(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第五单元《分式与分式方程》测试题(含答案解析)(4)

一、选择题
1．已知112a b -=，则a b ab
-的值是（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12
- 2．为做好校园卫生防控，某校计划购买甲乙两种品牌的消毒液．乙品牌消毒液每桶的价格比甲品牌消毒液每桶价格的2倍少25元，已知用1200元购买甲品牌的数量与用1900元购买乙品牌的数量相同．设甲品牌消毒液每桶的价格是x 元，根据题意可列方程为（ ） A ．12001900225x x =- B ．12001900225x x =+ C ．12001900225x x =- D ．12001900225x x
=+ 3．若关于x 的不等式组52+11{231
x x a >-<（）无解，且关于y 的分式方程34122y a y y ++=--有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ）
A ．8
B ．10
C ．16
D ．18
4．定义：若两个分式的和为n （n 为正整数），则称这两个分式互为“n 阶分式”．例如，分式31x +与31x x
+互为“3阶分式”．设正数x ，y 互为倒数，则分式22x x y +与22y y x +互为（ ） A ．二阶分式
B ．三阶分式
C ．四阶分式
D ．六阶分式 5．在一只不透明的口袋中放入5个红球，4个黑球，n 个黄球，这些球除颜色不同外，其他无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个球恰好是黄球的概率为
25
，则放入口袋中的黄球的个数n 是（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 6．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102
x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9- B ．8-
C ．7-
D ．6- 7．已知x 为整数，且分式
2221x x --的值为整数，满足条件的整数x 可能是（ ） A ．0、1、2
B ．﹣1、﹣2、﹣3
C ．0、﹣2、﹣3
D ．0、﹣1、﹣2 8．若关于x 的方程
121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >- B ．1m ≠ C ．1m D ．1m >-且1m ≠ 9．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为1a ，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为2a ，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为
()3,,1a n ⋅⋅⋅+条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为n a ，若
121111011111
n a a a ++⋅⋅⋅+=---，则n =（ ） A ．10
B ．11
C ．20
D ．21 10．若使分式
2x x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．0x = C ．1x ≠- D ．2x = 11．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元车费．设原来参加游览的学生共x 人．则所列方程是（ ）
A ．
18018032x x -=- B ．18018032x x -=+ C ．18018032x x -=- D ．18018032
x x -=+ 12．若分式211
a a +-的值等于0，则a 的值为（ ） A ．±1 B ．0 C ．1- D ．无解
二、填空题
13．已知234
a b c ==（0abc ≠，a b c +≠），则=+a b c a b c -+-_____． 14．计算：22112a a a a a
--÷+=____． 15．世界上最小、最轻的昆虫其质量只有0.000005用科学记数法表示0.000005是______克．
16．
如果2y =，那么y x =_______________________．
17．已知x a y b =⎧⎨=⎩
，是方程352x y -=的解，则代数式352a b +的值为______． 18．当x _______时，分式
22x x -的值为负． 19．如果方程322x m x x
-=-- 无解，则m=___________． 20．为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x 元，根据题意列方程为____．
三、解答题
21．甲、乙两人做某种机器零件，每小时乙比甲多做8个．已知甲做240个零件的时间与乙做300个零件的时间相同，求甲、乙每小时各做多少个零件．
22．解方程：21113x x x
