【名师导学】春高中数学 第二章 圆锥曲线与方程(含解析)苏教版选修1-1

第1课时圆锥曲线
教学过程
一、问题情境
2011年9月29日,中国成功发射了“天宫一号”飞行器,你知道“天宫一号”绕地球运行的轨迹是什么吗?
二、数学建构
椭圆是物体运动的一种轨迹,物体运动的轨迹有很多,常见的还有直线、圆、抛物线等.
一个平面截一个圆锥面,当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆.当我们改变平面的位置时,截得的图形也在发生变化.请观察图1.
(图1)
对于第一种情形,可在截面的两侧分别放置一个球,使它们都与截面相切(切点分别为F1,F2),且与圆锥面相切,两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2(如图2).
(图2)
设M是平面与圆锥面的截线上任一点,过点M作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P,Q 两点,则MP和MF1,MQ和MF2分别是上、下两球的切线.
因为过球外一点所作球的切线的长都相等,
所以MF1=MP,MF2=MQ,
故MF1+MF2=MP+MQ=PQ.
因为PQ=VP-VQ,而VP,VQ是常数(分别为两个圆锥的母线的长),所以PQ是一个常数.
也就是说,截线上任意一点到两个定点F1,F2的距离的和等于常数.
通过分析,给出椭圆的概念:
一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.
问题1为什么常数要大于F1F2?
解因为动点与F1,F2构成三角形,三角形的两边之和大于第三边,所以MF1+MF2>F1F2.
问题2若MF1+MF2=F1F2,动点M的轨迹是什么?
解线段F1F2.
问题3若MF1+MF2<F1F2,动点M的轨迹是什么?
解不存在.
双曲线的概念:
一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两个焦点的距离叫做双曲线的焦距.
说明:(1)常数要小于F1F2.
(2)若|MF1-MF2|=F1F2,动点M的轨迹是以F1,F2为端点向外侧的两条射线.
(3)若|MF1-MF2|>F1F2,动点M的轨迹不存在.
抛物线的概念:
一般地,平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
说明:定点F不能在定直线l上,否则所得轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线.
椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.
三、数学运用
【例1】已知定点P(0,3)和定直线l:y+3=0,动圆M过点P且与直线l相切,求证:圆心M的轨迹是一条抛物线. (见学生用书P15)
[处理建议]让学生仔细审题,作出图形,再引导学生对照抛物线的定义寻找相等关系,使问题得以解决.
[规范板书]证明设圆M的半径为r,点M到直线l的距离为d.
∵动圆M过点P且与l相切,∴MP=r,d=r,∴MP=d.
而点P不在l上,∴由抛物线的定义知圆心M的轨迹是一条抛物线.
(例2)
[题后反思]本题要紧扣抛物线的定义,主要注意两点:①到定点的距离等于到定直线的距离;②定点不在定直线上.
【例2】(教材第27页习题2.1第3题)如图,圆F1在圆F2的内部,且点F1,F2不重合,求证:与圆F1外切且与圆F2内切的圆的圆心C的轨迹为椭圆. (见学生用书P16)
[处理建议]让学生仔细审题,明确需要解决什么问题,再引导学生根据椭圆的定义寻找“到两定点的距离之和为定值”的关系,使问题得以解决.
[规范板书]证明设圆F1,F2的半径分别为r1,r2,动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t,CF2=r2-t,消去t得CF1+CF2=r1+r2(一个大于F1F2的常数),所以动圆圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.
[题后反思]要证明某点的运动轨迹,可以先考虑动点是否满足圆锥曲线的定义.本题要紧紧抓
住到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹是椭圆这一定义.
变式1如图,已知动圆C与圆F1,F2均外切(圆F1与圆F2相离),试问:动点C的轨迹是什么曲线?
(变式1)
[处理建议]从例2的解法中联想思考,寻找动点满足的几何性质是什么.
[规范板书]解双曲线的一支.证明如下:
设圆F1,F2的半径分别为r1,r2(r1>r2),动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t,CF2=r2+t,消去t得CF1-CF2=r1-r2(一个小于F1F2的正数),所以动圆圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的一支. [题后反思]应引导学生学会利用圆锥曲线的定义直接得出轨迹.本题还有其他方式的变式:当两圆相离时,动圆与两圆均内切或与一圆内切与另一圆外切,其动圆圆心的轨迹均为双曲线的一支.
变式2(1)动圆与圆C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4) 2+y 2=4都外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.
(2)动圆与圆C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4) 2+y 2=4都内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.
(3)动圆与圆C1:x 2+y 2=1内切,与圆C2:(x-4) 2+y 2=4外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.
(4)动圆与圆C1:x 2+y 2=1外切,与圆C2:(x-4) 2+y 2=4内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支. *【例3】已知圆F的方程为(x-2) 2+y 2=1,动圆P与圆F外切且和y轴相切.求证:动圆的圆心P 在一条抛物线上运动,并请写出这条抛物线的焦点坐标及准线方程.
[处理建议]因为要证明圆心P的轨迹是抛物线,所以可引导学生通过画图找到定点和定直线. [规范板书]证明设圆P的半径为r,它与y轴相切于T,则PF=r+1,PT=r,所以PF=PT+1,作直线l:x=-1,PT的延长线交直线l于A,则PF=PA,故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离,所以点P在以F(2,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.
[题后反思]三种圆锥曲线的概念都与距离有关:椭圆和双曲线的概念描述的都是点到点的距离;抛物线的概念描述的是点到点的距离,同时还有点到线的距离.圆与直线相切,能够联想到抛物线的条件.
变式点P到定点F(2,0)的距离比它到y轴的距离大1,求点P的轨迹.
[处理建议]引导学生考虑本题条件与哪种圆锥曲线的定义一致.
[规范板书]解过点P作PT⊥y轴,垂足为T,所以PF=PT+1,作直线l:x=-1,PT的延长线交直线l 于A,则PF=PA,故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离,所以点P在以F(2,0)为焦点、直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.
[题后反思]本题依然是属于动点到定点和到定直线的距离,但不相等的问题,关键是将不等关系转化为相等关系,可以培养学生类比推理、归纳猜想、转化等数学思维能力.[2]
四、课堂练习
1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0),则此双曲线的焦距为6.
2.已知点A(0,-2),B(2,0),动点M满足|MA-MB|=2a(a为正常数).若点M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,则常数a的取值范围为(0,错误！未找到引用源。

