高三数学诊断考试文科试题 (含答案解析)

数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
DDCAC CCBBA BD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．95 14．106.5 15．4
16．34
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：（Ⅰ）已知C B A tan 3
1tan 21tan ==， ∴ tan B =2tan A ，tan C =3tan A ，
在△ABC 中，tan A =-tan(B +C )=A
A A C
B
C B 2tan 61tan 3tan 2tan tan 1tan tan -+-=-+-， ……3分 解得tan 2A =1，即tan A =-1，或tan A =1． ……………………………………4分
若tan A =-1，可得tan B =-2，则A ，B 均为钝角，不合题意． ……………5分
故tan A =1，得A =4
π． …………………………………………………………6分 （Ⅱ）由tan A =1，得tan B =2，tan C =3，即sin B =2cos B ，sin C =3cos C ，
…………………………………………7分
结合sin 2B +cos 2B =1，sin 2C +cos 2C =1，
可得sin B =52
，sin C =103
， (负值已舍) ……………………………………9分
在△ABC 中，由B b A a sin sin =，得b =10252
2
52
sin sin =⨯=⋅a A B ， …………11分”” 于是S △ABC =21ab sin C =1510
3102521=⨯⨯⨯． ……………………………12分 18．解：（Ⅰ）根据题意得：a =40，b =15，c =20，d =25，
∴ 879.7249.845554060)20152540(1002
2
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ， ……………………………4分 ∴ 在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关． ……5分
（Ⅱ）根据题意，抽取的6人中，年轻人有=⨯660404人，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，中老年人=⨯660202人，分别记为B 1，B 2．…………………………7分
则从这6人中任意选取3人的可能有
(A 1，A 2，A 3)，(A 1，A 2，A 4)，(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，A 4)，
(A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)，(A 1，A 4，B 1)，(A 1，A 4，B 2)，(A 2，A 3，A 4)，
(A 2，A 3，B 1)，(A 2，A 3，B 2)，(A 2，A 4，B 1)，(A 2，A 4，B 2)，(A 3，A 4，B 1)，
(A 3，A 4，B 2)，(A 1，B 1，B 2)，(A 2，B 1，B 2)，(A 3，B 1，B 2)，(A 4，B 1，B 2)，
共20种，…………………………………………………………………………9分
其中，至少一个老年人的有
(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)，(A 1，A 4，B 1)，
(A 1，A 4，B 2)， (A 2，A 3，B 1)，(A 2，A 3，B 2)，(A 2，A 4，B 1)，(A 2，A 4，B 2)，
(A 3，A 4，B 1)， (A 3，A 4，B 2)，(A 1，B 1，B 2)，(A 2，B 1，B 2)，(A 3，B 1，B 2)，
(A 4，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)，
(A 1，A 4，B 1)，
共16种， ………………………………………………………………………11分
∴ 所求的概率为5
42016=． ……………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ b n+1)1(log 1))1(4[log )1(log 4414-+=-=-=+n n n a a a =1+b n ， ∴ b n+1-b n =1(常数)， …………………………………………………………3分
∴ 数列{b n }是以b 1=log 44=1为首项，1为公差的等差数列，
∴ b n =1+(n -1)×1=n ． …………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =n ，于是2
)1(+=n n S n ， ………………………………6分 于是(-1)n kb n <2S n +n +4等价于(-1)n kn <n 2+2n +4，
即等价于(-1)n 24++
<n
n k ．……………………………………………………7分 ∵ n 为正奇数，
∴ 原式变为2)4(-+->n
n k ， 令函数f (x )=2)4(-+-x x ，x >0，则222)2)(2(4)(x x x x x x f +--=-='， 当x ∈(0，2)时，0)(>'x f ，当x ∈(2，+∞)时，0)(<'x f ，
即f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，
由f (1)=-7<f (3)=319-
，即f (n )≥319-(n 为奇数)， ∴ k >3
19-． ……………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则D (x 0，0)，