++=． 23．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手并肩，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款10万元，乙公司共捐款14万元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A ，B 两种物资，A 种物资每箱1.5万元，B 种物资每箱1.2万元，若购买B 种物资不少于5箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A ，B 两种物资均需购买，并按整箱配送）
24．先化简，再求值：2111224x x x -⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭
，其中3x =． 25．解方程 （1）
2231022x x x x -=+- （2）
31523x-162x -=- （3）
25231x x x x +=++ （4）5
52252x x =-+ 26．列分式方程解应用题：
2020年玉林市倡导市民积极参与垃圾分类，某小区购进A 型和B 型两种分类垃圾桶，购买A 型垃圾桶花费了2500元，购买B 型垃圾桶花费了2000元，且购买A 型垃圾桶数量是购买B 型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B 型垃圾桶比购买一个A 型垃圾桶多花30元，求购买一个A 型垃圾桶、一个B 型垃圾桶各需多少元？
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：∵
112a b -=， ∴2b a ab
-=， ∴原式＝﹣2，
故选：B ．
【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 2．A
解析：A
【分析】
设甲品牌消毒液每桶的价格是x 元，乙品牌消毒液每桶的价格(2x-25)元，根据题意列方程即可
【详解】
解：设甲品牌消毒液每桶的价格是x 元，乙品牌消毒液每桶的价格(2x-25)元，根据用1200元购买甲品牌的数量与用1900元购买乙品牌的数量相同列方程得．
12001900225
x x =-， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题关键是理清数量关系，找对等量关系列方程． 3．C
解析：C
【分析】
先由不等式组无解，求解8,a ≤ 再求解分式方程的解2,2
a y +=由方程的解为非负整数，求解2a ≥-且2,a ≠ 再逐一确定a 的值，从而可得答案．
【详解】 解：52+11{231x x a >-<（）①②
由①得：25x +＞11， x ＞3，
由②得：3x ＜1a +， x ＜1,3
a +
关于x的不等式组
5
2+11
{2
31
x
x a
>
-<
（）
无解，
1+
3,
3
a
∴≤
19,
a
∴+≤
8,
a
∴≤
34
1
22
y a
y y
+
+=
--
，
()
342,
y a y
∴-+=-
2
,
2
a
y
+
∴=
20,
y-≠
2
2,
2
a+
∴≠
2,
a
∴≠
关于y的分式方程
34
1
22
y a
y y
+
+=
--
有非负整数解，
2
0,
2
a+
∴≥
2,
a
∴≥-
2
2
a+
为整数，
2
a
∴=-或0
a=或4
a=或6
a=或8.
a=
2046816.
∴-++++=
故选：.C
【点睛】
本题考查的由不等式组无解求解字母系数的范围，分式方程的非负整数解，掌握以上知识是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据题意得出xy＝1，可以用
1
x
表示y，代入
2
2x
x y
+
+2
2y
y x
+
，计算结果为2即可．
【详解】
由题意得：xy＝1，则y＝
1
x
，
把 y ＝1x ，代入22x x y ++22y y x +，得： 原式＝221x x x ++221x x x
+＝3321x x ++321x +＝2 ∴22x x y +与2
2y y x +互为“2阶分式”， 故选A ．
【点睛】
本题是一道新定义型题目，主要考查分式的相关计算，有一定难度，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
根据摸到黄球的概率已知列式计算即可；
【详解】 由题可得：2545
n
n =++， 解得：6n =；
经检验，6n =是原方程的根，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了概率的求解，准确计算是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】 先根据方程3211m x x =---有非负实数解，求得5m ≥-，由不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩
有解求得3m ≤，得到m 的取值范围53m -≤≤，再根据10x -≠得3m ≠-，写出所有整数解计算其和即可．
【详解】 解：3211
m x x =--- 解得：52
m x +=， ∵方程有非负实数解， ∴0x ≥即
502m +≥，
得5m ≥-；
∵不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩
有解， ∴12x m -≤≤-，
∴21m -≥-，
得3m ≤，
∴53m -≤≤，
∵10x -≠，即
502
m +≠， ∴3m ≠-，
∴满足条件的所有整数m 为：-5，-4，-2，-1,0,1,2,3，
其和为：-6，
故选：D ．
【点睛】
此题考查利用分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解的情况求参数，正确掌握方程及不等式组的解的情况确定m 的取值范围是解题的关键． 7．C