).
提示因为AB=2错误！未找到引用源。

,由双曲线的定义知0<2a<2错误！未找到引用源。

,即0<a<错误！未找到引用源。

.
3. 若动圆M过点(3,2),且与直线3x-2y-1=0相切,则点M的轨迹是抛物线.
4. 已知椭圆的两个焦点分别为F1,F2,O为F1F2的中点,P为椭圆上任一动点,取线段PF1的中点
Q,求证:动点Q的轨迹也是一个椭圆.
证明设PF1+PF2=m(定值),且m>F1F2,
则QF1+QO=错误！未找到引用源。

PF1+错误！未找到引用源。

PF2=错误！未找到引用源。

m>错误！未找到引用源。

F1F2=F1O,所以点Q的轨迹是一个椭圆.
五、课堂小结
1.圆锥曲线可通过平面截圆锥面得到.当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆;当平面平行于圆锥面的轴时,截得的图形是双曲线;当平面平行于圆锥面的母线时,截得的图形是抛物线;当平面既不平行、不垂直于圆锥面的轴也不平行于圆锥面的母线时,截得的图形是椭圆.
2.掌握三种圆锥曲线的定义,并注意:椭圆中常数大于两个定点间距离,双曲线中常数小于两个定点间距离.
3.会用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹.
第2课时椭圆的标准方程(1)
教学过程
一、问题情境
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们究竟是不是椭圆呢?
是否是椭圆应该看其是否符合椭圆的基本特征(性质),那么又该如何研究椭圆的性质呢?回忆解析几何研究问题的基本方法,研究椭圆,先建立椭圆的方程.
二、数学建构
回顾椭圆的概念:
一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.
特别地:
当MF1+MF2=F1F2时,动点M的轨迹是线段F1F2;
当MF1+MF2<F1F2时,动点M的轨迹不存在.
构建椭圆方程:
设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点到F1,F2的距离的和为2a(2a>2c).
以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图1),则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).
(图1)
设P(x,y)为椭圆上任意一点,根据椭圆的定义知
PF1+PF2=2a,
即错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=2a.[2]
将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a错误！未找到引用源。

