(46页2012年1月最新最细)2011全国中考真题解析120考点汇编☆方程思想

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆方程思想
一、选择题
1.（2011广东深圳，6，3分）一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（ ）
A 、100元
B 、105元
C 、108元
D 、118元
考点：一元一次方程的应用． 专题：方程思想．
分析：根据题意，找出相等关系为，进价的（1+20%）等于标价200元的60%，设未知数列
方程求解．
解答：解：设这件服装的进价为x 元，依题意得：
（1+20%）x=200³60%，解得：x=100， 故选：A ．
点评：此题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找出相等关系，进价的（1+20%）
等于标价200元的60%．
2.（2011•恩施州10,3分）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 12：00
13：00
14：30
碑上的数
是一个两位数，数字之和为6
十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了
比12：00时看到的两位数中间多了个0
则12：00时看到的两位数是（ ）
A 、24
B 、42
C 、51
D 、15 考点：二元一次方程组的应用。

专题：方程思想。

分析：设小明12时看到的两位数，十位数为x ，个位数为y ，根据两位数之和为6可列一个方程，再根据匀速行驶，12﹣13时行驶的里程数等于13﹣14：30时行驶的里程数除以1.5列出第二个方程，解方程组即可．
解答：解：设小明12时看到的两位数，十位数为x ，个位数为y ，即为10x+y ；
则13时看到的两位数为x+10y ，12﹣13时行驶的里程数为：（10y+x ）﹣（10x+y ）； 则14：30时看到的数为100x+y ，14：30时﹣13时行驶的里程数为：（100x+y ）﹣（10y+x ）； 由题意列方程组得：
⎪⎩
⎪
⎨⎧+-+=+-+=+)10(105.1)
10(1006y x x y x y y x y x 错误！未找到引用源。

，
解得：⎩⎨
⎧==5
1
y x 错误！未找到引用源。

，
所以12：00时看到的两位数是15， 故选D ．
点评：本题考查了数学在生活中的运用，及二元一次方程组的解法．正确理解题意并列出方程组是解题的关键．
3.（2011丽江市中考，13,3分）据调查，某市2011年的房价为4000元/m 2
，预计2013年
将达到4840元/m 2
，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为（ ） A 、4000（1+x ）=4840 B 、4000（1+x ）2
=4840
C 、4000（1﹣x ）=4840
D 、4000（1﹣x ）2=4840
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。

专题：增长率问题。

分析：根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x ），可以列出2013年的房价，而
预计2013年将达到4840元/m 2
，故可得到一个一元二次方程． 解答：解：设年平均增长率为x ，那么2012年的房价为：4000（1+x ），
2013年的房价为：4000（1+x ）2=4840． 故选B ．
点评：本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要全面、系统
地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
4 （2011浙江绍兴，9，4分）小敏从A 地出发向B 地行走，同时小聪从B 地出发向A 地行走，如图所示，相交于点P 的两条线段l 1、l 2分别表示小敏、小聪离B 地的距离y （km ）与已用时间x （h ）之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是（ ）
A ．3km/h 和4km/h
B ．3km/h 和3km/h
C ．4km/h 和4km/h
D ．4km/h 和3km/h 考点：一次函数的应用。