解析：C
【分析】
根据分式有意义的条件得到x ≠±1，把分式化简，根据题意解答即可．
【详解】
解：由题意得，x 2﹣1≠0，
解得，x ≠±1，
2221x x --＝2(1)(1)(1)x x x -+-＝21
x +， 当
21
x +为整数时，x ＝﹣3、﹣2、0、1， ∵x ≠1， ∴满足条件的整数x 可能是0、﹣2、﹣3，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是求分式的值、分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键． 8．D
解析：D
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出解，由解为正数确定出m 的范围即可．
【详解】
去分母得：m-1=2x-2，
解得：x=12
+m ， 由方程的解为正数，得到
12+m ＞0，且12+m ≠1， 解得：1m >-且1m ≠，
故答案为：1m >-且1m ≠
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．C
解析：C
【分析】
根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可解题．
【详解】
根据题意得，
2条直线最多将平面分成4个区域1=4a ，
3条直线最多将平面分成7个区域2=7a ，
4条直线最多将平面分成11个区域3=11a ，
5条直线最多将平面分成16个区域4=16
a
则11=3=1+2a -， 21=6=1+2+3a -，
31=10=1+2+3+4a -，
41=15=1+2+3+4+5
a - 1=1+2+3+4+51n a n ∴-++
12111111n a a a ∴
++⋅⋅⋅+--- 111=1+21+2+31+2+3++(n+1)++⋅⋅⋅+ 111=(1+2)2(1+3)3(1+n+1)(n+1)222
++⋅⋅⋅+⨯⨯
11122334(1)(2)n n ⎡⎤=+++⎢⎥⨯⨯++⎣
⎦ 11111122334
12n n ⎡⎤=-+-++
-⎢⎥++⎣⎦ 11222n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦
2
n n =+ 121111011111
n a a a ++⋅⋅⋅+=--- 10211n n ∴=+ 2101211n ∴-
=+ 21211
n ∴=+ 222n ∴+=
20n ∴=
经检验n=20是原方程的根
故选：C ．
【点睛】
本题考查相交线，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据分式有意义分母不为零即可得答案．
【详解】
∵分式
2
x x -有意义， ∴x-2≠0，
解得：x≠2．
故选：A ．
【点睛】 本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
11．D
解析：D
【分析】 设原来参加游览的学生共x 人，增加2人后的人数为（x+2）人，用租价180元除以人数，根据后来每名同学比原来少分摊3元车费列方程．
【详解】
设原来参加游览的学生共x 人，由题意得
18018032
x x -=+， 故选：D ．
【点睛】
此题考查分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
根据分式的值为零的意义具体计算即可.
【详解】
∵分式211
a a +-的值等于0， ∴21a +=0，
∵21a +≥1＞0，
∴21a +=0是不可能的，
∴无解，
故选D.
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件,熟记基本条件和实数的非负性是解题的关键.
二、填空题
13．3【分析】设=k 用k 表示出abc 的值代入代数式计算化简即可【详解】设=k 则a=2kb=3kc=4k ∴故答案为：3【点睛】此题考查分式的化简求值设设=k 用k 表示出abc 的值是解题的关键
解析：3
【分析】 设
234
a b c ===k ，用k 表示出a 、b 、c 的值，代入代数式计算化简即可． 【详解】 设
234a b c ===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ， ∴2343=3+234a b c k k k k a b c k k k k
-+-+==-+-， 故答案为：3．
【点睛】 此题考查分式的化简求值，设设234
a b c ===k ，用k 表示出a 、b 、c 的值是解题的关键． 14．【分析】根据分式除法法则先将除法转化为乘法再运用分式的乘法法则进行计算即可得出结果【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了分式的除法运算掌握分式的乘除法的关系及运算法则是解题的关键 解析：12a a ++
【分析】
根据分式除法法则先将除法转化为乘法，再运用分式的乘法法则进行计算，即可得出结果．
【详解】 解：22112a a a a a
--÷+ ()()()a 1a 1a a a 2a 1
+-=⋅+- 12
a a +=+ 故答案为：
12a a ++ 【点睛】
本题考查了分式的除法运算，掌握分式的乘、除法的关系及运算法则是解题的关键． 15．5×10-6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10-n 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：
