【沪科版】八年级数学上期中试卷(含答案)(1)

一、选择题
1．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
2．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
3．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ）
A ．()2,2
B ．(2,1)-
C ．()2,1-
D ．(2,1)-- 4．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12
DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
6．如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加一个条件使ABC DCB △△≌，下列添加的条件不能使ABC DCB △△≌的是（ ）
A ．A D ∠=∠
B ．AB D
C = C ．AC DB =
D ．ACB DBC ∠=∠ 7．已知如图，AC ⊥BC ，D
E ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）
A ．BD +ED ＝BC
B ．DE 平分∠ADB
C ．A
D 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD 8．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACD S :S 为( )
A ．5:4
B ．5:3
C ．4:3
D ．3:4 9．如图，直线//BC A
E ，CD AB ⊥于点D ，若150∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）
A ．60°
B ．50°
C ．40°
D ．30° 10．如图，在五边形ABCD
E 中，AB ∥CD ，∠A ＝135°，∠C ＝60°，∠D ＝150°，则∠E 的大
小为（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．75° 11．设四边形的内角和等于,a 五边形的外角和等于,b 则a 与b 的关系是（ ） A ．a b = B ．120a b =+
C ．180b a =+︒
D ．360b a =+︒ 12．如图，105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）
A ．75°
B ．60°
C ．55°
D ．50°
二、填空题
13．在△ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以A ，C 为圆心，以大于12
AC 的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．
请回答：若BC=DC ，∠B=100°，则∠ACB 的度数为____． 14．如图，∠ABC=∠DCB ，要使△ABC ≌△DCB ，还需要补充一个条件：___．（一个即可）
15．如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点O ．若AB AC =，AD AE =，60A ∠=︒，80ADC ∠=︒，则B 的度数为______．
16．已知，点()1,3A a -与点()2,21B b --关于x 轴对称，则2a b +___________． 17．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．
18．如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得30ACB ∠=︒，则这个正多边形的边数是_________．
19．如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，过点C 作CD ∥OB 交∠AOB 的平分线OE 于点F ，作CH ⊥OB 交BO 的延长线于点H ，若∠EFD ＝α，现有以下结论：①∠COF ＝α；②∠AOH ＝180°﹣2α；③CH ⊥CD ；④∠OCH ＝2α﹣90°．其中正确的是__（填序号）．
20．如图，若//AB CD ，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，90BED ∠=，则BFD ∠=______．
三、解答题
21．已知：90,A D AB DC ︒∠=∠==，点,E F 在直线BC 上，位置如图所示，且BE CF =．
（1）求证：AF DE =；
（2）若PO 平分EPF ∠，求证：PO 垂直平分线段BC ．
22．在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．
（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．
（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．
①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
23．已知ACE △和DBF 中，AE FD =，//AE FD ，AB DC =，请判断CE 与BF 的位置关系，并说明理由．
24．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为AC 的中点，连接DE 并延长，交BC 于点F ．
（1）求证：DE EF =．
（2）若12AD =，:2:3BF CF =，求BC 的长．
25．如图，在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，ABC 的外角CBD ∠的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．
（1）求CBE ∠的度数；
（2）过点D 作//DF BE ，交AC 的延长线于点F ，求F ∠的度数．
26．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．
（1）比较a ，b ，c 的大小；
（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
点D 到点A 、点B 的距离相等可知点D 在线段AB 的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】
解：∵点D 到点A 、点B 的距离AD=BD ，
∴点D 在线段AB 的垂直平分线上，
故选择：D ．
【点睛】
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图． 2．C
解析：C
【分析】
根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC，在Rt△ABC中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB，再用线段的差求AD．【详解】
解：Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
CD是斜边AB上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD＝4，
同理，AB=2BC=8，
AD=AB-BD=8-2=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．
3．C
解析：C
【分析】
根据点A，点A'坐标可得点A，点A'关于y轴对称，即可求点B'坐标．
【详解】
解：∵将线段AB沿坐标轴翻折后，点A（1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3），
∴线段AB沿y轴翻折，
∴点B关于y轴对称点B'坐标为（-2，1）