专题：函数思想；方程思想。

分析：由已知图象上点分别设出两人的速度，写出函数关系式，求出两人的速度． 解答：解：设小敏的速度为：m ，函数式则为，y=mx+b ， 由已知小敏经过两点（1.6，4.8）和（2.8，0）， 所以得：4.8=1.6m+b ，0=2.8m+b ， 解得：m=﹣4，b=﹣2.4，
由实际问题得小敏的速度为4km/h ．
设小聪的速度为：n ，则函数式为，y=mx ， 由已知经过点（1.6，4.8）， 所以得：4.8=1.6n ， 则n=3，
即小聪的速度为3km/h ． 故选D ． 点评：此题考查的知识点是一次函数的应用，关键是由已知及图象写出两人行走的函数关系式，再根据已知点求出速度．
5. （2011山东滨州，3，3分）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,
设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )
A.()2
2891256x -= B.()2
2561289x -=
C.289(1-2x)=256
D.256(1-2x)=289 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】增长率问题．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量³（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x ，可以用x 表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1-x ）2，
∴方程为289（1-x ）2
=256． 故选答A ．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a （1+x ）2=c ，其中a 是变化前的原始量，c 是两次变化后的量，x 表示平均每次的增长率．
6. （2011山东滨州，8，3分）如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 、C 分别在
y 轴、x 轴上,以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切.若点A 的坐标为(0,8),则圆心M 的坐标为( ) A.(-4,5) B.(-5,4) C.(5,-4) D.(4,-5)
【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质． 【专题】证明题．
【分析】过点M作MD⊥AB于D，连接AM．设⊙M的半径为R，因为四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），
所以DA= 1
2
AB=4，DM=8-R，AM=R，又因△ADM是直角三角形，利用勾股定理即可得到
关于R的方程，解之即可．
【解答】解：过点M作MD⊥AB于D，交OC于点E．连接AM，设⊙M的半径为R．
∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切，AB∥OC，
∴DE⊥CO，
∴DE是⊙M直径的一部分；
∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为（0，8），
∴OA=AB=CB=OC=8，DM=8-R；
∴AD=BD=4（垂径定理）；
在Rt△ADM中，
根据勾股定理可得AM2=DM2+AD2，
∴R2=（8-R）2+42，∴R=5．
∴M（-4，5）．
故选D．
【点评】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质．解题时，需仔细分析题意及图形，利用勾股定理来解决问题．
7. 10．（2011泰安，10，3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝错误！未找
到引用源。

，则⊙O的半径为（）
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

考点：垂径定理；勾股定理。

专题：探究型。

分析：连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB＝错误！未找到引用源。

则AD＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

，OD＝错误！未找到引用源。

，再利用勾股定理即可得出结论．
解答：解：连接OA，设⊙O的半径为r，
∵AB垂直平分半径OC，AB＝错误！未找到引用源。

，
∴AD＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

，OD＝错误！未找到引用源。

，
在Rt△AOD中，
OA 2＝OD 2＋AD 2，即r 2＝（错误！未找到引用源。

）2＋（错误！未找到引用源。

）2
， 解得r ＝错误！未找到引用源。

． 故选A ．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8. （2011山东省潍坊， 16，3分）已知线段AB 的长为a ．以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB ．取AB 边上一点E ．以AE 为边在AB 的上方作正方形AKNM ．过E 作EF ⊥CD ．垂足为F 点．若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等．则AE 的长为________________．
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题．
【分析】本题需先设出AE 的长，从而得出BE 的长，再根据题意列出方程，求出x 的值
即可得出AE 的长．
【解答】解：设AE 的长为x ，则BE 的长为a-x
根据题意得：x 2
=（a-x ）•a 解得：x=
51
2a - 故答案为：
51
2
a -． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件和图形列出方
程是本题的关键．
9. 某品牌服装原价173元，连续两次降价00x 后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）
A ．()2
001731127x += B ．()0017312127x -= C ．()2
001731127x -= D ．()2
001271173x += 考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：根据降价后的价格＝原价（1－降低的百分率），本题可先用173（1－x%）表示第一
次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程． 解答：解：当商品第一次降价x%时，其售价为173－173x%＝173（1－x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为
173（1－x%）－173（1－x%）x%＝173（1－x%）2
． ∴173（1－x%）2
＝127． 故选C ．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根
据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可． 10. （2011年四川省绵阳市，9，3分）灾后重建，四川从悲壮走向豪迈．灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15包．请问这次采购派男女村民各多少人？（ ） A 、男村民3人，女村民12人 B 、男村民5人，女村民10人 C 、男村民6人，女村民9人 D 、男村民7人，女村民8人 考点：二元一次方程组的应用． 专题：方程思想．
分析：可设男女村民各x 、y 人，由题意一个相等关系是x+y=15，再一个相等关系是2x+
1
2
y=15，据此列方程组求解． 解答：解：设男女村民各x 、y 人，由题意得：
151
2152
x y x y +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩， 解得：510x y =⎧⎨=⎩
．
故选B ．
点评：此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，其关键是找出两个相等关系列方程组求解．
11．（2011四川达州，10，3分）已知关于x 的方程x 2
﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m= ﹣3 ，n= 0 ．
考点：一元二次方程的解。