解析：5×10-6．
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.000005=5×10-6，
故答案是：5×10-6．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16．【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x 进而可得y 的值然后把xy 的值代入所求式子计算即可【详解】解：∵x －3≥03－x≥0∴x=3∴y=﹣2∴故答案为：【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和负整 解析：19
【分析】
根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵x －3≥0，3－x ≥0，∴x =3，
∴y =﹣2， ∴2139
y x -==． 故答案为：
19． 【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
17．1【分析】将代入方程有代入即可计算【详解】解：将代入方程有3a-5b=2有将代入有：故答案为：1【点睛】本题考查了二元一次方程的解及分式的化简其中根据二元一次方程得到从而使用整体代入思想解题是关键
解析：1
【分析】
将x a y b
=⎧⎨=⎩，代入方程352x y -=，有253b a +=，代入352a b +即可计算． 【详解】 解：将x a y b =⎧⎨=⎩
，代入方程352x y -=，有3a -5b =2，有352a b =+， 将352a b =+代入
352a b +有：52152b b +=+ 故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解及分式的化简，其中根据二元一次方程得到352a b =+从而使用整体代入思想解题是关键．
18．且【分析】分式有意义x2≠0分式的值为负数只有分子x-2＜0由此求x 的取值范围【详解】解：依题意得解得x ＜2且x≠0故答案为：x ＜2且x≠0【点睛】本题考查了分式的值求分式的值必须同时满足分母不为0
解析：2x <且0x ≠
【分析】
分式有意义，x 2≠0，分式的值为负数，只有分子x-2＜0，由此求x 的取值范围．
【详解】
解：依题意，得2200x x -<⎧⎨≠⎩
解得x ＜2且x≠0，
故答案为：x ＜2且x≠0．
【点睛】
本题考查了分式的值．求分式的值，必须同时满足分母不为0．
19．1【分析】先去分母把分式方程转化为整式方程再根据原方程无解可得x=2然后把x=2代入整式方程求解即可【详解】解：去分母得x－3=﹣m∵原方程无解∴x－2=0即x=2把x=2代入上式得2－3=﹣m所以
解析：1
【分析】
先去分母把分式方程转化为整式方程，再根据原方程无解可得x=2，然后把x=2代入整式方程求解即可．
【详解】
解：去分母，得x－3=﹣m，
∵原方程无解，
∴x－2=0，即x=2，
把x=2代入上式，得2－3=﹣m，所以m=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了分式方程的无解问题，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．
20．【分析】设文学类图书平均价格为元/本则科普类图书平均价格为元/本根据数量=总价÷单价结合用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本即可得出关于的分式方程【详解】设文学
解析：1200012000
100
1.2
x x
=+
【分析】
设文学类图书平均价格为x元/本，则科普类图书平均价格为1.2x元/本，根据数量=总价÷单价结合用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，即可得出关于x的分式方程．
【详解】
设文学类图书平均价格为x元/本，则科普类图书平均价格为1.2x元/本，
依题意得：1200012000
100
1.2
x x
=+．
故答案为：1200012000
100
1.2
x x
=+．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
三、解答题
21．甲每小时做32个零件，乙每小时做40个零件．
【分析】
设甲每小时做x个零件，乙每小时做（x+8）个零件，根据“甲做240个零件的时间=乙做300个零件的时间”列出方程求解即可．
【详解】
解：设甲每小时做x 个零件，乙每小时做（x+8）个零件， 由题意可得：
2403008
x x =+， 解得：x =32，
经检验，x =32是原方程的解，
∴x +8=40（个），
答：甲每小时做32个零件，乙每小时做40个零件．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找出正确的数量关系是本题的关键． 22．43
x =- 【分析】
先去分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程并验根即可．
【详解】
解：去分母得：3(21)13x x ++=，
去括号得：6313x x ++=，
移项合并同类项得：34x =-，
系数化为1得：43x =-
． 经检验43x =-
是该方程的根． 【点睛】
