高考数学二轮复习 新高考方案专题增分方略 专题启动 真题热身与知识唤醒

9．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝ 2c，B＝π3，则△ABC的面积为________． 解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. 又∵b＝6，a＝2c，B＝π3， ∴36＝4c2＋c2－2×2c2×12， ∴c＝2 3，a＝4 3， ∴S△ABC＝12acsin B＝12×4 3×2 3× 23＝6 3. 答案：6 3
专题一 三角函数与解三角形、平面向量
专题启动|真题热身与知识唤醒
题组一 三角函数的图象与性质
1．(2018·全国卷Ⅲ)函数 f(x)＝1＋tatnanx2x的最小正周期为
A．π4 C．π
B．π2 D．2π
()
sin x
sin x
解析：由已知得 f(x)＝1＋tatnanx2x＝1＋cocssoinsxxx2＝cos2ccxoo＋ss2xsxin2x＝sin x·cos x＝12sin 2x，
解：方案一：选条件①.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c.
由①ac＝ 3，解得a＝ 3，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
解析：∵sin α＋cos β＝1，
①
cos α＋sin β＝0，
②
∴①2＋②2 得 1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，
∴sin(α＋β)＝－12.
答案：－12
题组三 解三角形
7．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin A
解：(1)在△ABD中，由正弦定理得
BD sin ∠A
＝
sin
AB ∠ADB
，即
sin545°＝
sin
∠2 ADB，所以sin
8．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23，AC＝4，BC＝3，则 cos B2
D．23
解 析 ： 由 余 弦 定 理 得 AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 － 2AC×BC×cos C ＝ 16 ＋ 9 － 2×4×3×23＝9，解得 AB＝3，所以 cos B＝92＋×93－×136＝19，故选 A. 答案：A
3 2.
由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c，B＝C＝π6，A＝23π.
由②csin A＝3，所以c＝b＝2 3，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
函数 f(x)取得最小值－4.
答案：－4
题组二 三角恒等变换
4．(2018·全国卷Ⅲ)若 sin α＝13，则 cos 2α＝
A．89
B．79
C．－79
D．－89
()
解析：∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.故选 B. 答案：B
5．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sinθ＋π3＝1，则sinθ＋π6＝
3 2.
由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c.
由③c＝ 3b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
11．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2， BD＝5. (1)求cos ∠ADB； (2)若DC＝2 2，求BC.
解得 ω＝－3＋49k(k∈Z )．
设 f(x)的最小正周期为 T，
易知 T＜2π＜2T，∴|2ωπ|＜2π＜|4ωπ|，∴1＜|ω|＜2， 当且仅当 k＝－1 时，符合题意，此时 ω＝32， ∴T＝2ωπ＝43π.故选 C. 法二：由题图知，f－49π＝0 且 f(－π)＜0，f(0)＞0， ∴－49πω＋π6＝－π2(ω＞0)，解得 ω＝32， ∴f(x)的最小正周期 T＝2ωπ＝43π.故选 C.
A．12
B．
3 3
()
C．23
D．
2 2
解析：∵sin θ＋sinθ＋π3＝32sin θ＋ 23cos θ＝ 3sinθ＋π6＝1，∴sinθ＋π6＝ 33，故选 B.
答案：B
6．(2018·全国卷Ⅱ)已知 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则 sin(α＋β)＝ ________.
所以 f(x)的最小正周期为 T＝22π＝π.
答案：C
2．(2020·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝cosωx＋π6在[－π，π]的图象大致如图，则 f(x)
的最小正周期为
()
A．109π
B．76π
C．43π
D．32π
解析：法一：由题图知，f－49π＝0，
∴－49πω＋π6＝π2＋kπ(k∈Z )，
10．(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝ 3，②csin A＝3，③c＝ 3b这三个条件
中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若
问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
sin A＝ 3sin B，C＝π6，________？
答案：C
3．(2019·全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝sin2x＋32π－3cos x 的最小值为________． 解析：f(x)＝sin2x＋32π－3cos x ＝－cos 2x－3cos x ＝－2cos2x－3cos x＋1
＝－2cos2x＋32cos
x＋1
＝－2cos
x＋342＋187，
因为－1≤cos x≤1，所以当 cos x＝1 时，
－bsin B＝4csin C，cos A＝－14，则bc＝
A．6
B．5
()
C．4
D．3
解析：∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴由正弦定理得 a2－b2＝4c2，即 a2＝4c2＋b2. 由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋c2－2b4cc2＋b2＝－2b3cc2＝－14，∴bc＝6. 答案：A