专题：方程思想。

分析：根据一元二次方程的解的定义，列出关于m 、n 的二元一次方程组，解方程组即可． 解答：解：根据题意，得
n =⎧⎨
⎩9+3m +n =错误！未找到引用源。

， 解得，3
0m n =-⎧⎨
=⎩
错误！未找到引用源。

．
故答案是：﹣3、0．
点评：本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的解都适合方程的解析式．
二、填空题
1.（2011江苏镇江常州，15，3分）如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为C，若AB=6，
CE=1，则OC= 4 ，CD= 9 ．
考点：垂径定理；勾股定理．
专题：数形结合；方程思想．
分析：连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点C为AB的中点，由AB=6可求出AC的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OC，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，通过观察图形可知，OC等于半径减1，CD等于半径加OC，把求出的半径代入即可得到答案．
解答：
解：连接OA，
∵直径DE⊥AB，且AB=6
∴AC=BC=3，
设圆O的半径OA的长为x，则OE=OD=x
∵CE=1，
∴OC=x﹣1，
在直角三角形AOC中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2=32，化简得：x2﹣x2+2x﹣1=9，
即2x=10，
解得：x=5
所以OE=5，则OC=OE﹣CE=5﹣1=4，CD=OD+OC=9．
故答案为：4；9
点评：此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
2.（2011江苏镇江常州，17，3分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为24 ．
考点：一元一次方程的应用；截一个几何体．
专题：分类讨论；方程思想．
分析：从三种情况进行分析：（1）只有棱长为1的正方体；（2）分成棱长为3的正方体和棱长为1的正方体；（3）分成棱长为2的正方体和棱长为1的正方体．
解答：解：棱长为4的正方体的体积为64，
如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除；
如果有一个3³3³3的立方体（体积27），就只能有1³1³1的立方体37个，37+1＞29，不符合题意排除；
所以应该是有2³2³2和1³1³1两种立方体．
则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有（29﹣x）个，
解方程：x+8³（29﹣x）=64，
解得：x=24．
所以小明分割的立方体应为：棱长为1的24个，棱长为2的5个．
故答案为：24．
点评：本题考查了一元一次方程组的应用，立体图形的求解，解题的关键是分三种情况考虑，得到符合题意的可能，再列方程求解．
3.（2011内蒙古呼和浩特，16，3）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为_______ 考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；梯形．
分析：首先延长BA与CD，交于F，即可得△FAD∽△FBC与△BCE≌△FCE，然后S△FAD=x，即可求得S△FBC=16x，S△BCE=S△FEC=8x，S四边形AECD=7x，又由四边形AECD的面积为1，即可求得梯形ABCD的面积．
解答：解：延长BA与CD，交于F，∵AD∥BC，∴△FAD∽△FBC，∵CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠FCE，∵CE⊥AB，∴∠BEC=∠FEC=90°，∵EC=EC，∴△BCE≌△FCE（ASA），
∴BE=EF，∵BE=2AE，∴BF=4AF，设S△FAD=x，
∴S△FBC=16x，∴S△BCE=S△FEC=8x，∴S四边形AECD=7x，∵四边形AECD的面积为1，
∴7x=1，∴x= 1
7
，∴梯形ABCD的面积为：S△BCE+S四边形AECD=15x=
15
7
．
故答案为：15
7
．
点评：此题考查了梯形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
4.（2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是如：x2﹣错误！未找到引用源。

x+1=0 ．
考点：根与系数的关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。

专题：开放型；数形结合。

分析：连接AD ，BD ，OD ，由AB 为直径与四边形DCFE 是正方形，即可证得△ACD ∽△DCB ，
则可求得AC •BC=DC 2
=1，又由勾股定理求得AB 的值，即可得AC+BC=AB ，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一． 解答：解：连接AD ，BD ，OD ，
∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°，
∵四边形DCFE 是正方形， ∴DC ⊥AB ，
∴∠ACD=∠DCB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°， ∴∠A=∠CDB ， ∴△ACD ∽△DCB ， ∴
BC
DC
DC AC ， 又∵正方形CDEF 的边长为1，
∵AC •BC=DC 2
=1， ∵AC+BC=AB ，
在Rt △OCD 中，OC 2+CD 2=OD 2
， ∴OD=错误！未找到引用源。

