八年级初二数学下学期二次根式单元 易错题难题测试基础卷

一、选择题
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A B C D 2．下列计算正确的是（ ） A ．()2
22a b a b -=- B ．()3
22x x 8x ÷=+
C ．1a a a a
÷⋅
= D 4=-
3．若2a <3=（ ）
A ．5a -
B ．5a -
C ．1a -
D ．1a --
4．下列计算正确的是（ ）
A =
B =
C =
D =5．下列计算正确的是（ ）
A =
B ．2=
C ．1=
D =
6．)
5=（ ）
A ．5+
B ．5+
C ．5+
D ．
7．x 的取值范围是（ ） A ．0x <
B ．0x
C ．2x
D ．2x
8．下列计算正确的是（ ）
A ．+=
B ．()
3
22326a b
a b -=-
C ．2
2
2
()a b a b -=-
D ．2422
a a
b a a b a -+⋅=-++
9．下列各式中，不正确的是（ ）
A ><C > D 5=
10．下列运算错误的是（ ）
A B
C ．
D 1=二、填空题
11．比较实数的大小:(1)______ ；（2
_______12
12．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．
⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为
234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；
⑵根据以上规律写出n a 的表达式．
13．()
2
117932x x x y ---=-，则2x ﹣18y 2＝_____．
14．观察下列等式： 第1个等式：a 12112
=+， 第2个等式：a 23223=+， 第3个等式：a 332
+3， 第4个等式：a 45225
=+， …
按上述规律,回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：a n =__________. (2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________
15．下面是一个按某种规律排列的数阵：
1
1第行
3
2
5 6
2第行
7
22
3
10 11 23
3第行 13
15
4
17
32 19
25
4第行
根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第
n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）．
16．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.
17．已知整数x ，y 满足20172019
y x x =
+--，则y =__________．
18．若0xy >，则二次根式2
y
x -________． 19．已知1＜x ＜2，1
71
x x +=-11x x --_____．
20．1+x
有意义，则x 的取值范围是____． 三、解答题
21．若x ，y 为实数，且y 14x -41x -1
2
．求x y y x ++2－x
y y x +-2的值． 2 【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x ≥0且4x ﹣1≥0，解得x =1
4
，此时y =
1
2
．即可代入求解． 【详解】
解：要使y 有意义，必须140410x x -≥⎧⎨-≤⎩，即1
4
14
x x ⎧≤⎪⎪
⎨
⎪≥
⎪⎩ ∴ x ＝14．当x ＝14
时，y ＝12．
又∵
x y y x ++2－x y
y x +-2
＝
－
| ∵x ＝
14，y ＝1
2，∴ x y ＜y x
．
∴
+
当x ＝14
，y ＝1
2时，原式＝
．
【点睛】
（a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
22．先阅读下列解答过程，然后再解答：
,a b ，使a b m +=，ab n =
，使得
22m +=
=
)a b ==>
7,12m n ==，由于437,4312+=⨯=，
即：227+=
，=
2===+。

问题：
①
__________=
___________=； ②
（请写出计算过程） 【答案】（1
1
2；（2
2. 【分析】
a 的形式化简后就可以得出结论
了． 【详解】
解：（1
=
1=
2；
（2
2
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．
23．阅读下面的解答过程，然后作答：
m 和n ，使m 2+n 2=a 且，
则a 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2
例如：∵=）2+）2=）2
∴
请你仿照上例将下列各式化简
（12
【答案】（1）2-
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】
解：（1）∵22241(1+=+=，
1=
（2）∵2227-=-=，
∴
==
24．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：
当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有
22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有m
n 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；
（2）填空：13-( - 2；
（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.
【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46. 【解析】 试题分析：
（1）把等式)
2
a n +=
+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；
（2）由（1）中结论可得：22313
24
a m n
b mn ⎧=+=⎨==⎩ ，结合a b m n 、、、都为正整数可
得：m=2，n=1，这样就可得到：213(1-=-；
（3）将()
2
a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合
a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.
试题解析：
（1）∵2a n =+)，
∴223a m n +=++， ∴2232a m n b mn =+=，；
（2）由（1）中结论可得：22313
24a m n b mn ⎧=+=⎨==⎩
，
∵a b m n 、、、都为正整数， ∴12m n =⎧⎨
=⎩
或2
1m n =⎧⎨=⎩ ，
∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=，
∴m=2，n=1，
∴(2
131--；
（3）∵222()52a m m n +=+=++ ∴225a m n =+，62mn = ， 又∵a m n 、、为正整数， ∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，
∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =， 即a 的值为：46或14.
25．小明在解决问题：已知
2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵
=2
∴a ﹣2=
∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3 ∴a 2﹣4a=﹣1
∴2a 2﹣8a+1=2（a 2﹣4a ）+1=2×（﹣1）+1=﹣1 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1
（2）若
，求4a 2﹣8a+1的值． 【答案】（1）9；（2）5． 【解析】 试题分析：
（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得
1===.