+(x-c)2+y2,
即a2-cx=a错误！未找到引用源。

.
两边再平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,
整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).
因为a2-c2>0,所以可设a2-c2=b2(b>0),于是得b2x2+a2y2=a2b2,
两边同时除以a2b2,得错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0).
由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上.
这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为F1(-c,0),F2(c,0).
(图2)
问题1如果将椭圆的焦点建立在y轴上,即焦点为F1(0,-c),F2(0,c)(如图2),你能快速得出椭圆的方程吗?
解法一两个椭圆关于直线y=x对称,故只需要将方程错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0)中的x,y互换即可得到方程错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0).
解法二从定义出发,将错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=2a变换为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=2a.
可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).
设a2-c2=b2(b>0),于是得a2x2+b2y2=a2b2,
两边同时除以a2b2,得错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0).
所以,当焦点在y轴上时,我们可以得到焦点为F1(0,-c),F2(0,c)的椭圆的方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0).
以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).
问题2如何判断椭圆标准方程中焦点的位置?
解看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上.
巩固练习求下列椭圆的焦点坐标:
(1) 错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1;
(2) 16x2+7y2=112.
[规范板书]解(1) c2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(-3,0)和(3,0).
(2) 方程可化为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1,所以c2=16-7=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,-3)和(0,3).
[题后反思]求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化为标准形式.
三、数学运用
【例1】已知方程错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1表示焦点在x轴上的椭圆,求k的取值范围. (见学生用书P17)
[处理建议]引导学生思考焦点在x轴上的椭圆的标准方程满足的条件.
[规范板书]解因为椭圆焦点在x轴上,
故错误！未找到引用源。

所以7<k<10.
[题后反思]学生可能会忽视前两个条件(不等式),题目解答完毕注意总结此时应需要3个条件(不等式).
变式若上述方程表示一个椭圆,求k的取值范围.
[处理建议]让学生思考条件改变时,解题过程中哪个环节会发生变化.
[规范板书]解由题意可得错误！未找到引用源。

所以4<k<10且k≠7.
[题后反思]学生可能会进行分类直接得到结果,亦可能用上述方法解答,但会忽视第三个条件,此时不妨反问:若k-4>0,10-k>0,k-4=10-k,则方程表示的曲线是什么?答:圆.[3]
【例2】(根据教材第30页练习第2题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) a=4,b=3,焦点在x轴上;
(2) b=1,c=错误！未找到引用源。

;
(3) 两个焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),且过点P(2,-3). (见学生用书P18)
[处理建议]引导学生首先分析焦点的位置,然后再找出标准方程中a,b的值.
[规范板书]解(1) 因为焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1.
(2) 因为b=1,c=错误！未找到引用源。

,所以a2=b2+c2=16,
①当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+y2=1;
②当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+x2=1.
(3) 由题意知椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0),
所以错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

所以椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1.
[题后反思]椭圆的标准方程中只有两个参量,因此只需要两个条件就可以求出椭圆的标准方程,而a,b,c三个量之间的关系是知二求一.[4]
【例3】(教材第29页例2)将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线.(见学生用书P18)
[处理建议]先让学生直观感受变换后的曲线形状,再探究如何解决问题.
[规范板书]解设所得曲线上任一点的坐标为(x,y),圆x2+y2=4上的对应点的坐标为(x',y'),由题意可得错误！未找到引用源。

因为x'2+y'2=4,所以x2+4y2=4,即错误！未找到引用源。

+y2=1.
这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆.
[题后反思]学生很容易得到变换后的曲线是椭圆,但无法从定义给出证明,引导学生从方程的角度考虑问题,从而进一步说明解析几何研究问题的方法是从方程的角度来研究的.本例求变换后所得曲线方程采用的方法是“坐标转移法”,即利用中间变量求曲线方程.
*【例4】(教材第31页例1)已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m,求这个椭圆的标准方程.
[处理建议]引导学生先建立合适的直角坐标系,设出椭圆的标准方程,根据题意得到椭圆方程中的基本量.
[规范板书]解以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图).
(例4)
设这个椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0).
根据题意知2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2,
所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81.
因此,这个椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1.
[题后反思]本题是为了巩固对椭圆的标准方程的理解.在没有已知坐标系的情况下,需要建立合适的坐标系.
四、课堂练习
1.求下列椭圆的焦点坐标:
(1) 错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1;
(2) 3x2+4y2=12.
解(1) 焦点坐标分别为(0,-3)和(0,3).
(2) 焦点坐标分别为(-1,0)和(1,0).
2. 若方程错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(4,5).
提示因为椭圆的焦点在y轴上,所以错误！未找到引用源。

解得4<k<5.
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) a=错误！未找到引用源。

,c=1;
(2) 两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),且b=1;
(3) 焦点在y轴上,焦距为4,且经过点M(3,-2错误！未找到引用源。

).
解(1) 因为a=错误！未找到引用源。

,c=1,所以b2=a2-c2=4.
①当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1;
②当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1.
(2) 由题意知椭圆的焦点在x轴上,且c=2,b=1,所以a2=5.
所以椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+y2=1.
(3) 因为椭圆的焦点在y轴上,故可设椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0),且c=2.
所以错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