， ∴AC+BC=AB=5，
以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是x 2
﹣5x+1=0．
故答案为：此题答案不唯一，如：x 2
﹣5x+1=0．
点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．
5. （2011四川省宜宾市，15，3分）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是 .
考点：一元二次方程的应用．
分析：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x ，根据最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，可列出方程求解． 答案：解：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x ，
240（1+x ）2
=345.6， 1+x=±1.2，
x=20%或x=-220%（舍去）． 故答案为：20%．
点评：本题考查的是增长率问题，关键清楚增长前为240元，两年变化后为345.6元，从而求出解．
6.（2011•德州，16，4分）长为1，宽为a的矩形纸片（1
1
2
a
<<），如图那样折一下，
剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为．
考点：一元一次方程的应用。

专题：几何图形问题；操作型。

分析：根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当错误！未找到引用源。

＜a＜1时，矩形的长为1，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为1﹣a，a．由1﹣a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为1﹣a，剩下的矩形相邻的两边分别为1﹣a，a﹣（1﹣a）=2a﹣1．由于（1﹣a）﹣（2a ﹣1）=2﹣3a，所以（1﹣a）与（2a﹣1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①1﹣a＞2a﹣1；②1﹣a＜2a﹣1．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值．
解答：解：由题意，可知当错误！未找到引用源。

＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为1﹣a，第二次操作以后
剩下的矩形的两边分别为1﹣a，2a﹣1．此时，分两种情况：
①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜2
3
，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣1．
则2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a=3
5
；
②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞错误！未找到引用源。

，那么第三次操作时正方形的边长为1﹣a．
则1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a=3
4
．
故答案为错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

．
点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分两种情况：①1﹣a＞2a﹣1；
②1﹣a＜2a﹣1．分别求出操作后剩下的矩形的两边．
7.（2011年山东省威海市，17，3分）如图①，将一个量角器与一张等腰三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形．∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，测得CE=5cm；将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC，BC相
切，如图②．则AB的边长为24.5cm．（精确到0.1cm）
考点：切线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；平移的性质．
专题：推理填空题．
分析：如图，设图②中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到∠OMC=90°，而根据已知条件可以得到∠DCB=45°，设AB为2x，根据等腰直角三角形的性质得到CD=BD=x，而CE=5cm，又将量角器沿DC方向平移2cm，由此得到半圆的半径为x –5，OC=x–2，然后在Rt△OCM中利用三角函数可以列出关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：如图，设图②中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，
连接OM，
则OM⊥MC，
∴∠OMC=90°，
依题意知道∠DCB=45°，
设AB为2x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CD=BD=x，
而CE=5cm，又将量角器沿DC方向平移2cm，
∴半圆的半径为x–5，OC=x–2，
∴sin ∠DCB=22
OM CO =， ∴ = 22
， ∴x=102222
--， ∴AB=2x=2³
102222--≈24.5（cm ）． 故答案为：24.5．
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
8.（2011•包头，25，12分）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC ．直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ．点F 是圆O 上异于B 、C 的动点，直线BF 与l 相交于点E ，过点F 作AF 的垂线交直线BC 与点D ．
（1）如果BE=15，CE=9，求EF 的长；
（2）证明：①△CDF ∽△BAF ；②CD=CE ；
（3）探求动点F 在什么位置时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且使BC=错误！未找到引用源。

CD ，请说明你的理由．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形。

分析：（1）由直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF ∽△BEC ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF 的长；
（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD ，同理可得∠AFB=∠CFD ，则可证得△CDF ∽△BAF ；
②由△CDF ∽△BAF 与△CEF ∽△BCF ，根据相似三角形的对应边成比例，易证得错误！未找到引用源。

