高考数学压轴专题都江堰备战高考《复数》易错题汇编附答案解析

新数学《复数》专题解析
一、选择题
1．设复数4273i z i -=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729- B ．1729 C ．129- D ．129
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数运算法则求解1712929z i =
-，即可得到其虚部. 【详解】
依题意，()()()()427342281214634217173737358582929
i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129-
故选：C
【点睛】
此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.
2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v
向左平移一个单位后得到00
O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( )
A ．1－i
B ．1－2i
C ．－1－i
D ．－i
【答案】D
【解析】
【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应
的复数
【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1，
所以P 0对应的复数，
即0
OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．
3．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅=
A ．25-
B ．25
C ．7-
D ．7
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可
【详解】 Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-
234z i ∴=--
()()12343425z z i i ⋅=---=-
故选A
【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题
4．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )
A
B C ．2 D ．3
【答案】A
【解析】 ()
11z i i i =-=+，故z = A.
5．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )
A ．1
B ．2
C
D ．3
【答案】D
【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.
6．若1z i =+，则
31i zz =+（ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．1
【解析】
因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1
i zz i i i zz =+-==+，故选B.
7．
若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A ．2,3b c ==
B ．2,1b c ==-
C ．2,1b c =-=-
D ．2,3b c =-=
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b
的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩
，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】
由题意
1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0
∴
﹣2+
b bi +
c ＝0
，即()
10b c i -+++=
∴100
b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．
【点睛】
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
8．复数
1122i i ++的虚部为（ ） A ．110 B ．110- C ．310 D ．310
- 【答案】A
【解析】
【分析】 化简复数
111122510
i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 【详解】 由题意，复数()()1121112212122510
i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122
i i ++的虚部为110.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
9．已知(,)a bi a b R +∈是
11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-
B ．12-
C ．12
D ．1 【答案】A
【解析】
【分析】 先利用复数的除法运算法则求出
11i i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．
【详解】 ()()21(1)21112
i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，
∴a ＝0，b ＝﹣1，
∴a +b ＝﹣1，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
10．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简z =
-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】
由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --=
==-++-，
则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限.
【点睛】
本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
11．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．线段
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.
【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.
当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.
因此，点Z 的轨迹为线段.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12．若复数()234sin
12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23
π 【答案】B
【解析】
分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.
详解：若复数()2
3412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则： 234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩
， 结合()0,θπ∈
，可知：sin 21
cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=.
本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】 由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()
10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
14．若复数1a i z i +=
-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1
B ．-1
C ．12
D ．12
- 【答案】A
【解析】
【分析】
由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.
【详解】 ()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2
a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()
34
1i 1i 1i 122a a a a -++--++=，
因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --
= 可得1a =，1a =时3,?
10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理
解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
15．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( )
A ．[0,1]
B ．[1,1]-
C ．(0,1)(1,)⋃+∞
D ．(1,)-+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.
【详解】
由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，
2a x a y b t
=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，
则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，
解得0t >且1t ≠ ，
即t 的取值范围是()()0,11,+∞U .
故选：C
【点睛】
本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
16．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i
+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255
i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55
+ 【答案】B
【解析】
【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55
i i i i i i a b i=
+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．
【详解】
由题意，复数1
2
i
i a bi
i
+
-=+
-
，得
(1)(2)1312
(2)(2)555
i i
a b i=
i
i i i
i i
+++
+-=-=-
-+
，
所以
12
55
a b i=i
-+，故选B．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
17．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若，，则的充要条件是；
②若，且，则；
③若，则．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
对①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
考点：复数的有关概念.
18．复数z
1
1
i
i
-
=
+
，则|z|=( )
A．1 B．2 C2D．2【答案】A
【解析】
【分析】
运用复数的除法运算法则,先计算出z的表达式,然后再计算出z.
【详解】
由题意复数z
1
1
i
i
-
=
+
得
22
1(1)12
=
1(1)(1)2
i i i i
i
i i i
---+
===-
++-
,所以=1
z.
故选A
【点睛】
本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.
19．已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z z
=.则
其中正确命题的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.
【详解】
对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.
故选C
【点睛】
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
20．复数3
21
i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ） A ．2155
i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133
i - 【答案】C
【解析】 试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-，则共轭复数为：2155
i --． 考点：复数的运算及共轭复数的概念.。