所以椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1.
五、课堂小结
1. 椭圆的标准方程有两种形式:
①焦点在x轴上:错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0);
②焦点在y轴上:错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0).
2. 注意椭圆的标准方程中“标准”的含义:
①椭圆的中心在坐标原点;
②椭圆的焦点在坐标轴上(两个焦点均在x轴上或均在y轴上);
③椭圆的标准方程有两种形式,即焦点在x轴上的方程以及焦点在y轴上的方程.
第3课时椭圆的标准方程(2)
教学过程
一、数学运用
【例1】求经过点(-错误！未找到引用源。

,1),(-错误！未找到引用源。

,-错误！未找到引用源。

)
的椭圆的标准方程. (见学生用书P19)
[处理建议]可分两种情况分别设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程和焦点在y轴上的椭圆的标准方程,代入点坐标求出a,b的值;在不明确焦点位置的情况下,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).
[规范板书]解法一①当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0),则错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

所以所求椭圆的标准方程是错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1.
②当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0),则错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

不满足a>b>0,故舍去.
所以所求椭圆的标准方程是错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1.
解法二设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B),则错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

所以所求椭圆的标准方程是错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1.
[题后反思]解决此类问题最基本的方法是分类讨论.实际上解法二是对解法一中x2及y2的系数进行换元得到的.[1]
【例2】已知椭圆错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1的左、右焦点分别是F1,F2,PQ 是过F1的一条弦,求△PQF2的周长. (见学生用书P20)
[处理建议]请学生思考△PQF2的周长中包含哪些线段,这些线段与椭圆定义中的几何条件有哪些联系.
[规范板书]解由题意知a=5,c=3.P,Q是椭圆上的点,则PF1+PF2=2a=10,QF1+QF2=2a=10.
因此,△PQF2的周长为PQ+PF2+QF2=PF1+PF2+QF1+QF2=4a=20.
[题后反思]抓住椭圆的定义,因为定义中的几何条件就是椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a.若PQ是椭圆上不过焦点F1的一条弦,试问:△PQF2的周长是定值吗?
变式1若P是椭圆错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1上一点,F1,F2是它的两个焦点,Q(5,2),求△PQF2的周长l的取值范围.
[处理建议]将△PQF2的周长的最值转化为PQ+PF2的最值.
[规范板书]解因为△PQF2的周长l=PQ+PF2+QF2,又F2(3,0),所以QF2=2错误！未找到引用源。

,所以△PQF2的周长取最小值时PQ+PF2也取最小值,易得PQ+PF2>QF2=2错误！未找到引用源。

,所以l>4错误！未找到引用源。

.
因为在椭圆中PF1+PF2=2a,所以PF2=2a-PF1,所以PQ+PF2=PQ+2a-PF1=PQ-PF1+2a,所以PQ+PF2取最大值时PQ-PF1也取最大值,易得PQ+PF2=PQ-PF1+2a<QF1+2a=2错误！未找到引用源。

+10. 所以l<2错误！未找到引用源。

+2错误！未找到引用源。

+10.
综上,4错误！未找到引用源。

<l<2错误！未找到引用源。

+2错误！未找到引用源。

+10.
变式2已知M(2,2),N(3,0)是椭圆错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1内两点,P 是椭圆上一点,求PM+PN的最大值与最小值.
[规范板书]解设椭圆的左焦点为F1.
因为在椭圆中PF1+PN=2a,所以PN=2a-PF1,
所以PM+PN=PM+2a-PF1=PM-PF1+2a.
又因为|PM-PF1|≤MF1,
所以-MF1≤PM-PF1≤MF1,又MF1=错误！未找到引用源。

,
所以-错误！未找到引用源。

≤PM-PF1≤错误！未找到引用源。

,
所以10-错误！未找到引用源。

≤PM+PN≤10+错误！未找到引用源。

,
所以PM+PN的最大值为10+错误！未找到引用源。

,最小值为10-错误！未找到引用源。

. [题后反思]进一步理解椭圆定义中的几何条件是焦半径的一种重要的转化方式,同时也是对
此知识点的巩固训练.[2]
(例3)
【例3】如图,P是椭圆错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1上一点,F1和F2是其焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积. (见学生用书P20)
[处理建议]请学生思考:椭圆定义中能用到的几何条件有哪些?△F1PF2的面积又该如何表示才能与已知条件联系起来?
[规范板书]解在椭圆错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1中,a=错误！未找到引用源。