BC
CE BA CD =，又由AB=BC ，即可证得CD=CE ； （3）由CE=CD ，可得BC=错误！未找到引用源。

CD=错误！未找到引用源。

CE ，然后在Rt
A
B C
E
F O ² l
D
△BCE 中，求得tan ∠CBE 的值，即可求得∠CBE 的度数，则可得F 在⊙O 的下半圆上，且⌒
BF
错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

3
2⌒
BC ． 解答：解：（1）∵直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ．
∴∠BCE=90°，
又∵BC 为直径，
∴∠BFC=∠CFE=90°，
∵∠FEC=∠CEB ，
∴△CEF ∽△BEC ，
∴错误！未找到引用源。

EC
EF BE CE =， ∵BE=15，CE=9， 即：错误！未找到引用源。

9
159EF =， 解得：EF=错误！未找到引用源。

527；
（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，
∴∠ABF=∠FCD ，
同理：∠AFB=∠CFD ，
∴△CDF ∽△BAF ；
②∵△CDF ∽△BAF ，
∴错误！未找到引用源。

BA
CD BF CF =， 又∵△CEF ∽△BCF ， ∴错误！未找到引用源。

BC
CE BF CF =， ∴错误！未找到引用源。

BC CE BA CD =， 又∵AB=BC ，
∴CE=CD ；
（3）∵CE=CD ，
∴BC=错误！未找到引用源。

CD=错误！未找到引用源。

CE ，
在Rt △BCE 中，tan ∠CBE=错误！未找到引用源。

3
1=BC CE ， ∴∠CBE=30°，
故错误！未找到引用源。

⌒
CF 为60°， ∴F 在⊙O 的下半圆上，且错误！未找到引用源。

=3
2⌒
BC ．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
9.（2011•包头，20，3分）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接AC ，将矩形纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置，若B （1，2），则点D 的横坐标是﹣错误！未找到引用源。

．
考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质。

分析：首先过点D 作DF ⊥OA 于F ，由四边形OABC 是矩形与折叠的性质，易证得△AEC 是等腰三角形，然后在Rt △AEO 中，利用勾股定理求得AE ，OE 的长，然后由平行线分线段成比例定理求得AF 的长，即可得点D 的横坐标．
解答：解：过点D 作DF ⊥OA 于F ，
∵四边形OABC 是矩形，
∴OC ∥AB ，
∴∠ECA=∠CAB ，
根据题意得：∠CAB=∠CAD ，∠CDA=∠B=90°，
∴∠ECA=∠EAC ，
∴EC=EA ，
∵B （1，2），
∴AD=AB=2，
设OE=x ，则AE=EC=OC ﹣OE=2﹣x ，
在Rt △AOE 中，AE 2=OE 2+OA 2，
即（2﹣x ）2=x 2+1，
解得：x=错误！未找到引用源。

，
∴OE=4
3，AE=错误！未找到引用源。

， ∵DF ⊥OA ，OE ⊥OA ，
∴OE ∥DF ，
∴错误！未找到引用源。

FD OE AF OA =错误！未找到引用源。

AD AE =错误！未找到引用源。

2
45
=错误！未找到引用源。

8
5， ∴AF=错误！未找到引用源。

58，DF=错误！未找到引用源。

5
6， ∴OF=AF ﹣OA=错误！未找到引用源。

，
A B
C
D O x
y
∴点D的横坐标为：﹣错误！未找到引用源。

．
故答案为：﹣错误！未找到引用源。

．
点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
10.（2011天水，13，4）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是___ ．
（精确到0.1m）
考点：相似三角形的应用。

