高三数学 导数及其应用多选题知识点-+典型题及答案

高三数学 导数及其应用多选题知识点-+典型题及答案
一、导数及其应用多选题
1．对于函数()2
ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）
A ．该函数定有2个极值
B ．该函数的极小值一定不大于2
C ．该函数一定存在零点
D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点
【答案】BD 【分析】
求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】
函数定义域是(0,)+∞，
由已知2121
()2x ax f x x a x x
+-'=+-=，
280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但121
02
x x =-<，12,x x 一正一
负．
由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，
()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．22
2210x ax +-=，2
2
2
12x a x -=，
2
2222()ln 1f x x ax x a =+--+＝
2
2
22
22
2
22222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，
设2
1()2ln 2g x x x x x =-+--
+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x
'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，
所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；
()f x 的极小值也是最小值为2
22222
1
()2ln 2f x x x x x =-+--
+， 例如当23x =时，17
3
a =-
，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =-
-++=-+>（217()3
e >， 所以()
f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调
性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．
2．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点
C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点
D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】
根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()12
1
()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】
由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()211
0g x x x
''=--<，
所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()1
10,12ln 202
g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x
=-+
， 当0x >时，()1ln f x x x x
=-+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=， 因为2
2131()024
x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；
又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=，
因为2
2
13
1()02
4
x x x -+-=---
<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1
ln f x x x x
=-+
在定义域内只有2个零点，所以B 不正确；
令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-
，则 ()211
0x x x
ϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，
结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；
由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，
可得()()1222222221111
1ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即
()121
(
)f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 12
1x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()
()f x f x x
'<
，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）
A ．()()()1212f x x f x f x +<+
B ．()()()()21121212
x x
f x f x f x f x x x +<
+ C ．()1
1
2
2
(1)x x f f <
D ．()()()1212f x x f x f x <
【答案】ABC 【分析】
构造()()f x g x x
=，由()
()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各
选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.
【详解】 由()
()f x f x x '<知：
()()0xf x f x x
'-<， 令()
()f x g x x =
，则()()()20xf x f x g x x
'-='<， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即
122112121212()()()()
0()
g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--
当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有
1
12112
()()x f x x f x x x +<+，
2
12212
()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有
()()()()21121212
x x
f x f x f x f x x x +<
+； C ：由1
21x >，所以11
1
(2)(1)(2)(1)21
x x x f f g g =<=，整理得()
11
22(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211
x x =
，121
1
1()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，
有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】
思路点睛：由()
()f x f x x '<
形式得到
()()0xf x f x x
'-<，
1、构造函数：()
()f x g x x =
，即()()()xf x f x g x x
'-'=
. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.
3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.
4．设函数()()1x a
f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列
结论正确的有（ ） A ．a e =
B ．()f x 在区间()1,e 单调递增
C ．1x =是()f x 的极大值点
D ．()f e 是()f x 的最小值
【答案】ACD 【分析】
()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x
h x x
=
的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'
f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'
f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．
【详解】
()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根． 设ln ()x
h x x =
，则21ln ()x h x x
-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，
max 1()()h x h e e
==
． ∴要使方程
ln ln x a
x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a
<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；
()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，
1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．
设()(1)ln 1p x e x x =--+，1
()1e p x x
-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，
又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，
01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，
所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为
(1)f ，
又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'
f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得
1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．
5．已知函数()sin x
f x x
=
，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]
0,π上单调递减
B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅
C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[
)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减
【答案】ACD 【分析】
先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，
对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；
当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]
0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得
1212
sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f π
ππ
==，进而作出判断；
对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin x
g x f x x
''=
=，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]
0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.
【详解】
()2
cos sin x x x
f x x
-'=
， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos x
x x
<
，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
所以()f x 在区间(]
0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以
12
12
sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以
sin 1x x x x <=，sin ()0f π
ππ
==， 所以当(]0,x π∈时，()[
)0,1f x ∈，故选项C 正确；
对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，
所以()()sin x
g x f x x
''=
=，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]
0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]
0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin x
f x x
=
的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
6．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，
()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln x
f x x
=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）
A ．y x =
B ．12
y x =-
C ．3e
x y =
D ．1122
y x =
- 【答案】AB 【分析】
根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】
根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =
，可得()21ln x
f x x
-'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，
因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1
x g x e
-=，可得()1
e
0x g x -'=>，()g x 单调递增，
因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，
根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，
直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为0
2
1ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -=
=-，可得00
21
00
ln 1ln x x x x -=
，解得0x =，
所以1
2k e =
=，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3x
y e
=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122
y x =
-过点()1,0，斜率为1
2，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，
明显不满足，排除D. 故选：AB.
【点睛】
对于函数的新定义试题：
（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；
（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.
7．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0x C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】
逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】
对于A ：当1a =时，()sin x
f x e x =+，(),x π∈-+∞，
所以(0)1f =，故切点为()0,1，
()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '
==，
故直线方程为()120y x -=-，
即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确； 对于B ：当1a =时，()sin x
f x e x =+，(),x π∈-+∞，
()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,x
f x e x x π''=->∈-+∞恒成立，
所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫
'=>
⎪⎝⎭
，
3344
33cos 044
2f e e π
π
π
π--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 所以存在03,42x ππ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝
⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0x
e x +=，则在()0,x π-上，()0
f x '<，()f x 单调递减，
在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；
对于 C 、D ：()sin x
f x e a x =+,(),x π∈-+∞，
令()sin 0x
f x e a x =+=得：1sin x x a e
-=， 则令sin ()x
x
F x e =
，(),x π∈-+∞，
)cos sin 4()x x x x x F x e e π
--'==
，令()0F x '=，
得：4
x k π
π=+，1k ≥-，k Z ∈，
由函数)4
y x π
=-图象性质知：
52,244x k k ππππ⎛⎫
∈++ ⎪⎝⎭
)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减，
52,2244x k k πππππ⎛⎫
∈+++ ⎪⎝⎭
)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，
所以当524x k π
π=
+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44
x ππ=-
时，()F x 取得极小值， 又
354
4
35sin sin 44
e
e
ππ
ππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<
，即3544
F F ππ
⎛⎫⎛⎫
-
<< ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
,
又因为在3,4ππ⎛⎫--
⎪⎝
⎭，sin ()x x
F x e
=单调递减，
所以343()4
F x F e π
π
⎛⎫
≥=
⎪⎝⎭
，
所以24x k ππ=+
，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值， 即当944
x ππ=、， 时，()F x 取得极大值. 又
9449sin sin 44e e ππ
ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即(
)442F x F e π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
当(),x π∈-+∞
时，344
()22e F x e ππ-≤≤，
所以当3
41e a π-<
，即4
a e > ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；
当3
412
e a π-=-时，即4a e π=时， 1=-y a 与sin x x y e
=的图象只有一个交点， 即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点，
故选项D 正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.
8．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ）
A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥
B ．若23a b e a e b +=+，则a b >
C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立
D ．2ln a a b b e e
-<恒成立 【答案】AD
【分析】
对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩
22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln 1-≥
-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x
恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩
时取等号，故D 错误. 【详解】
A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b
设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b
由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误.
B. 232+=+>+a b b e a e b e b
设()2x
f x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln
1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a
又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b b a ，C 正确 D. max 1=⇒=x x y y e e
当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e
； 所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩
时取等号，D 错误. 故选：AD
【点睛】
本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.。