,b=2,所以c=错误！未找到引用源。

=1.又因为点P在椭圆上,
所以PF1+PF2=2a=2错误！未找到引用源。

. ①
由余弦定理知P错误！未找到引用源。

+P错误！未找到引用源。

-2PF1·PF2·cos30°=F1错误！未找到引用源。

=(2c)2=4. ②
①式两边平方得P错误！未找到引用源。

+P错误！未找到引用源。

+2PF1·PF2=20.③
③-②得(2+错误！未找到引用源。

)PF1·PF2=16,
所以PF1·PF2=16(2-错误！未找到引用源。

),
所以错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

PF1·PF2sin30°=8-4错误！未找到引用源。

. 变式如图,已知椭圆E:错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0)的焦点为F1与F2,点P在椭圆上,∠F1PF2=θ.
求证:△PF1F2的面积S=b2tan错误！未找到引用源。

.
(变式)
[处理建议]由特殊到一般,问题的处理方式基本相同.
[规范板书]证明设PF1=r1,PF2=r2,则S=错误！未找到引用源。

r1r2sinθ,又F1F2=2c,
由余弦定理有(2c)2=错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

-2r1r2cosθ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cosθ=(2a)2-2r1r2(1+cosθ),
于是2r1r2(1+cosθ)=4a2-4c2=4b2,
所以r1r2=错误！未找到引用源。

.
这样即有S=错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

sinθ=b2错误！未找到引用源。

=b2tan 错误！未找到引用源。

.
[题后反思]解与△PF1F2(P为椭圆上一点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合PF1+PF2=2a来解决.有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设PF1=r1,PF2=r2,则S=错误！未找到引用源。

r1r2sinθ.若能消去r1r2,问题即可解决.
*【例4】已知P是椭圆错误！未找到引用源。

+y2=1上的任意一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点.
(1) 求PF1·PF2的最大值;
(2) 求PF错误！未找到引用源。

+PF错误！未找到引用源。

的最小值;
(3) 求∠F1PF2的最大值.
[处理建议]让学生思考:已知的几何条件是什么?要求的是两焦半径之积的最值,两者如何建立联系?
[规范板书]解由题意知a=2,b=1,所以c=错误！未找到引用源。

,PF1+PF2=2a=4.
(1) PF1·PF2≤错误！未找到引用源。

=4;
(2) PF错误！未找到引用源。

+P错误！未找到引用源。

≥错误！未找到引用源。

=8;
(3) 因为cos∠F1PF2=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

-1,
由(1)知PF1·PF2≤4,所以cos∠F1PF2≥错误！未找到引用源。

-1=-错误！未找到引用源。

,当且仅当PF1=PF2时“=”成立,即P为椭圆短轴的一个端点.
又因为∠F1PF2∈[0,π),所以∠F1PF2的最大值为120°.
[题后反思]运用余弦定理处理焦点三角形也是焦半径问题中常用的方法之一,结合基本不等式可以得到关于焦半径表达式的取值范围,同时也为后面求离心率的取值范围作铺垫.强调∠F1PF2取最大值时点P的位置在椭圆短轴的端点处.
变式已知椭圆错误！未找到引用源。

+y2=1(a>1)的焦点是F1,F2,若椭圆上存在一点P,满足PF1⊥PF2,求a的取值范围.
[规范板书]解设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2=4(a2-1).
又m2+n2≥错误！未找到引用源。

,所以4(a2-1)≥2a2,所以a2≥2,所以a的取值范围是[错误！未找到引用源。

,+∞).
[题后反思]训练学生利用基本不等式寻求椭圆基本量的不等关系,从而得到a的取值范围.
二、课堂练习
1.根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1) 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

,过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;
(2) 经过点A(0,2)和B错误！未找到引用源。

.
解(1) 设椭圆的标准方程是错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1或错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0).
由题意知2a=PF1+PF2=2错误！未找到引用源。

,所以a=错误！未找到引用源。

.
在方程错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1中令x=±c,得|y|=错误！未找到引用源。

;
在方程错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1中令y=±c,得|x|=错误！未找到引用源。

.
依题意并结合图形知错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,所以b2=错误！未找到引用源。

,
即椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1或错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1.
(2) 设经过点A(0,2),B错误！未找到引用源。

的椭圆的方程为mx2+ny2=1,则错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

所以椭圆的标准方程为x2+错误！未找到引用源。

=1.
2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆错误！未找到引用源。

+y2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边BC上,则△ABC的周长是4错误！未找到引用源。

.。