分析：如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°．由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，这样可以得到△CED∽△AEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
解答：解：由题意知∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，
又由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，
∴△CED∽△AEB．
∴CD AB DE BE
=,
∴1.6
2.78.7
AB
=,
∴AB≈5.2米．
故答案为5.2．
点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．三、解答题
1.（2011江苏苏州，22，5分）已知
120
a b
-++=
,求方程
1
a
bx
x
+=
的解
考点：解分式方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
专题：综合题；方程思想．
分析：首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入方程求解即可．
解答：解：由
120
a b
-++=
，得
1,2
a b
==-．
由方程1
21
x
x
-=
得2
210
x x
+-=
解之得
12
1
1,
2 x x
=-=
．
经检验，
12
1
1,
2
x x
=-=
是原方程的解.
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．同时考查了解分式方程，注意解分式方程一定注意要验根．
2.（2011•泰州，26，10分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．
（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？
（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．
考点：垂径定理；勾股定理；矩形的性质。

专题：几何综合题；探究型。

分析：（1）由AD是小圆的切线可知OM⊥AD，再由四边形ABCD是矩形可知，AD∥BC，AB=CD，故ON⊥BC，由垂径定理即可得出结论；
（2）延长ON交大圆于点E，由于圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm可知ME=6cm，在Rt△OBE中，利用勾股定理即可求出OM的长．
解答：解：（1）∵AD是小圆的切线，M为切点，
∴OM⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴ON⊥BC，BE=BC=5cm，
∴N是BC的中点；
（2）延长ON交大圆于点E，
∵圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，
∴ME=6cm，
在Rt△OBE中，设OM=r
OB2=BC2+（OM+MN）2，即（r+6）2=52+（r+5）2，解得r=7cm，
故小圆半径为7cm．
点评：本题考查的是垂径定理，涉及到切线的性质及勾股定理、矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3. （2011•宁夏，26，10分）在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6．动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A 、B 重合，N 不与A 、C 重合），且MN ∥BC ．将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ．
（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？
（2）当MN=x ，△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式．当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质。

分析：（1）首先连接AP ，交MN 于O ，由MN ∥BC ．将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ，即可得△AMN ∽△ABC ，错误！未找到引用源。

2
1==AP AO BC MN ，则可求得当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上；
（2）此题需要分为当AO ≤错误！未找到引用源。

AD 时与当AO ＞错误！未找到引用源。

AD 时去分析，首先由△AMN ∽△ABC ，求得各线段的长，然后求△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积，即可得关于x 的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．
解答：解：（1）连接AP ，交MN 于O ，
∵将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ，
∴OA=OP ，AP ⊥MN ，AN=PN ，AM=PM ，
∵MN ∥BC ，
∴△AMN ∽△ABC ，AO ⊥MN ，
∴错误！未找到引用源。

，
∵BC=6，
∴MN=3，
∴当MN=3时，点P 恰好落在BC 上；
（3）过点A 作AD ⊥BC 于D ，交MN 于O ，
∵MN ∥BC ，
∴AO ⊥MN ，
∴△AMN ∽△ABC ，
∴错误！未找到引用源。

AD
AO BC MN =， ∵AB=AC=5，BC=6，AD ⊥BC ，
∴∠ADB=90°，BD=错误！未找到引用源。

BC=3，
∴AD=4，
∴错误！未找到引用源。

4
6AO x =， ∴AO=错误！未找到引用源。

32x ， ∴S △AMN =错误！未找到引用源。

MN •AO=错误！未找到引用源。

•x •错误！未找到引用源。

x=
错误！未找到引用源。

x 2，
当AO ≤错误！未找到引用源。

AD 时，
根据题意得：S △PMN =S △AMN ，
∴△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为S △AMN ，
∴y=错误！未找到引用源。

x 2，
∴当AO=错误！未找到引用源。

AD 时，即MN=错误！未找到引用源。

BC=3时，y 最小，最小值为3；
当AO ＞错误！未找到引用源。

AD 时，
连接AP 交MN 于O ，
则AO ⊥MN ，
∵MN ∥BC ，
∴AP ⊥BC ，△AMN ∽△ABC ，△PEF ∽△PMN ∽△AMN ，
∴错误！未找到引用源。

AD AO BC MN =，错误！未找到引用源。

PO
PD MN EF =， 即：错误！未找到引用源。

46AO x =，错误！未找到引用源。

AO PD x EF =，。