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．
4．C
解析：C
【分析】
分三种情况：当AB=AC时，当BA=BC时，当AC=AB时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．
【详解】
当AB=AC时，点C与点O重合；
当BA=BC时，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与x轴有两个交点；
当AC=AB时，作线段AB的垂直平分线，与x轴有一个交点，
共有4个点C，
故选：C．
．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S△ABE+S△CDF=S△ACD，即可得出答案．
【详解】
∵∠BED=∠CFD=∠BAC，∠BED=∠BAE+∠ABE，
∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
ABE CAF
AB AC
BAE FCA ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴S△ABE=S△ACF，
∴阴影部分的面积为S△ABE+S△CDF=S△ACD，
∵S△ABC=30，BD=1
2
DC，
∴S△ACD=20，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
6．C
解析：C
【分析】
根据全等三角形的判定与性质综合分析即可；
【详解】
在ABC 和DCB 中，A D ABC DCB BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，故ABC DCB △△≌，A 不符合题意；
在ABC 和DCB 中，AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，故ABC DCB △△≌，B 不符合题意；
只有AC=BD ，BC=CB ，ABC DCB ∠=∠，不符合全等三角形的判定，故C 符合题意；
在ABC 和DCB 中，ACB DBC CB BC ABC DCB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，故ABC DCB △△≌，D 不符合题意；
故答案选C ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE ＝DC ，然后利用AAS 证明△ACD ≌△AED ，再对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】
解：∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，
∴DE ＝DC ，
A 、BD +ED ＝BD +DC ＝BC ，故本选项正确；
在△ACD 与△AED 中，90DAC DAE ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△AED （AAS ），
∴∠ADC ＝∠ADE ，
∴AD 平分∠EDC ，故C 选项正确；
但∠ADE 与∠BDE 不一定相等，故B 选项错误；
D 、∵△ACD ≌△AED ，
∴AE ＝AC ，
∴ED +AC ＝ED +AE ＞AD （三角形任意两边之和大于第三边），故本选项正确． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，证明
ACD AED △≌△是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
过D 作DF AB ⊥于F ，根据角平分线的性质得出DF ＝DC ，再根据三角形的面积公式求出ABD 和ACD 的面积，最后求出答案即可.
【详解】
解：过D 点作DF AB ⊥于F ,
∵AD 平分CAB ∠，C 90∠=（即AC BC ⊥），
∴DF CD =，
设DF CD R ==，
在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=， ∴22AB 5AC BC =+=， ∴ABD 115S
AB DF 5R R 222=⨯⨯=⨯⨯=，ACD 113S AC CD 3R R 222=⨯⨯=⨯⨯=， ∴ABD ACD 5S :S R 2⎛⎫= ⎪⎝⎭：3R 5:32⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 故选：B.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DF ＝CD 是解此题的关键.
9．C
解析：C
【分析】
先依据平行线的性质可求得∠ABC 的度数，然后在直角三角形CBD 中可求得∠BCD 的度数．
【详解】
解：∵//BC AE ，150∠=︒，
∴∠1=∠ABC=50°．
∵CD AB ⊥于点D ，
∴∠CDB=90°．
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．
∴∠BCD=40°．
故选：C ．
本题主要考查平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
先根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和，根据AB ∥CD 得到∠B+∠C=180°，即可求出∠E 的大小．
【详解】
解：由五边形的内角和公式得（5-2）×180°=540°，
∵AB ∥CD ，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠E=540°-∠A-∠B-∠C-∠D=540°-135°-180°-150°=75°．
故选：D
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
11．A
解析：A
【分析】
根据多边形的内角和定理与多边形外角和即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形的内角和等于a ，
∴a=（4-2）•180°=360°．
∵五边形的外角和等于b ，
∴b=360°，
∴a=b ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键． 12．D
解析：D
【分析】
根据邻补角的定义可求得ABC ∠和ACB ∠，再根据三角形内角和为180°即可求出A ∠．
【详解】
解：
105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，
18010575ABC ∴∠=︒-︒=︒，
18012555ACB ∠=︒-︒=︒．
180755550A ∴∠=︒-︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查了邻补角和三角形内角和定理，识记三角形内角和为180°是解题的关键．
二、填空题
13．30°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠BDC的度数再根据线段垂直平分线的性质即可得出∠A的度数进而得到∠ACB的度数【详解】解：根据题意如图：∵BC=DC∠ABC=100°∴∠BDC=∠CBD
解析：30°
【分析】
依据等腰三角形的性质，即可得到∠BDC的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得出∠A的度数，进而得到∠ACB的度数．
【详解】
解：根据题意，如图：
∵BC=DC，∠ABC=100°，
∴∠BDC=∠CBD=180°-100°=80°，
根据题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A，
∴∠A=1(18080)50
⨯︒-︒=︒，
2
∴∠ACB=∠CBD-∠A=80°-50°=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
