高中数学 第一章 三角函数 1.7 正切函数课堂导学案 北师大版必修4

1.7 正切函数
课堂导学
三点剖析
1.正切的性质及诱导公式
【例1】 求函数y=tan(3x-
3π)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性. 思路分析：把3x-3
π看作一个整体，利用tanx 的单调性. 解：由3x-3π≠kπ+2
π，得x≠3πk +185π, ∴所求定义域为{x|x∈R ,且x≠3πk +185π,k∈Z }，值域为R ，周期T=3
π，是非奇非偶函数. 由于y=tanx,x∈(kπ-2π,kπ+2
π)(k∈Z )是增函数， ∴kπ-2π＜3x-3π＜kπ+2
π(k∈Z ), 即3πk -18π＜x ＜3πk +18
5π(k∈Z ). 因此，函数的单调递增区间为（3πk -18π,3πk +18
5π）(k∈Z ). 友情提示
y=Atan(ωx+φ)（其中A≠0,ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：（1）把“ωx+φ(ω＞0)”看为一个“整体”；（2）A ＞0(A ＜0)时，y=tanx(x≠2
π+kπ)的单调区间对应的不等式相同（反）. 各个击破
类题演练 1
求下列函数的周期：
（1）y=tan
3
7x ； (2)y=tan(2x+3
π). 解析：（1）y=tan 37x =tan(37x +π)=tan ［37(x+7
3π)］ ∴T=7
3π. (2)y=tan(2x+3π)=tan(2x+3
π+π) =tan ［2(x+2π)+3
π］, ∴T=2π. 变式提升 1
试判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=1-2cosx+|tanx|;
(2)f(x)=x 2tanx-sin 2x.
解析:(1)因为该函数的定义域是{x|x≠2π+kπ,k∈Z },
关于原点对称,且f(-x)=1-2cos(-x)+|tan(-x)|=1-2cosx+|tanx|=f(x),所以函数f(x)为偶函数. (2)因为函数f(x)的定义域是{x|x≠
2π+kπ,k∈Z },关于原点对称,又f(-x)=(-x)2tan(-x)-sin 2(-x)=-x 2tanx-sin 2x,f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),
所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
2.正切函数的图象和性质的综合应用
【例2】 作出函数y=|tanx|的图象，并根据图象求其单调区间.
思路分析:要作出函数y=|tanx|的图象，可先作出y=tanx 的图象，然后将它在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象向上翻折（即作出关于x 轴对称的图象）就可得到y=|tanx|的图象.
解析：由于y=|tanx|=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-∈-+∈),,2(,tan ),2,[,tan ππππππk k x x k k x x (k∈Z ), 所以其图象如下图所示，单调增区间为［kπ,kπ+
2π）(k∈Z )；单调减区间为（kπ-2
π,kπ］(k∈Z ).
友情提示
利用正切函数的图象过（-4π,-1）(4π,1)(0,0)三点且以x=-2π,x=2
π为渐近线，根据这三点两线可以大体勾画出y=tanx 的图象，再利用图象变换得到题目要求的图象，推导出函数性质.
类题演练 2
分别作出32π和-4
3π的正弦线,余弦线和正切线. 解析:(1)在直角坐标系中作单位圆如右图,以Ox 轴正方向为始边作
32π的终边与单位圆交于P 点,作PM⊥Ox 轴,垂足为M,由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点,则
sin 32π=MP,cos 32π=OM,tan 3
2π=AT.
即
3
2π
的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT.
(2)同理可作出-
4
3π
的正弦线,余弦线和正切线,如右图中
sin(-
4
3π
)=M′P′,cos(-
4
3π
)=OM′,tan(-
4
3π
)=AT′.
即-
4
3π
的正弦线为M′P′,余弦线为OM′,正切线为AT′.
变式提升 2
已知点P(tanα,cosα)在第四象限,则在(0,2π)内α的取值范围是________.
解析:由
⎩
⎨
⎧
<
>
cos
,0
tan
α
α
得α是第三象限角.
又∵0<α<2π,
∴π<α<
2
3
π.
答案:π<α<
2
3
π.
3.正切函数定义域与值域
【例3】求下列函数的定义域
(1)y=tan(2x-
3
π
);
(2)y=x
tan
3-;
(3)y=
x
tan
1
1
+
;
(4)y=tan(sinx).
思路分析:定义域是使各个解析式有意义的自变量x的取值范围.(1)只要使
2x-
3
π
≠
2
π
+kπ,k∈Z即可;(2)只要满足
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈
+
≠
≥
-
Z
k
k
x
x
,
2
,0
tan
3
π
π即可;(3)只要满足1+tanx≠0
即可;(4)只要sinx≠kπ+
2
π
,k∈Z即可.
解:(1)函数的自变量x应满足:
2x-
3
π
≠kπ+
2
π
,k∈Z,
即x≠2πk +125
π(k∈Z ).
所以,函数的定义域为{x|x≠2πk +125π
,k∈Z }. (2)∵⎪⎩⎪⎨
⎧∈+≠≥-Z
k k x x ,2,
0tan 3π
π ∴tanx≤3,∴kπ-2π<x≤kπ+3π
(k∈Z ).
∴函数的定义域为{x|kπ-2π<x≤kπ+3π
,k∈Z }.
(3)要使函数y=x tan 11
+有意义, 则有⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠+Z k k x x ,2,
,0tan 1π
π
即x≠kπ-4π
,且x≠kπ+2π
(k∈Z ).
∴函数的定义域为,{x|x∈R 且x≠kπ-4π,x≠kπ+2π
,k∈Z }.
(4)∵无论x 取何值,-1≤sinx≤1,tan(sinx)总有意义.
∴原函数的定义域为R .
友情提示
把正切函数的定义域当成R,或者认为y=tanx 在R 上单调递增都是错误的. 类题演练 3
求函数y=)
6tan(1tan π
+-x x 的定义域.
解析:由题得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧
+≠+≠≠++<≤+⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≠+≠+≠+≥236242260)6tan(1tan ππππππππππππππππ
k x k x k x k x k k x k x x x ⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧+≠+≠-≠+<≤+⇒.
2,
3
,
6,24π
ππ
ππ
πππππk x k x k x k x k
所以定义域为［kπ+4π,kπ+3π)∪(kπ+3π,kπ+2π
)(k∈Z ).
变式提升 3
（1）求函数f(x)=tanxcosx 的定义域与值域；
（2）求函数f(x)=|tanx|的定义域与值域. 解析:（1）其定义域是{x|x∈R ,且x≠kπ+2π
,k∈Z }.
由f(x)=x x
cos sin ·cosx=sinx∈(-1,1)，
∴f(x)的值域是(-1,1).
（2）f(x)=|tanx|化为 f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--+
<≤0
2,tan ,
20,tan x k x k x x π
ππ
π(k∈Z ).
可知，函数的定义域为{x|x∈R ,且x≠kπ+2π
,k∈Z }，值域为(0,+∞).。