专题19 概率最值问题(解析版)

专题19 概率最值问题
例1． 某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．
(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为<<(01)p p ，且相互独立． ①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；
【解析】（1）设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A 则()
=
=3
93
12
2155
C P A C 答：该盒芯片可出厂的概率为2155．
(2)①某箱12片芯片中恰有3片次品的概率 ()
()
+++-⨯⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭
12
9
33
312312
1212333(1)91131[]2712274p p p p f p C p p
C C 当且仅当=-31p p ，即=14p 时取“=”号
故()
f p 的最大值点=014
p ．
②由题设知，==014p p
设这箱芯片不合格品个数为n 则⎛⎫~ ⎪⎝
⎭，1124n B 故()
=⨯=11234
E n 则()
=---⨯=12012303272E X ∴这箱芯片最终利润X 的期望是72元．
例2． 绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持
续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．
【解析】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7， 设每个游客的利润为1Y 元，则1Y 是随机变量，其分布列为：
115035071=⨯-⨯=()..E Y （元)，
则5000个游客的平均利润为5000元，
当收费为10元时，照片被带走的可能性为030051008+⨯=...，不被带走的概率为0.2， 设每个游客的利润为2Y ，则2Y 是随机变量，其分布列为：
25085023=⨯-⨯=()..E Y （元)，
则5000个游客的平均利润为5000315000⨯=（元)，
该项目每天的平均利润比调整前多10000元．
（2）设降价x 元，则015<x ，照片被带走的可能性为03005+..x ， 不被带走的可能性为07005-..x ，
设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：
21503005507005005697=-⨯+-⨯-=--()()(..)(..).[()]E Y x x x x ，
当7=x 时，()E Y 有最大值3.45元，
∴当定价为13元时，日平均利润取最大值为500034517250⨯=.元．
例3． 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的∈(*)n n N 个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为
1
2
，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．
（2）当4=n 时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望．
【解析】解：（1）对于一个坑而言，要补种的概率为313
3111222+=()()C ．
有3个坑需要补种的概率为：3
12
⨯()n n C ，
要使312⨯()n n C 最大，只须323411221122
⎧≥⎪⎪⎨
⎪≥⎪⎩()()()()n n n n n n
n n C C C C ，解得57≤≤n ， ∈*n N ，故5=n ，6，7．
353535
56711513522162128
==>=
()()()C C C ， 所以当n 为5或6时，有3个坑要补播种的概率最大．最大概率为
5
16
． （2）4=n 时，要补播种的坑的个数X 的所有的取值分别为0，1，2，3，4，1
42~(,)X B ，
04
4110216===
()()P X C ，14411124===()()P X C ，24413228===()()P X C ， 34411324===()()P X C ，44
4114216
===
()()P X C ．
所以X 的数学期望1
422
=⨯
=()E X ． 例4． 为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定
利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．
（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；
【解析】解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则00201010002==⨯⨯=()....P X ，
10801020209010201090044==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()..........P X ， 20809010801090209090306==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()..........P X ， 30809090648==⨯⨯=()....P X ．
（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，
依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为090105095+⨯=....， ∴一尾乙种鱼苗的平均收益为10095200594⨯-⨯=...元．
设购买n 尾乙种鱼苗，()F n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润， 则94376000=≥().F n n ，解得40000≥n ．
所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元．
例5． 为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望；
（Ⅰ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k 的值．
【解析】（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数X 的可能取值为0，1，2，3，
()0355*******C C P X C ===，()12
553105
112C C P X C ===，
()21553105212C C P X C ===，()30553101
312
C C P X C ===，
所以X 的分布列为
X 的数学期望()01
23121212122
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. （Ⅰ）设Y 为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得310,10Y B ⎛
⎫~ ⎪⎝⎭
，
()()1010370,1,2,3, (101010)
k
k P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
由1019110101011111010373710101010373710101010k k k k
k k k k k k
k k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎩，解得23331010k ≤≤，又*k N ∈，所以当3k =时概率最大． 即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.
例6． 已知A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量1X 和2X .根据市场分析， 1X 和2X 的分布列如
下.
（1）在A ，B 两个项目上各投资100万元，1Y 和2Y 分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求()1D Y 和()2D Y ；
（2）将x ()0100x ≤≤万元投资A 项目，100x -万元投资B 项目，()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差之和.求()f x 的最小值，并指出x 为何值时，()f x 取到最小值.
【解析】（1）15%1000.810%1000.26,EY =⨯⨯+⨯⨯=
221(5%1006)0.8(10%1006)0.24DY =⨯-⨯+⨯-⨯= 22%1000.28%1000.512%1000.38,
EY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2222(2%1008)0.2(8%1008)0.5(12%1008)0.312DY =⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=
（2）22
1212100100()(
)()()()()()100100100100
x x x x f x D Y D Y D Y D Y --=+=+
2222
22
44[3(100)](46003100)100100
x x x x =
+-=-+⨯, 当75x =时，()f x 取最小值3.
例7． 某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差。

