高中数学选修23第二章章节总结计划

高中数学选修 2-3第二章总结
一、知梳理
条件概率与事件的独立性
〔1〕条件概率:一般地，假设有两个事件A 和B ，在事件B 生的条件下考事件A 生的概率，称此概率B 已生的条件下A 的条件概率，P(A ︱B).一般地，假设P 〔B 〕>0，事件B 已生的条件下A 生
的条件概率是P(AB)
P(AB) P(AB)P(AB)P(B)
P(B)
〔2〕事件的独立性:A,B 两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B), 称事件A 与事件B 相互独立 A B
〕
.事件〔或 是否生事件B 〔或A 〕生的概率没有影响，的两个事件叫做相互独立事件 假设A 与 B 是相互独立
事
件，A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立相互独立事件同生的概率：
P(AB)
P(A)P(B)
两个相互独立事件同生的概率，等于每个事件生的概率的 一般地，如果事
件
A 1,A 2,L ,A n 相互独
立，
那么n 个事件同生的概率，等于每个事件生的概率的，即
P(A 1A 2
L A n ) P(A 1)P(A 2)LP(A n )
〔3〕独立重复性:独立重复的定：指在同条件下行的，各次之相互独立的一种
独立重复的概率公式： 一般地，如果
在
1次中某事件生的概率是 P ，那么在n 次独立重复中
个事件恰好生k 次的概率P n (k)C n k P k (1 P)nk ．它是(1 n
P)P 展开式的第k1
离散型随机量的二分布
:在一次随机中，某事件可能生也可能不生，在
n 次独立重复
中个事件生的次数 ξ是一个随机量． 如果在一次中某事件生的概率是
P ，那么在n 次独立重复
中个事件恰好生
k 次的概率是P n ( k) C n k
p k q nk
，〔k ＝0,1,2,⋯，n ，q
1p 〕．
于是得到随机量 ξ的概率分布如
下：
ξ 0
1
⋯ k ⋯
n P
C n 0
p 0q n
C n 1p 1q
n1
⋯ C n k p k q
nk
⋯
C n n p n q 0
由于C n k p k
q nk
恰好是二展开式
(q p)n C n 0p 0q n
C n 1p 1q n 1
C n k p k q nk
C n n p n q 0
中的各的，所以称的随机量
ξ服从二分布，
作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 参数，并
C n k
p k q nk
＝b(k ；n ，p)．
2.离散型随机量
〔1〕离散型随机量:随着果化而化的量称随机量．随机量常用字母 X,Y ，，，⋯表
示．在此基之上所有取可以一一列出的随机量，称离散型随机量
. 〔2〕离散型随机量分布
列
:离散型随机量ξ可能取得x1，x2，⋯，x3，⋯，ξ取每一个xi 〔i=1， 2，⋯〕的概率P(x i )
p i ，称表 ξ
x1 x2 ⋯ xi ⋯ P
P P ⋯
P ⋯
1
2
i
随机量的概率分布，称分布列
离散型随机量分布列的两个性：
任何随机事件生的概率都足 :0 P(A) 1，并且不可能事件的概率
0，必然事件的概率1．由此你可以得出离散型随机量的分布列都具有下面两个性：⑴P i≥0，i＝1，2，⋯；
⑵P1+P2+⋯=1．于离散型随机量在某一范内取的概率等于它取个范内各个的概率的和即
P(x k)P(x k)P(x k1)
〔3〕离散型随机量的数学期望与方差:均或数学期望:一般地，假设离散型随机量ξ的概率分布
ξx1x2⋯x n⋯
P p1p2⋯p n⋯
称E x1p1x2p2⋯x n p n⋯ξ的均或数学期望，称期望．
均或数学期望是离散型随机量的一个特征数，它反映了离散型随机量取的平均水平
平均数、均:一般地，在有限取离散型随机量ξ的概率分布中，令p1p2⋯p n，有
p1p2p n 1
(x1x2x n)
1
⋯，E⋯，所以ξ的数学期望又称平均数、均
n n
均或期望的一个性:假设a b(a、b是常数)，ξ是随机量，η也是随机量，它的分布列
ξx
1x⋯x
n
⋯2
ηax1b ax2b⋯ax n b⋯
P p1p2⋯p n⋯
于是E(ax1b)p1(ax2b)p2⋯(ax n b)p n⋯
＝a(x1p1x2p2⋯x n p n⋯)b(p1p2⋯p n⋯)＝aE b，由此，我得到了期望的一个性:E(a b)aE b假设ξ:B〔n,p〕，Eξ=np
明如下：∵P(k)C n k p k(1p)n k C n k p k q n k，
E0×C n0p0q n＋1×C1n p1q n1＋2×C n2p2q n2＋⋯＋k×C n k p k q nk＋⋯＋n×C n n p n q0．
又∵kC n k k n!n(n1)!
