2016届高考数学课时限时检测(20)函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用

课时限时检测(二十) 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型
的应用
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象可将函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上的所有点
( )
A ．向右平移π
6个长度单位
B ．向左平移π
6个长度单位
C ．向右平移π
3个长度单位
D ．向左平移π
3个长度单位
【答案】 C
2.(2013·山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π
8个单位后，得到一
个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.
3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4
【答案】 B
3．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )的图像的一部分如图3－4－7所示，其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，为了得到函数f (x )的图像，只要将函数g (x )＝2cos 2x 2－2sin 2x 2(x ∈R )的图
像上所有的点( )
图3－4－7
A ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变
B ．向右平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变
D ．向左平移π
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】 C
4．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π
2
)，y ＝f (x )的部分图象如图3－4－
8，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π24＝( ) 图3－4－8
A ．2＋ 3 B. 3 C.3
3
D.2－ 3 【答案】 B
5．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图
象如图3－4－9所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )
图3－4－9
A ．－
32 B.－6
2
C. 3
D.－ 3 【答案】 D
6．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图3－4－10所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为( )
图3－4－10
A ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6
B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
60t －π6
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
30t ＋π6
D.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
30
t －π3
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π4＝________.
【答案】 0
8．已知f (x )＝cos(2x ＋φ)，其中φ∈[0,2π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则φ＝________.
【答案】
π2
9．若将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω＞0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．
【答案】 74
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10)已知函数f (x )＝2cos 2
x ＋23sin x cos x －1. (1)求f (x )的周期和单调递增区间；
(2)说明f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样变化得到． 【解】 (1)f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6，
f (x )最小正周期为π，
由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
可得k π－π3≤x ≤k π＋π
6(k ∈Z )，
所以，函数f (x )的单调递增区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．
(2)将y ＝sin x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，将所得图象向左平移π12个
单位，再将所得的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到f (x )的图象．
11．(12分)设x ∈R ，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32
.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )＞
2
2
，求x 的取值范围． 【解】 (1)∵函数f (x )的最小正周期T ＝2π
ω
＝π，
∴ω＝2，
∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，
且－π2＜φ＜0，∴φ＝－π
3
.
(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：
(3)∵f (x )＞
22，即cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3＞22， ∴2k π－π4＜2x －π3＜2k π＋π
4，k ∈Z ，
则2k π＋π12＜2x ＜2k π＋7
12π，k ∈Z ，
即k π＋π24＜x ＜k π＋7
24
π，k ∈Z .
∴x 的取值范围是⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫k π＋π24＜x ＜k π＋7
24π，k ∈Z .
12．(13分)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为
π
2
. (1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π
6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到
原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．
【解】 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤32
ωx ＋φ
－12
ωx ＋φ
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6.
∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6是偶函数， ∴φ－π6＝k π＋π
2，k ∈Z .
又0＜φ＜π，∴φ－π6＝π
2.
∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π
2，所以ω＝2.故f (x )＝2cos 2x .
因此f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.
(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横
坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 4－π6的图象．
所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π
3
≤2k π＋π(k ∈Z )，
即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π
3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．
因此g (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．。