∴ =(0，y 0)，=(x -x 0，y )，
由=，得0=2(x -x 0)，y 0=y 2，即y y x x 200==，， ………2分 又点P 在圆x 2+y 2=8上，代入得x 2+2y 2=8，
∴ 曲线C 的方程为：14
82
2=+y x ． …………………………………………4分 （Ⅱ）假设存在满足题意的点Q (x Q ，0) ．
设直线AB 的方程为y =k (x -2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
联立方程组得：⎩⎨⎧=-+-=，
，082)2(22y x x k y 整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-8=0， ∴ x 1+x 2=1
2822+k k ，x 1x 2=128822+-k k ， …………………………………………8分 ∵ k QA +k QB =02211=-+-Q
Q x x y x x y ， 将y 1=k (x 1-2)，y 2=k (x 2-2)代入整理得：
2x 1x 2-(x Q +2)(x 1+x 2)+4x Q =0， …………………………………………10分 即12161622+-k k -(x Q +2)×1
2822
+k k +4x Q =0， 化简得x Q =4，
故此时存在点Q (4，0)使得直线AQ ，BQ 的斜率之和为0．………………12分
21．解：（Ⅰ）对)(x f 求导可得a e x f x -=')(． …………………………………1分
∵ a >1，
于是由0)(>'x f 解得a x ln >，由0)(<'x f 解得a x ln <，
∴ )(x f 在(∞-，a ln )上单调递减，在(a ln ，+∞)上单调递增， …………3分 ∴ )(x f min =)(ln a f =1ln --a a a =1-2ln2．
令2ln 22ln )(+--=a a a a g ，则a a g ln )(-='，
由a >1知)(a g '<0，于是函数)(a g 在(1，+∞)单调递减，
又0)2(=g ，
∴ a 的值是2．…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a =2，2)(-='x e x f ， 故03)2)(21(03)()21(<++--⇔<++'-x e k x x x f k x x ，
变形得2
321-+>x x e xe k ．……………………………………………………………8分 令函数h (x )=)1(2
321>-+x e xe x x ，则2)2()421()(---='x x x e x e e x h ． 令函数)1(421)(>--=
x x e x x ϕ，则)1(0121)(>>-='x e x x Θϕ， 又0621)2(2<-=e ϕ，0721)3(3>-=e ϕ，
∴ 存在t ∈(2，3)，使得0)(=t ϕ．
当x ∈(0，t )，0)(<x ϕ，故0)(<'x h ，)(x h 在(1，t )单调递减；
当x ∈(t ，+∞)，0)(>x ϕ，故0)(>'x h ，)(x h 在(t ，+∞)单调递增．
故)()(min t h x h ==2
321-+t t e te ． …………………………………………………10分 又042
1)(=--=t e t t ϕ，故82+=t e t ， 故)()(min t h x h ==)1(21)3(2)3)(1(62342823)82(2123212+=+++=+++=-+++=-+t t t t t t t t t t e te t t ，
又t ∈(2，3)，故)223()1(21，∈+t ，
故正整数k 的最小值是2．……………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将直线l 的参数方程消去参数得
31=+x y ， 即l 的普通方程为013=--y x ．
将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2-2x -2y +1=0． …………5分
（Ⅱ）将⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-==，，t y t x 23121代入C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0中， 整理得04)132(2=++-t t ， 由韦达定理：41322121=⋅+=+t t t t ，， ……………………………………8分 16534)(2)(1111
2212122122212221222122+=-+=⋅+=+=+t t t t t t t t t t t t PB PA
故16
53411
22+=+PB PA ． …………………………………………………10分 23．解：(Ⅰ) m =1，212)(++-=x x x f
当x ≤21时，f (x )=3-x ，由f (x )<6解得x >-3，综合得-3<x ≤2
1， 当x >21时，f (x )=3x +1，由f (x )<6解得x <35，综合得21<x <3
5， 所以f (x )<6的解集是)3
53(，-． ………………………………………………5分 （Ⅱ）当x >2
1时，f (x )=(2+m )x +1． 当x ≤21时，f (x )=(m -2)x +3，要使得f (x )有最小值，则⎩
⎨⎧≤-≥+，，0202m m 解得-2≤m ≤2，且由图像可得，f (x )在x =21时取得最小值2
1m +2． y =-x 2+x +1在x =21时取得最大值4
5，方程f (x )=-x 2+x +1有两个不等实根， 则21m +2<45，解得m <-23．
综上所述，m 的取值范围为-2≤m <-
2
3． ……………………………………10分。