本题考查解分式方程．注意解分式方程一定要验根．
23．（1）甲公司有150人，乙公司有180人；（2）有3种购买方案：购买12箱A 种物资、5箱B 种物资或购买8箱A 种物资，10箱B 种物资或购买4箱A 种物资，15箱B 种物资
【分析】
（1）设乙公司有x 人，则甲公司有(30)x -人，根据对话，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A 种防疫物资m 箱，购买B 种防疫物资n 箱，根据甲公司共捐款10万元，公司共捐款14万元，列出方程，求解出4165
m n =-
，根据整数解，约束出m 、n 的值，即可得出方案．
【详解】
解：（1）设乙公司有x 人，则甲公司有()30x -人， 由題意，得
10714306x x
⨯=- 解得180x =．
经检验，180x =是原方程的解，
30150x -=，
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）设购买A 种物资n 箱，购买B 种物资n 箱，
由题得1.5 1.21014m n +=+， 整理，得4165
m n =-
又5n ≥，且m ，n 为正整数， 11125m n =⎧∴⎨=⎩ 22810m n =⎧⎨=⎩ 33
415m n =⎧⎨=⎩ 答：有3种购买方案：购买12箱A 种物资、5箱B 种物资或购买8箱A 种物资，10箱B 种物资或购买4箱A 种物资，15箱B 种物资．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、方案问题、二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
24．
21x +，12
． 【分析】 先把括号里的式子通分进行减法计算，再把除法转化成乘法进行计算，最后把x 的值代入计算即可．
【详解】 解：原式()()()22221241222111
1x x x x x x x x x x --+--=⋅=⋅=---++-， 当3x =时，原式2112
x =
=+． 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
25．（1）4x =；（2）10=
9x ；（3）无解；（4）356
x =- 【分析】
（1）解分式方程，先去分母，将分式方程变形为整式方程，然后去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，最后对结果进行检验确定原方程的解；
（2）解分式方程，先去分母，将分式方程变形为整式方程，然后去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，最后对结果进行检验确定原方程的解；
（3）解分式方程，先去分母，将分式方程变形为整式方程，然后去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，最后对结果进行检验确定原方程的解；
（4）解分式方程，先去分母，将分式方程变形为整式方程，然后去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，最后对结果进行检验确定原方程的解；
【详解】
解：（1）
2231022x x x x -=+- 整理，得：310(2)(2)
x x x x -=+- 方程两边同乘(2)(2)x x x +-得：3(2)(2)0x x --+=
去括号，得：3620x x ---=
移项，合并同类项，得：28x =
系数化1，得：4x =
经检验：4x =是原方程的解
∴原分式方程的解为：4x =
（2） 31523x-162
x -=- 整理，得：
3152312(31)x x -=-- 方程两边同乘2(31)x -得：()33125x --=
去括号，得：9325x --=
移项，合并同类项，得：9=10x
系数化1，得：10=
9x 经检验：10=9
x 是原方程的解 ∴原分式方程的解为：10=
9x （3）25231
x x x x +=++ 整理，得：523(1)1
x x x x +=++ 方程两边同乘(1)x x +得：523x x +=
移项，合并同类项，得：22x =-
系数化1，得：1x =-
经检验：1x =-是原方程的增根
∴原分式方程无解
（4）5
52252x x =-+ 方程两边同乘()()2525x x +-得：()()525225x x +=-
去括号，得：1025410x x +=-
移项，合并同类项，得：635x =-
系数化1，得：356x =-
经检验：356
x =-是原方程的解 ∴原分式方程的解为：356x =-
【点睛】
本题考查解分式方程，掌握解方程步骤，正确计算是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．
26．一个A 型垃圾桶需50元，一个B 型垃圾桶需80元
【分析】
设一个A 型垃圾桶需x 元，则一个B 型垃圾桶需（x+30）元，根据购买A 型垃圾桶数量是购买B 品牌足球数量的2倍列出方程解答即可．
【详解】
解：设购买一个A 型垃圾桶需x 元，则一个B 型垃圾桶需()30x +元 由题意得：25002000230
x x =⨯+， 解得：50x =，
经检验：50x =是原方程的解，且符合题意，
则：3080x +=，
答：购买一个A 型垃圾桶需50元，一个B 型垃圾桶需80元．
【点睛】
此题考查了分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系列出方程是解决问题的关键．。