2020版高考数学第七章立体几何与空间向量第3节直线、平面平行的判定及性质课件理新人教A版

a∥α，a⊂β， α∩β＝ b⇒a∥b
2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 一个平面内的两条 判定定理 相交直线 与另 ____________ 一个平面平行，则 这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 图形表示 符号表示
(2)解 ∵EF∥平面PDC， ∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.
∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥DA，在 Rt△PAD 中，PA＝AD＝1，∴DP＝ 2.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，
∴CB⊥PB，则 PC＝ 3，∴PD2＋DC2＝PC2， 1 2 ∴△PDC 为直角三角形，∴S△PDC＝ ×1× 2＝ . 2 2
解析
(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或
在平面内，故(1)错误.
(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3) 错误. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD， 则AB∥EF.
∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
∴EF∥平面ABC. (2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD， ∴BC⊥平面ABD. ∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B， ∴AD⊥平面ABC，
都不相交，故选D.
答案 D
3.(必修2P61A1(1)改编)下列命题中正确的是(
)
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥
考点二 直线与平面平行的判定与性质
多维探究
角度1 直线与平面平行的判定
【例2－1】 (2019· 东北三省四市模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形， PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.
(1)证明：EF∥平面PDC； (2)求点F到平面PDC的距离.
2.(必修2P61A1(2)改编)下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是(
)
A.直线a上有无数个点不在平面α内
B.直线a与平面α内的所有直线平行 C.直线a与平面α内无数条直线不相交 D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交 解析 因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线
【训练1】 (1)下列命题正确的是(
)
A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行
C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
(2)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N，Q 分别是棱 D1C1，A1D1，BC 的中点，点 P 2 在 BD1 上且 BP＝3BD1，则下面说法正确的是________(填序号). ①MN∥平面 APC；②C1Q∥平面 APC；③A，P，M 三点共线；④平面 MNQ∥平面 APC.
据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D错. 答案 C
5.(2019· 济宁月考)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的
所有直线中(
)
A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线
解析 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
面DEF，
∴平面ABC∥平面DEF. 答案 (1)D (2)B
规律方法
1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定
义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容
易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.
2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断. (2) 特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定 结论或用反证法推断命题是否正确.
D.若α∥β，a⊂α，则a∥β
(2)(2019· 聊城模拟 ) 下列四个正方体中，A ，B， C为所在棱的中点，则能得出平面
ABC∥平面DEF的是( )
解析 (1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题； 对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题； 对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题； 对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题. (2)在B中，如图，连接MN，PN， ∵A，B，C为正方体所在棱的中点，∴AB∥MN，AC∥PN， ∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF， ∵AB∩AC ＝ A ， DE∩EF ＝ E ， AB ， AC⊂ 平面 ABC ， DE ， EF⊂ 平
对于②，由①知 M ， N 在平面 APC 内，由题易知 AN∥C1Q ，且
AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC.
所以C1Q∥平面APC是正确的.
对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的. 对于④，由①知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ， 所以平面MNQ∥平面APC是错误的. 答案 (1)C (2)②③
常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从
“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序 恰好相反.
【 训 练 2 】 (2017· 江 苏 卷 ) 如 图 ，在三棱 锥 A － BCD 中， AB⊥AD ， BC⊥BD ， 平 面 ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
第 3节
直线、平面平行的判定及性质
考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面
平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关 空间图形的平行关系的简单命题.
知 识 梳 理
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面. (2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.
4.(2018· 长沙模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命 题中正确的是( )
A.m∥α，n∥α，则m∥n
C.m⊥α，m⊥β，则α∥β 解析
B.m∥n，m∥α，则n∥α
D.α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
A中，m与 n平行、相交或异面， A不正确； B中，n∥α或n⊂α， B不正确；根
(1)求三棱锥B1－A1BE的体积； (2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平 行的直线，并说明理由.
解
1 (1)如图所示， DA＝ VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝ S△A1B1B· 3
1 1 4 3×2×2×2×2＝3.
(2)B1F∥平面 A1BE. 延长 A1E 交 AD 延长线于点 H ，连 BH 交
答案 A
6.(2019· 北京十八中开学考试 ) 如图是长方体被一平面所截得的 几 何 体 ， 四 边 形 EFGH 为 截 面 ， 则 四 边 形 EFGH 的 形 状 为
________.
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：
因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE， 所以A1B∥GE. 又A1B∥CD1，所以GE∥CD1. 又E为DD1的中点，则G为CD的中点.
故BG∥B1F，BG就是所求直线.
规律方法
1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( ) ) ) )
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形. 答案 平行四边形
考点一 与线、面平行相关命题的判定
【例1】 (1)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命 题中的真命题是( )
A.若a⊥c，b⊥c，则a∥b B.若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b
C.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
两个平面平行，则其 中一个平面内的直线 平行 __________ 于另一个 平面 性质定理 如果两个平行平面同 时和第三个平面相交， 交线 那么它们的_________ 平行 α∥β，α∩γ＝a， α∥β，a⊂α⇒a∥β
β∩γ＝b⇒a∥b
[微点提醒] 平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.
连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，设E到平面PDC的距离为h， ∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，
1 2 1 1 1 2 则 ×h× ＝ ×1× × ×1，∴h＝ ， 3 2 3 2 2 4 2 ∴点 F 到平面 PDC 的距离为 . 4
角度2 直线与平面平行性质定理的应用 【例2－2】 (2018· 上饶模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E， F分别是棱DD1，C1D1的中点.
(1)证明 取PC的中点M，连接DM，MF， ∵M，F分别是PC，PB的中点， 1 ∴MF∥CB，MF＝ CB， 2
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形， 1 ∴DE∥CB，DE＝2CB，
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形， ∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC， ∴EF∥平面PDC.
(2)判定定理与性质定理 文字语言
一条直线与此平面内的一条直线 判定 平面外________________________________ 定理 平行，则该直线平行于此平面
图形表示
符号表示
a⊄α，b⊂α， a∥b⇒a∥α
性质 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的 交线 与该直线平行 定理 任一平面与此平面的_______
解析
(1)A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于 B
选项，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面
BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平
面也可能相交.C正确. (2)如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN， 易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以MN∥平面APC是 错误的.
又因为AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.
考点三 面面平行的判定与性质
典例迁移
【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC， A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，