2)=a ,b (1,0)=,c (3,4)=,若λ为实数，()λ⊥b +a c ，则λ的值为（ ） A ．311-
B ．113-
C ．1
2
D ．35 3．若(2,1)a =，(3,4)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ） A ．52 B ．2 C ．5 D ．10
4．在ABC ∆中, 已知向量)72cos ,18(cos 00=AB , )27cos 2,63cos 2(00=AC ,则
BAC ∠cos 的值为( )
A ．0
B ．
2
1
C ．22
D ．23
5.已知︒
-︒
=︒︒=︒-︒=12tan 112tan 2,78cos 78sin 2,34sin 34cos 22
2
c b a ，则有（ ） A ． B ． C ． D ．
6. 已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈的部分图象，如图所示，
则()f x 的解析式为( ) A
7．若函数)6
(sin 2π
+=x y 与函数sin 2cos 2y x a x =+的图像的对称轴相同,则实数a 的值
为（ ）
A ．3 B.3- C.
3
3
D.33-
8．如图BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且
2
1
=
,若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE •的值是（ ）
A ．34-
B ．89
- C.．14- D ．91-
9.设向量)1,0(),0,1(==，若向量a 满足5|||2|=-+-，则|2|+的取值范围是（ ）
A ．]3,22[ B. ]22,556[
C. ]4,5[
D.]3,5
5
6[ 10．已知函数()sin cos =+f x m x n x ，且()6
f π
是它的最大值，(其中m 、n 为常数且0≠mn )
给出下列命题：①()3
f x π
+
是偶函数； ②函数()f x 的图象关于点8(
,0)3
π
对称；③3()2
-
f π是函数()f x
的最小值；④3m n =.其中真命题有( )
A. ①②③④
B.②③
C. ①②④
D.②④
11．过坐标原点O 作单位圆2
2
1x y +=的两条互相垂直的半径OA OB 、，若在该圆上存在一点C ，使得OC aOA bOB =+（a b R ∈、），则以下说法正确的是（ ） A ．点(),P a b 一定在单位圆内 B ．点(),P a b 一定在单位圆上
C ．点(),P a b 一定在单位圆外
D ．当且仅当0ab =时，点(),P a b 在单位圆上
12．已知(2,1)A ，(1,2)B -，，动点(,)P a b 满足02OP OA ≤⋅≤且
02OP OB ≤⋅≤，则点P 到点C 的距离大于 ）
A
二、填空题（题型注释）
13.已知函数3
sin
)(x
x f π=,则=+++++)2014()2010()3()2()1(f f f f f .
14．设点O 是面积为4的ABC ∆内部一点，且有20OA OB OC ++=，则AOC ∆的面积为 .
A ．2
B ．1
C ．
12 D ．1
3
15．已知111(,)P x y ，222(,)P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角）．若π
3
sin()45
θ+=
，则1212x x y y +的值为 ．
16．已知函数2
()2sin ()234f x x x π
=-
-若方程()f x m =仅有一解,则实数m 的取值范围为 。

三、解答题：
17．设、是不共线的两个非零向量.
(1)若2,3,3OA a b OB a b OC a b =-=+=-，问：A B C 、、
••三点是否共线； (2)若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值.
18．已知函数.1cos sin 3cos )(2
+-=x x x x f
(1)求函数)(x f 的单调递增区间；
(2)若65)(=
θf ，θπ
πθ2sin )3
23(，求，∈的值. 19．已知函数2
()22sin
cos
22cos 28
8
8
f x x x x π
π
π
=+-，R ∈x ．
（1）求函数)(x f 的最小正周期、对称中心及取最大值时的x 的取值集合；
（2）若函数)(x f 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点,求POQ sin ∠的值．
20．已知向量)1,cos 1(x a ω+=，)sin 3,1(x a b ω+=（ω为常数且0ω>），函数
b a x f ⋅=)(在R 上的最大值为2．
（1）求实数a 的值；
（2）把函数)(x f y =的图象向右平移ω
π
6个单位，可得函数)(x g y =的图象，若)(x g y =在]4
,0[π上为增函数，求ω取最大值时的单调增区间．
21.如图，现在要在一块半径为1 m ，圆心角为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，MNPQ 的面积为S .
(1)求S 关于θ的函数关系式； (2)求S 的最大值及相应θ的值．
22．已知二次函数()f x 的对称轴方程为：1x =，设向量(sin ,2)a x =，
21
(2sin ,),(cos ,1),(2,1)2
b x
c x
d ===.
（1）分别求a b ⋅和c d ⋅的取值范围；
（2）当[0,]x π∈时，求不等式()()f a b f c d ⋅>⋅的解集.