某超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元。

根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系。

如果气温不低于30度，需求量为5000公斤；如果气温位于[)25,30，需求量为3500公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率．
（1）求今年9月份这种水果一天需求量X （单位：公斤）的分布列和数学期望；
【解析】解析：（1）今年9月份这种水果一天的需求量X 的可能取值为2000、3500、5000公斤，
()41420000.290P X +===，()36
35000.490P X ===， ()2115
50000.490
P X +==
= 于是X 的分布列为：
X 的数学期望为：20000.235000450000.44800EX =⨯+⨯+⨯=．
． （2）由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000公斤，至少为2000公斤，因此只需要考虑
20005000n ≤≤，
当35005000n ≤≤时，
若气温不低于30度，则4Y n =；
若气温位于[25,30)，则()3500435003245003Y n n =⨯--⨯=-； 若气温低于25度，则()2000420003140003Y n n =⨯--⨯=-；
此时()()2211
424500314000312600119005555
EY n n n n =⨯+⨯-+-=-≤
当20003500n ≤<时，
若气温不低于25度，则4Y n =；
若气温低于25度，则()2000420003140003Y n n =⨯--⨯=-；
此时()4113
4140003280011900555
EY n n n =⨯+-=+<；
所以3500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为11900．
例8． 长沙某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕.根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温（单位：C ）有关，如果最高气温不低于25C ，需求量为600桶；如果最高气温（单位：C ）位于区间[)20,25，需求量为400桶；如果最高气温低于20C ，需求量为200桶.为了确定今年九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求九月份这种冰激凌一天的需求量X （单位：桶）的分布列；
【解析】（1）由已知得，X 的可能取值为200，400，600，记六月份最高气温低于20为事件1A ，最高气温位于区间[20，25)为事件2A ，最高气温不低于25为事件3A ， 根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率， 可知123181362362
(200)(),(400)(),(600)()905905905
P X P A P X P A P X P A ===
=========， 故六月份这种冰激凌一天的需求量X （单位：桶）的分布列为：
（2）结合题意得当200n 时，()2400E Y n =， 当200400n <时，146
()[2002(200)(2)]2160(400,640]555
E Y n n n =⨯⨯+-⨯-+⨯⨯=+∈， 当400600n <时，
122
()[2002(200)(2)][4002(400)(2)]2555E Y n n n =⨯⨯+-⨯-+⨯⨯+-⨯-+⨯⨯
2
800[560,640)5
n =-+∈，
当600n >时，
122
()[2002(200)(2)][4002(400)(2)][6002(600)(2)]
555E Y n n n =⨯⨯+-⨯-+⨯⨯+-⨯-+⨯⨯+-⨯-17602560n =-<，
所以当400n =时，Y 的数学期望()E Y 取得最大值640．
例9． 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为
3
232010(0)3
q C q q q =-++>
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：
设123L L L ，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k ξ，表示当产量为q ，而市场前景无法确定的利润．
（I ）分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式； （II ）当产量q 确定时，求期望k E ξ；
（III ）试问产量q 取何值时，k E ξ取得最大值．
【解析】解:由题意可得
L 1=2
2(1643)(32010)3
q q q q q -⋅--++
101443
3-+-=q q (q ＞0).
同理可得108133
2-+-=q q L (q ＞0) 10503
3
3-+-=q q L (q ＞0)
4分
(Ⅰ) 解:由期望定义可知
3212.04.04.0L L L E ++=ξ
)10503
(2.0)10813(4.0)101443(4.03
33-+-⨯+-+-⨯+-+-⨯=q q q q q q .101003
3
-+-=q q (Ⅰ) 解:由(Ⅰ)可知ξE 是产量q 的函数,设
101003
)(3
-+-==q q E q f ξ(q ＞0) 得='+-=')(.100)(2
q f q q f 令0解得 10,10-==q q (舍去).
当0＜q ＜10时,()f q '＞0;当q ＞10时,()f q '＜0
可知,当q =10时, f (q )取得最大值,即ξE 最大时的产量q 为10.
例10．将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ，
()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.
（1）求(100)p ；
（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式；
（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.
【解析】（1）解：当100n =时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11， 所以恰好取到0的概率为11
(100);192p =
（2）,1929,1099
()3108,10099941107,10002014
n n n n F n n n n n ≤≤⎧⎪
-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩
（3）当*(19,),()0;n b b b N g n =≤≤∈=
当*10,(19,09,,),(),n k b k b k N b N g n k =+≤≤≤≤∈∈=
当1000,()11;n g n ==即**0,,19,,
(),10,19,09,,,
11,100
n
b b b N g n k n k b k b k N b N n ⎧=≤≤∈⎪==+≤≤≤≤∈∈⎨⎪=⎩同理有*0,18
,101,18,09,,,
()80,899820,99,100
n k n k b k b k N b N f n n n n ≤≤⎧⎪=+-≤≤≤≤∈∈⎪=⎨-≤≤⎪⎪=⎩
由()()()1,h n f n g n =-=可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,n =所以当100n ≤时，{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =,
当9n =时，(9)0,P =
当90n =时，(90)
9
1
(90)(90)17119g P F ===，
当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈时，()
(),()29209g n k
k
P n F n n k ===-+ 由,209k
y k =+关于k 单调递增，故当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈，()P n 最大值为8(89).169P = 又8
1
16919<，所以当n S ∈时，()P n 最大值为1
.19。