青岛版(五四)数学九年级上专题十二 圆中的多解问题.docx

专题十二 圆中的多解问题
一、知识要点
1、圆是一种“完美”的图形，它既是轴对称图形又是中心对称图形，更具有旋转不变性。

由圆的对称性
引出的性质和定理在计算圆心角、圆周角、弦、弦心距、切线等知识时要结合图形考虑多解问题；
2、 点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系是多解问题的重点；
3、和圆有关的动态问题要考虑多解。

二、例题精选
例1：（1）一条弦分圆周为9：11，这条弦所对的圆周角的度数是 ；
（2）半径为5的圆中有一条长为53的弦，这条弦所对的圆周角等于 度；
（3）⊙O 的半径为5㎝，弦AB ∥CD ，AB ＝6㎝，CD ＝8㎝，则AB 与CD 之间的距离是 ；
（4）半径为1的圆中，弦AB ，AC 的长分别是2，3，则∠BAC 等于 度；
（5）在同一平面内，点P 到⊙O 的最长距离为8㎝，最短距离为2㎝，则⊙O 的半径为 ；
（6）圆内有一点P ，过P 的最短弦长4cm ，最长弦长15cm ，过P 有 条整数弦；
（7）半径为25和39的两圆相交，公共弦长30，则两圆的圆心距是 。

：已知例2⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，点C 是优弧AMB 上一点，且.222BC OB AB =+求∠OAC
度数。

解题思路：由于点C 的位置没有确定，在画出一个点的位置时；要考虑第二个点C 的位置。

所以∠OAC 的
度数是150 或750 。

例3：已知⊙0的直径AB=10，弦CD 中的点C 到AB 的距离为3，点D 到AB 的距离离为4，则圆心O 到弦
CD 的距离=_________。

解题思路：由于弦CD 的位置不确定，所以有如图（1）和（2）两种情况，
过点O 作OH ⊥CD 垂足为H ，连接OC 、OD ，由垂径定理可知，CH=DH 。

（1）点C 、点D 在直径AB 的同侧，
ODF Rt ∆中，
在c 1E H D F O B C A D H C B F O E A 图 9(2)(1)
A
3452222=-=-=DF OD OF
在OCE RT ∆中，4352222=-=-=CE OC OE ，
过点H 作AB HG ⊥于G ，∴FG EG =，∴3.52C E D F
HG +=
=，5.0=-=OF FG OG ，在OHG Rt ∆中22
522=+=HG OG OH 。

（2）点C 、点D 在直径AB 的两侧时，
求得3=OF ，4=OE ，7=EF ，不难得到CEM ∆∽DFM ∆，由3=CE ,DF=4, ∴3=EM , MF=4，∴241=⇒=DE OM
又因为MHO ∆∽MFD ∆，DF OH DE OM = 4241OH =∴22
1=OH 。

综上所述圆心O 到弦CD 的距离为
225或221。

例4：如图，点A 、B 在直线MN 上，AB=11cm ，⊙A 、⊙B 的半径均为1cm ，⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右
运动，运动时间为t （秒）（t ≥0）
（1）试写出圆心A 、B 之间的距离d （cm ）与时间t （秒）之间的函数表达式
（2）若圆心A 运动的同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （cm ）与时间t （秒）之间的关系为r=1+t （t
≥0），问点A 出发多少秒时，两圆相切？
解题思路：（1）d 只受AB 位置的影响，所以得AB 两种不同的位置关系，逐一解决 解：（略） ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛>-⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=2111122110211t t t t d （2）明确对象：圆与圆的位置关系；
确定关键元素：圆心距和两圆半径
确定位置关系：相切分为内切和外切，又由于AB 位置的变化，故有四种不同的情况，即：由左至右分别
是外切、内切、内切、外切，逐一求解
解：（略）3秒（外切）、13（外切）秒，
311秒（内切）、11秒（内切） 例5：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900 ，AC=6cm ，BC=8cm ，P 为BC 的中点，动点Q 从点P 出发，沿射线
M _
PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆。

设点Q运动时间为t(s)。

（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙Q相切，求t的值。

解题思路：（1）证明直线与圆的位置关系，只要得出圆心到直线的距离等于圆的半径即可，既直线AB与⊙P相切；
（2）因为点P在⊙O的内部，所以只要考虑两圆内切就可以了。

t =1或4
三、能力训练
1、圆的弦长确好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是度。

2 cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离为。

2、圆的半径等于2，圆内一条弦长3
3、△ABC内接于⊙0，∠AOB=1000，则∠ACB=______度。

4、PA、PC分别切⊙0于A、C两点，B为⊙0上与A、C不重合的点，若∠P=500，则∠ABC=___________度
5、AB，AC是⊙0的两条弦，且∠BAC=480，M，N分别是AB，AC的中点，则∠MON= 度。

6、两圆相切，圆心距是10㎝，其中一圆的半径为4㎝，则另一圆的半径是。

7、⊙01的半径为2cm，⊙02的半径为5cm，两圆没有公共点，则两圆的圆心距的取值范围为________。

8、已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A.相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能
9、已知：在⊙O中，半径为5，圆内一点A，OA=2，直线l⊥直线OA于点B，且AB=3，则直线l与⊙O的关系是（）
A.相交
B. 相切
C. 相离
D. 相交或相切
10、半径为1cm和2cm两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
11．如图3，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O
上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12、已知圆O的直径AB=10cm，CD为圆O的弦，且点C，D到AB的距离分别为3cm和4cm，则满足上述条件的CD共有（）
A.8条
B.12条
C.16条
D.以上都不对
四、思维拓展
13、平面上有三个点，则可以确定几个圆？有四个点呢？有五个点呢？若有n个点，则最多可以确定几个圆？
14、已知圆内接三角形ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。

15、已知⊙O的半径为1，以O为原点建立直角坐标系，直线y=x-5经过怎样平移，与圆相切
16. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在圆O上，且∠AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的度数。

17、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC边上的动点（不与B重合）。

过点D作射线DE 交AB于E，使∠BDE=∠A。

（1）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数解析式并写出X的取值范围。

（2）以D为圆心，DC长为半径作⊙D，如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当⊙E与⊙D相切时，BD为多长？
18、在平面直角坐标系中，直线y kx b =+（k 为常数且k ≠0）分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，⊙O 半径为5
个单位长度．
若12
k =-，直线y kx b =+将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b 的值．（图乙供选用）
专题十二：圆中的多解问题答案
1、30°或1500
2、1或3cm
3、500或1300
4、650或1150
5、480或1320
6、6或14cm
7、d ＞7或O ≤d ＜3
8、D 9、D 10、D 11、C 12、A
13、分类：1、共线：0个；2、共圆：1个；3、不共线不共圆：4个
14、36或6
15、25+或25-
16、2． 400 ， 1000
17、（1）)60(556<<+-
=x x y （2）4
51655或 18、b 的值为54或54-，y ＝－12x ＋54，或y ＝－12x －54。

初中数学试卷
马鸣风萧萧。