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数学试卷参考答案
1.A
2.A
3.B
4.C
5. D
6.A
7.D
8.B
9. D 10．D11．B ．12．A 13.
2
3 14．1 15．
16
．(
{}2,34⎤-⋃-⎦
17．【解析】 (1)证明：∵(3)(2)2AB OB OA a b a b a b =-=+--=+ 而(3)(3)242(2)2BC OC OB a b a b a b a b AB =-=--+=--=-+=- ∴AB 与BC 共线，又有公共端点B ，∴A B C 、、••三点共线 5分 (2)∵8a kb +与2ka b +共线，∴存在实数λ，使得
8(2)(8)(2)0a kb ka b k a k b λλλ+=+⇒-+-=
∵a 与b 不共线
∴280222820242k k k k k λλλλλλλ-==±=⎧=⎧⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨
-====⎩⎩⎩⎩
或2
4k λ=-⎧⎨=-⎩ 4k ∴=±. 10分
考点：1.向量共线定理；2.平面向量的基本定理；3.两向量相等的条件. 18．【解析】
1cos 2133
(1)()21cos 22cos(2)22232
x f x x x x x π+=
-+=+=++ 52222, ,3
3
65(),,.36k x k k x k f x k k k Z π
π
π
ππππππππππ+≤+
≤++
≤≤+
⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦令得故的单调增区间为
5352(2)
(),cos(2), cos(2)632633
f ππθθθ=
∴+∴+＋＝＝－，
25()23
3
3
3
ππππθπθ∈⇒<+<，
， sin(2)3
πθ∴+
sin 2sin (2)sin(2)cos cos(2)sin 333333ππππππθ
θθθ⎡
⎤∴=
+-=+-⎢⎥⎣
⎦＋ 12分
考点：倍角公式，辅助角公式，两角和的正弦. 19．【解析】（1
）2
()cos
1)8
8
8
f x x x x π
π
π
=+-
2sin(
)4
4
44
x x x π
π
π
π
==+， 3分
所以，函数)(x f 的最小正周期为284
T π
π
=
=． 4分
由
ππ
π
k x =+
4
4
（Z ∈k ）得14-=k x （Z ∈k ），
∴函数)(x f 的对称中心为（)0,14-k （Z ∈k ） 5分
由
2
4
4
π
ππ
π
+
=+
k x （Z ∈k ）得14+=k x （Z ∈k ），
∴函数)(x f 的最大值时的x 的取值集合)}14|{z k k x x ∈+=（ 6分
（2
）
(2)2sin()2cos 244
f πππ
=+==
(4)2sin()2sin 44f π
π
π=+=-=
(4,P Q ∴ 8分
|| || ||OP PQ OQ ∴===
从而cos |
|||
OP OQ POQ OP OQ ⋅∠=
==
⋅分
sin 3
POQ ∴∠==
， 12分 考点：三角函数式的化简，三角函数的性质 20．【解析】（1
因为函数()f x 在R 上的最大值为2，所以32
a +=，故1a =-． （2）由（1
可得函数()2sin y g x x ω==． 又
()y g x =在
上为增函数()g x ∴的周期
即2ω≤，所以ω的最大值为2，
此时单调增区间为
Z
k k k ∈+
-
],4
,4
[π
ππ
π．
考点：1、平面向量数量积的运算；2、三角恒等变换；3、三角函数的最值；4、三角函数的单调性；5、函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换．
21.【解析】：
(1)分别过点P 、Q 作PD ⊥OB ，QE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，则
四边形QEDP 是矩形．
PD ＝sin θ，OD ＝cos θ. （2分） 在Rt △OEQ 中，∠AOB ＝π
3，
则OE ＝
33QE ＝3
3
PD . （4分） 所以MN ＝PQ ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－3
3
sin θ. （5分） 则S ＝MN ×PD ＝(cos θ－3
3
sin θ)×sin θ ＝sin θcos θ－
33sin 2θ，θ∈(0，π
3
)． （7分） (2)S ＝12sin2θ－36(1－cos2θ)＝12sin2θ＋36cos2θ－36＝33sin(2θ＋π6)－3
6. （9分）
因为0<θ<π3，所以π6<2θ＋π6<5π6
，
所以12<sin(2θ＋π
6
)≤1. （10分）
所以当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，S 的值最大为3
6 m 2. （11分）
即S 的最大值是
36 m 2，相应θ的值是π
6
. （12分） 考点：三角函数的实际应用
22．【解析】 (1）依题意可得21
sin 2sin 22sin 12
a b x x x ⋅=⨯+⨯
=+，22cos 1c d x ⋅=+ 因为1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤，所以20sin 1x ≤≤，20cos 1x ≤≤，所以
212sin 13x ≤+≤，212cos 13x ≤+≤即13a b ≤⋅≤，13c d ≤⋅≤
（2）()f x 图像关于1x =对称
当二次项系数0m >时,()f x 在[1,)+∞内单调递增，由()()f a b f c d ⋅>⋅得到a b c d
⋅>⋅即222sin 12cos 1x x +>+即22
cos sin cos 20x x x -=<
又因为0022x x ππ≤≤⇒≤≤ 所以
322
2x π
π<<
即344
x ππ<<
当二次项系数0m <时，()f x 在[1,)+∞内单调递减 由
()()f a b f c d ⋅>⋅得到
a b c d
⋅<⋅即
222sin 12cos 1
x x +<+即
22cos sin cos 20x x x -=>
又因为0022x x ππ≤≤⇒≤≤
所以022x π
≤<
或
3222
x ππ<≤即04x π≤<或34x π
π<≤ 综上，当0m >时不等式的解集为3(,)44ππ；当0m <时不等式的解集为3[0,)(,]44
ππ
π.
考点：1.平面向量的坐标运算；2.二次函数的图像与性质；3.平面向量的数量积.。