1)]!nC n k11，
k!(nk)!(k1)![(n1)(k
∴Enp(C n01p0q n1＋C n11p1q n2＋⋯＋C n k11p k1q(n1)(k1)＋⋯＋C n n11p n1q0)np(p q)n1np 故假设ξ～B(n，p)，E np．
ξ01 3．常用的分布〔1〕两点分布随机量X的分布列是P1p p 像上面的分布列称两点分布列．EX1p,DX p(1p)
〔2〕二分布:在一次随机中，某事件可能生也可能不生，在n次独立重复中个事件生
的次数ξ是一个随机量．如果在一次中某事件生的概率是P，那么在n次独立重复中个事件恰
好生k次的概率是P n(k)C n k p k q n k，〔k＝0,1,2,⋯，n，q1p〕．
于是得到随机量ξ的概率分布如下：
ξ01⋯k⋯n
P C n0p0q n C n1p1q n1⋯C n k p k q nk⋯C n n p n q0
称的随机量ξ服从二分布，作ξ～B(n，p)其中n，p参数，并C n k p k q nk＝b(k；n，p)．
EX np,DX np(1p)
〔3〕超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件品中，任取n件，其中恰有X件次品数，事件{X=k｝生的概率
P(X k)C M k C N nk M,k0,1,2,L,m,其中m min{M,n}，且n N,M N,n,M,N N．称分布列
C N n
X01⋯m
P C M0C N n M C M1C N n1M
⋯
C M m C N nm M C N n C N n C N n
超几何分布列．如果随机量X的分布列超几何分布列，称随机量X服从超几何分布.
EX nM
,DX nM(1M)N n N N N N1
4．正分布
体密度曲:本容量越大，所分数越多，各的率就越接近于体在相各取的概率．想本容量无限增大，分的距无限小，那么率分布直方就会无限接近于一条光滑曲,条曲叫做体密
度曲．
频率/组距总体密度曲线
单位
O
a b
它反映了体在各个范内取的概率．根据条曲，可求出体在区(a，b)内取的概率等于体
密度曲，直x=a，x=b及x所形的面．
察体密度曲的形状，它具有“两低，中高，左右称〞的特征，具有种特征的体
1(x)2
e22(,)
密度曲一般可用下面函数的象来表示或近似表示：,(x),x
2
式中的数、(0)是参数，分表示体的平均数与准差，,(x)的象正分布密度曲
,称正曲．一般地，如果于任何数a b，随机量X足P(a X B)b
,(x)dx, a
称X的分布正分布．正分布完全由参数和确定，因此正分布常作N(,2)．如果随机量X服从正分布，X～N(,2).