14．AB=CD（或∠A=∠D或∠ACB=∠DBC）【分析】根据已知条件：两个三角形已经具备∠ABC=∠DCB及公共边BC再添加任意一组角或是AB=CD即可【详解】∵∠ABC=∠DCBBC=CB∴当AB=
解析：AB=CD（或∠A=∠D或∠ACB=∠DBC）
【分析】
根据已知条件：两个三角形已经具备∠ABC=∠DCB 及公共边BC ，再添加任意一组角，或是AB=CD 即可．
【详解】
∵∠ABC=∠DCB ，BC=CB ，
∴当AB=CD 时，利用SAS 证明△ABC ≌△DCB ；
当∠A=∠D 时，利用AAS 证明△ABC ≌△DCB ；
当∠ACB=∠DBC 时，利用ASA 证明△ABC ≌△DCB ，
故答案为：AB=CD （或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC ）．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 15．40°【分析】由全等三角形的判定证得△ABE ≌△ACD （SAS ）由全等三角形的性质可得∠B ＝∠C 根据三角形内角和定理求出∠C 继而即可求解【详解】在△ABE 和△ACD 中∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴
解析：40°
【分析】
由全等三角形的判定证得△ABE ≌△ACD （SAS ），由全等三角形的性质可得∠B ＝∠C ，根据三角形内角和定理求出∠C ，继而即可求解．
【详解】
在△ABE 和△ACD 中，
AB AC AD AE A A ==∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩
∴△ABE ≌△ACD （SAS ）
∴∠B ＝∠C
∵60A ∠=︒，80ADC ∠=︒，
∴∠C ＝180°－∠A －∠ADC ＝40°，
∴∠B=40°
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质证得∠B ＝∠C ．
16．7【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数列方程求解即可【详解】解：∵点A （a-13）与点B （2-2b-1）关于x 轴对称∴a-1=2-2b-1=-3解得a=3b=1∴=2×3+1=7故
解析：7
【分析】
根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可．
【详解】
解：∵点A （a-1，3）与点B （2，-2b-1）关于x 轴对称，
∴a-1=2，-2b-1=-3，
解得a=3，b=1，
∴2a b +=2×3+1=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
17．【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=4然后由
S △ABC=S △ABD+S △ACD 及三角形的面积公式得出结果【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线DE ⊥ABDF ⊥AC ∴DF=DE=4又∵S △ABC
解析：【分析】
首先由角平分线的性质可知DF=DE=4，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．
【详解】
解：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DF=DE=4．
又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，AB=8， ∴12×8×4+ 12
×AC×4=28， ∴AC=6．
故答案是：6．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的长是一种很好的方法，要注意掌握应用．
18．12【分析】根据瓷片为正多边形及可知正多边形的外角为进而可求得正多边形的边数【详解】如图延长BC 可知∠1为正多边形的外角∵瓷片为正多边形∴AD=DB=BC ∠ADB=∠DBC ∴四边形ACBD 为等腰梯形
解析：12
【分析】
根据瓷片为正多边形及=30ACB ∠︒，可知正多边形的外角为30︒，进而可求得正多边形的边数．
【详解】
如图，延长BC ，可知∠1为正多边形的外角，
∵瓷片为正多边形，
∴AD=DB=BC ，∠ADB=∠DBC ，
∴四边形ACBD 为等腰梯形，
∴BD ∥AC ，
∴∠1==30ACB ∠︒，
∴正多边形的边数为：
360=1230︒︒
， 故答案为：12．
【点睛】
本题考查正多边形的外角和，掌握相关知识点是解题的关键． 19．①②③④【分析】分别根据平行线的性质角平分线的定义邻补角的定义直角三角形两锐角互余进行判断即可得出结论【详解】解：∵CD ∥OB ∠EFD ＝α∴∠EOB ＝∠EFD ＝α∵OE 平分∠AOB ∴∠COF ＝∠EO
解析：①②③④
【分析】
分别根据平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，直角三角形两锐角互余进行判断即可得出结论．
【详解】
解：∵CD ∥OB ，∠EFD ＝α，
∴∠EOB ＝∠EFD ＝α，
∵OE 平分∠AOB ，
∴∠COF ＝∠EOB ＝α，故①正确；
∠AOB ＝2α，
∵∠AOB +∠AOH ＝180°，
∴∠AOH ＝180°﹣2α，故②正确；
∵CD ∥OB ，CH ⊥OB ，
∴CH ⊥CD ，故③正确；
∴∠HCO +∠HOC ＝90°，∠AOB +∠HOC ＝180°，
∴∠OCH ＝2α﹣90°，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，直角三角形两锐角互余等知
识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
20．45°【分析】如图作射线BF与射线BE根据平行线的性质和三角形的外角性质可得∠ABE+∠EDC＝90°然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质即可求出答案【详解】解：如图作射线BF与射线BE∵AB∥
解析：45°
【分析】
如图，作射线BF与射线BE，根据平行线的性质和三角形的外角性质可得∠ABE+∠EDC＝90°，然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质即可求出答案．
【详解】
解：如图，作射线BF与射线BE，∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，
∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠1+∠3＝1
2∠ABE+1
2
∠EDC＝45°，
∵∠5＝∠2+∠3，
∴∠5＝∠1+∠3＝45°，即∠BFD＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形的外角性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
(1)根据已知条件证明Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)即可得出结论；
(2)根据Rt△ABF≌Rt△DCE可得出∠E=∠F，即△PEF为等腰三角形，又因为PO平分
∠EPF，根据三线合一可知PO垂直平分EF，从而得出PO垂直平分BC．
【详解】
（1）证明:∵BE=CF，BC=CB
∴BF=CE，
在Rt△ABF与Rt△DCE中，
BF CE AB DC =⎧⎨=⎩
∴Rt △ABF ≌Rt △DCE(HL)，∴AF=DE ；
（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE ，
∴∠E=∠F
∴△PEF 为等腰三角形,
又∵PO 平分∠EPF
∴PO ⊥BC(三线合一)，EO=FO(三线合一)
又∵EB=FC
∴BO=CO ，∴PO 垂直平分线段BC.
