天津市2013届高三数学总复习之综合专题：三角函数(文)(教师版) 含答案

三角函数（文）
考查内容：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角的函数值、诱导公式、两角和公式、倍角公式、正余弦定理等基础知识,考查基本运算能力。

1、（2011天津卷文史类）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,。

已知
C B =，a b 32=.
（1)求A cos 的值。

（2)求)4
2cos(π+A 的值。

18
2
7
8,3
1+-
2、(2010天津卷文史类）在ABC ∆中，cos cos AC B AB
C
=.
（1）证明:B C =。

（2）若1cos 3
A =-。

求sin 43
B π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
的值。

解：（1)在ABC ∆中，由cos cos AC B AB
C
=及正弦定理得sin cos sin cos B B C
C
=，
于是sin cos cos sin 0B C B C -=,即()sin 0B C -=，
因为0B π<<，0C π<<,则B C ππ-<-<，因此0B C -=，所以B C =. （2）由题可得,()1cos 2cos 2cos 3
B B A π=--=-=，
又由B C =知02B π<<，所以sin 2B =,sin 42sin 2cos 2B B B ==，
227
cos 4cos 2sin 29
B B B =-=-
；
所以sin 4sin 4cos cos 4sin 33
3
B B B πππ⎛⎫+=+= ⎪
⎝
⎭
.
3、（2009年天津卷)在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===。

（1）求AB 的值；
（2)求πsin 24A ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
的值.
解：（1）在ABC ∆中，根据正弦定理,
A
BC
C AB sin sin =
,于是522sin sin ===BC A BC C AB 。

（2）根据余弦定理，222cos 2AB AC BC A AB AC +-=⋅5
5
2=
，
于是A A 2cos 1sin -=
=
5
5
， 从而5
3sin cos
2cos ,5
4cos sin 22sin 22
=
-===A A A A A A ，
πππsin 2sin 2cos cos2sin 444A A A ⎛
⎫-=-=
⎪⎝
⎭。

4、（2008天津卷文史类）已知函数2
()2cos
2sin cos 1(0
f x x x x x ωωωω=++∈R >，，
)0,(>∈ωR x 的最小正周期是
2
π。

（1）求ω的值；
（2）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合。

（1）解:1cos 2()2sin 212
x f x x ωω+=++sin 2cos 22x x ωω=++
sin 2cos cos 2sin 244x x ωωππ⎫=++⎪⎭224x ωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭。

由题设,函数()f x 的最小正周期是2
π，可得222
ωππ=，所以2ω=.
（2）解：由（1)知，
()424f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
当424
2
x k ππ+=+π，即()162k x k ππ=
+∈Z 时,sin 44x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭取得最大值1，所以函数()
f x 的最大值是
2+
此时x 的集合为162k x x k ππ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
Z ，。

5、(2008天津卷理工类）已知cos 4x π⎛⎫-=
⎪⎝
⎭
，324x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，。

（1）求sin x 的值；
(2)求sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
的值。

解:(1）由题设得2210
x x +=，即1cos sin 5
x x +=。

又2
2sin
cos 1x x +=，从而225sin 5sin 120x x --=，解得4
sin 5x =
或3sin 5
x =-。

因为324x ππ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
，，所以4
sin 5
x =。

(2）因为3
24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，故3cos 5x ===-. 24sin 22sin cos 25
x x x ==-
，27
cos 22cos 125x x =-=-。

所以,
sin 2sin 2cos cos 2sin 33
3
x x x πππ⎛⎫+=+= ⎪
⎝
⎭。

6、（2007天津卷文史类）在ABC ∆中,已知2AC =，3BC =，4cos 5
A =-.
（1）求sin B 的值;
(2)求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
的值.
解:(1）在
ABC ∆中,3
sin 5A ===，由正弦定理， sin sin BC AC
A B
=
，所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=。

（2)因为4cos 5
A =-，所以角A 为钝角,从而角
B 为锐角,
于是
cos B ===2
17cos 22cos 121525B B =-=⨯-=，
2sin 22sin cos 25515B B B ==⨯⨯=25
21
4，
sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭
171252=
+⨯=。