说明，一个随机量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用果之和，它就服从或近似
服从正分布．
〔1〕正分布N( ,2)〕是由均μ和准差σ唯一决定的分布
通固定其中一个，均与准差于正曲的影响
〔2〕通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的根本特征是两头底、中间高、左右对称
正态曲线的作图，
书中没有做要求，教师也不必补上
讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结
合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质
〔3〕正态曲线的性质：①曲线在
x 轴的上方，与 x 轴不相交②曲线关于直线x=μ对称
③当x=μ时，曲线
位于最高点④当x ＜μ时，曲线上升〔增函数〕；当 x ＞μ时，曲线下降〔减函数〕
并且当曲线向左、右两
边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近
⑤μ一定时，曲线的形状由σ确定
σ越大，曲线越“矮胖〞，
总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高〞．总体分布越集中：
五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原那么，采用比照教学
1
x 2
〔4〕．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是
e
2，
f(x)
2
〔-∞＜x ＜+∞〕其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N 〔0，1〕在正态总体的研究中占有重要的地位
任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题
二、典型习题讲解
1．人忘记了 号码的最后一个数字， 因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复， 试求以下事件的概率：
1〕第3次拨号才接通 ；
2〕拨号不超过3次而接通
解：设A i
{第i 次拨号接通
}，i1,2,3
〔1〕第3 次才接通 可表示为
A 1A 2A 3
于是所求概率为
P(A 1A 2A 3)
9 8 1 1;
10 9 8 10
〔2〕拨号不超过
3次而接通 可表示为： A 1 A 1A 2 A 1A 2A 3于是所求概率为
P(A 1A 1A 2A 1A 2A 3)P(A 1)P(A 1A 2)P(A 1A 2A 3)1
9 1 9 8 1 3.
10 10 9 10 9 8 10
2．出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率
都是
1
. 3
〔1〕求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； 〔2〕求这位司机在途中遇到红灯数
ξ的期望和方差
解：〔1〕因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以
P(1
1
)(1 1)
1 4.
3
3
3
27
1
〔2〕易知
~B(6, ).
1
2.D6
1
(11
) 4.
∴
E 6
3 3 3 3
3．奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字 2，2个小球上标有数字 5，现摇出3个小球，规定所得奖金〔元〕
为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望
解：设此次摇奖的奖金数额为 元，当摇出的 3个小球均标有数字 2时， 6；
当摇出的
3个小球中有 2个标有数字 2，1个标有数字 5时，
9 ；
当摇出的 3 个小球有 1 2
， 2 个标有数字 5
时，
12
个标有数字
所以P(
6) C 83
7 P(
9)
C 82C 21 7
P( 12)
C 81
C 22 1 E
6(
7
9 7 12 1
39)
C 103 15
C 103
15
C 103
15
15 15 15
5
答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是
39元
5
4
某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：
语文为 ，数学为，英语为
，
问一次考试中〔Ⅰ〕三科成绩均未获得第一名的概率是多少〔Ⅱ〕恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少
解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为
A,B,C ，那么P(A)
0.9,P(B) 0.8,P(C)
[1 P(A)][1P(B)][1
P(C)]
〔Ⅰ〕P(AB
C)
P(A) P(B) P(C) (1 0.9)(1 0.8)(10.85)
答：三科成绩均未获得第一名的概率是
〔Ⅱ〕〔P(ABC
ABC ABC)〕
P(ABC) P(ABC)
P(ABC)
P(A)P(B)P(C) P(A)
P(B)P(C)
P(A) P(B)P(C)
[1 P(A)]P(B)P(C) P(A)[1
P(B)]P(C)P(A)P(B)[1
P(C)]
(1 0.9)
(1 0.8)
(1 0.85)
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是
5
如图，A,B 两点之间有
6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为
1,1,2,2,3,4
现从中任取三条网线
且使每条网线通过最大的信息量
〔I 〕设选取的三条网线由
A 到
B 可通过的信息总量为 x ，当x 6时，
那么保证信息畅通 求线路信息畅通的概率；
〔II 〕求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望
解：〔I 〕1
1 41
2 3 6,
P(x
6) 1 C 21 C 21 1
C 6
3
4
1
2 4 2 2
3 7, P(x
5
1
7)
4
20 1
3 4 2 2 4 8, P(x
3
8)
20
2
3 4 9, P(x
9) 2
1
20
10
P(x
6)
1 1 3 1 3
4 4
20 10
4
〔II 〕
1124,P(x4)
1
3
,1131225,P(x5)
10
20
∴线路通过信息量的数学期望
1
3
1
1
3
9
1
4
5
6
7
8
10
10
20 4 4 20
3
答：〔I 〕线路信息畅通的概率是 〔II 〕线路通过信息量的数学期望是4
6三个元件T 1,T 2,T 3正常工作的概率分别为
1 , 3 , 3 ,将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路
2 4 4
〔Ⅰ〕在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少
〔Ⅱ〕三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大请画出此时电路图，并说明理由
解：记“三个元件 T 1,T 2,T 3正常工作〞分别为事件
A 1,A 2,A 3，那么P(A 1)
1
,P(A 2)
3
,P(A 3)
3.