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定及性质、垂直平分线的判定、等腰三角形的性质，角平分线的性质，难度不大，但综合性较强，考验了学生综合分析问题的能力. 22．（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；
②由“SAS”可证△ADB ≌△AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
（1）∵AB=AC ，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC ，
∴∠BAD=∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
（2）①180αβ+=︒．
理由：∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ．
即∠BAD=∠CAE ．
在△ABD 与△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠B=∠ACE ．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．
∵∠ACE+∠ACB=β，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．
理由如下：
∵DAE BAC ∠=∠，
∴DAB EAC ∠=∠，
在△ABD 与△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△≌△ADB AEC
(SAS)， ∴ABD ACE ∠=∠，
∵ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，
∴BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，
∴BAC BCE ∠=∠，即αβ=．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明△ABD ≌△ACE 是解本题的关键．
23．见详解
【分析】
先证明ACE △≅DBF ，从而得∠DBF=∠ACE ，进而即可得到结论．
【详解】
∵AB DC =，
∴+AB BC DC BC =+，即：AC=DB ，
∵//AE FD ，
∴∠A=∠D ，
又∵AE FD =，
∴ACE △≅DBF （SAS ），
∴∠DBF=∠ACE ，
∴CE ∥BF ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及平行线的判定和性质定理，熟练掌握SAS 证明三角形全等，是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）20
【分析】
（1）根据平行线的性质可得：EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠，继而根据全等三角形的判定证得()ADE CFE AAS ≅△△，继而即可求证结论；
（2）由全等三角形的性质可得：12AD CF ==，求得8BF =，继而即可求解．
【详解】
（1）证明：∵//AD BC ，
∴EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠．
∵E 为AC 的中点，
∴AE CE =．
在ADE 和CFE 中，,,,EAD ECF EDA EFC AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ADE CFE AAS ≅△△．
∴DE EF =．
（2）解：∵
ADE CFE ≅，
∴12AD CF ==．
∵:2:3BF CF =，
∴8BF =，
∴81220BC BF CF =+=+=．
【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和性质．
25．（1）55CBE ∠=︒；（2）25F ∠=︒．
【分析】
(1)利用三角形的外角性质和角的平分线性质求解即可；
(2)根据三角形外角的性质和两直线平行，同位角相等求解.
【详解】
（1）在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，
3080110CBD A ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， BE 是CBD ∠的平分线，
111105522
CBE CBD ∴∠=∠=⨯︒=︒； （2）80ACB ∠=︒，55CBE ∠=︒，
805525CEB ACB CBE ∴∠=∠--︒∠=︒=︒，
//
DF BE，
∴∠=∠=︒.
25
F CEB
【点睛】
本题考查了运用三角形外角性质，角平分线性质，平行线的性质求角的度数，熟练并灵活运用这些性质是解题的关键.
26．（1）a＞b＞c；（2）见解析
【分析】
（1）a、b、c两两作差可得出a、b、c之间的大小关系；
（2）对于任意一个三角形的三边a，b，c，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】
（1）∵a-b=m2+n2-m2=n2＞0；
a-c=m2+n2-mn=（m-n）2+mn＞0；
b-c= m2-mn=m（m-n）＞0
∴a＞b＞c；
（2）由（1）a＞b＞c可得，a+b＞c
∵a-b= m2+n2-m2=n2＜mn
∴a-b＜c
∴以a、b、c为边长的三角形一定存在．
【点睛】
本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在．。