2 4
4
〔Ⅰ〕不发生故障的事件为
(A 2 A 3)A 1
∴不发生故障的概率为
P 1 P[(A 2 A 3)A 1] P(A 1A 3)P(A 1)
[1 P(A 2) P(A 3)] P(A 1)
[1 1 1 1 15 4 ]
2 32
4
〔Ⅱ〕如图，此时不发生故障的概率最大 证明如下：
图1中发生故障事件为 (A 1 A 2)A 3∴不发生故障概率为
P 2P[(A 1A 2)A 3]P(A 1A 2) P(A 3)[1P(A 1)P(A 2)]P(A 3)
21
P 1
P 2
32
图2不发生故障事件为
(AA 3)A 2 ，同理不发生故障概率为
P 3 P 2
P
1
1
要制造一种机器零件，甲机床废品率为，而乙机床废品率为，而它们的生产是独立的，从它们制造
的产品中，分别任意抽取一件，求：〔 1〕其中至少有一件废品的概率；〔 2〕其中至多有一件废品的概率
解：设事件A “从甲机床抽得的一件是废品〞； B “从乙机床抽得的一件是废品〞 那么P(A)
1〕至少有一件废品的概率
（ 2〕至多有一件废品的概率
P(AB) 1P(AB)1P(A)P(B)
1
P
P(AB A B A
B)
8 甲乙两人独立解某一道数学题，该题被甲独立解出的概率为 ，被甲或乙解出的概率为 ，
〔1〕求该题被乙独立解出的概率；〔2〕求解出该题的人数的数学期望和方差
解：〔1〕记甲、乙分别解出此题的事件记为A,B设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2
P(A B)1P(AB)1(1P1)(1P)PP2PP
2
211
P22
那么P2即P2
那么
P(A)P10.6,P(B)P2(2)P(0)P(A)P(B)
P(1)P(A)P(B)P(A)P(B)
P(2)P(A)P(B)
的概率分布为:
E012
D(0 1.4)2(1 1.4)2(2 1.4)2
012或利用D E(2)(E)2P
E发生，该公司
9某保险公司新开设了一项保险业务，假设在一年内事件
要赔偿a元设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金
解：设保险公司要求顾客交x元保险金，假设以表示公司每年的收益额，那
么是一个随机变量，其分布列为：
x xa
P1p p
因此，公司每年收益的期望值为E x(1p)(x a)p xap
为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E，即xap，故可得x a(p0.1)
即顾客交的保险金为a(p 0.1)时，可使公司期望获益
10有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，那么这批食品不能出厂每项指标抽
检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是
求这批产品不能出厂的概率(保存三位有效数字)；
(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保存三位有效数字)
解：(1)这批食品不能出厂的概率是：5C514
(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：P C
13
14
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：P2C413由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P P1P2C143
11 高三〔1〕班、高三〔2〕班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛比赛规那么是：①按“单打、双打、单打〞顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛已
知每盘比赛双方胜出的概率均为1
.〔Ⅰ〕根据比赛规那么，高三〔1〕班代表队共可排出多少种不同的出场阵2
容〔Ⅱ〕高三〔1〕班代表队连胜两盘的概率是多少
解：〔I〕参加单打的队员有A32种方法参加双打的队员有C21种方法
所以，高三〔1〕班出场阵容共有A2C112〔种〕
32
〔II〕高三〔1〕班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，所以，连胜两盘的概率为111113.
222228
袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求以下事件发生的概率
摸出2个或3个白球(2)至少摸出一个黑球
解：〔Ⅰ〕设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件C52C323C52C31
A,B，那么P(A),P(B)
C847C84
∵A,B为两个互斥事件∴P(AB)
6
即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为P(A)P(B)
7
〔Ⅱ〕设摸出的4个球中全是白球为事件C
C541C
的对立事件，那么P(C)至少摸出一个黑球为事件
C8414
113其概率为1
14
143 7 6 7。