(2)先对a 1 ，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计
算2
(1)a - 的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求
值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.
解：（1）原式=1)+++⋯
（2）∵1
a =
==，
解法一：∵22(1)11)2a -=-= ， ∴2212a a -+= ，即221a a -=
∴原式=2
4(2)14115a a -+=⨯+= 解法二∴ 原式=2
4(211)1a a -+-+
24(1)3a =--
211)3=--
4235=⨯-=
点睛：（1
得22=-=-a b ，去掉根号，实现分母有理
化.
（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.
26．计算：
（1）0
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
（2）(4 【答案】（1）-5;（2）9 【分析】
（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】
（1）0
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
41=--， 5=-；
（2）(4
167=-
9=．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
27．计算：（1
（2|a ﹣1|，其中1＜a
【答案】（1）1；（2）1
【分析】
（1）根据二次根式的乘法法则计算；
（2）由二次根式的非负性，a的取值范围进行化简．
【详解】
解：（1－1＝2－1＝1
（2）∵1＜a，
a﹣1＝2﹣a＋a﹣1＝1．
【点睛】
本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．
28．计算：
（1；
（2+2）2+2）．
【答案】（1-2）
【分析】
（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算得出答案．
【详解】
解：（1）原式＝-
++-＝6+．
（2）原式＝3434
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，在进行二次根式运算时，可以运用乘法公式，运算率简化运算．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分
母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察． 【详解】
A
B |a |，可以化简，故不是最简二次根式；
C =
D =
，可以化简，故不是最简二次根式； 故选：A ． 【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．B
解析：B 【分析】
根据完全平方公式，整式的除法，分式的乘除法，二次根式的性质和化简运算法则逐一计算作出判断． 【详解】
解： A ．()2
22a b a 2ab b -=-+，选项错误； B ．()3
322x x 8x x 8x ÷=÷=，选项正确； C ．111
a a 1a a a
÷⋅=⋅=，选项错误；
D 44=-=，选项错误．
故选：B ．
3．D
解析：D 【分析】
||a =，然后再根据a 的范围去掉绝对值后即可求解． 【详解】
|2|=-a ，且2a <，
∴
|2|2=-=-+a a ，
原式|2|3231=--=-+-=--a a a ， 故选：D ． 【点睛】
||a =这个公式是解决本题的
4．B
解析：B
【分析】
根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案.
【详解】
=，
=3
∴A、C、D均错误，B正确，
故选：B.
【点睛】
此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键. 5．D
解析：D
【分析】
直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】
解：A
B、无法计算，故此选项错误；
C、
D，正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据乘法分配律可以解答本题．
【详解】
)5
=5+
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．7．D
解析：D
【分析】
根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案；
即：20x -≥ ，
解得：2x ，
故选：D ；
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键.
8．D
解析：D
【分析】
分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可．
【详解】
解：A. =A 选项错误；
B. ()()()33322363228a b a b a b -=-=-，故B 选项错误；
C. 222()2a b a ab b -=-+，故C 选项错误；
D. ()()2224222
a a a a
b a b a a b a a b a +--++⋅=⋅=-++++，故D 选项正确． 故答案为D ．
【点睛】
本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
9．B
解析：B
【解析】
=-3，故A 正确；
=4，故B 不正确；根据被开方数越大，结果越大，可知C 正确；
5=，可知D 正确.
故选B. 10．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的乘法法则对A 进行判断；根据分母有理化对B 进行判断；根据二次根式的加减法对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断．
【详解】
A
B
2计算正确，不符合题意；
C 、计算正确，不符合题意；
D 11=≠符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二、填空题
11．【分析】
(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．
【详解】
(1)
(2)
∵
∴
∴
故答案为： ，．
解析：< <
【分析】
(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可． 【详解】
(1)<
(2)
113424-=
∵3=
∴304
<
< 12 故答案为：< ，<．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．
12．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an＝（n为正整数）．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．
∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝．同理：AE＝2，EH＝2，
解析：（1）a2，a3＝2，a4＝；（2）a n n为正整数）．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．
∴
在Rt△ABC中，AC
AE＝2，EH＝，…，
即a2a3＝2，a4＝
（2）a
n n为正整数）．
13．【分析】
直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】
解：∵一定有意义，
∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，
∴x﹣
解析：22
【分析】
直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】
一定有意义，
∴x≥11，
|7﹣x＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
＝3y，
∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．
故答案为：22．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
14．【分析】
（1）由题意，找出规律，即可得到答案；
（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵第1个等式：a1=，
第2个等式：a2=，
第3个等式：
=1-
【分析】
（1）由题意，找出规律，即可得到答案；
（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵第1个等式：a 11
=，
第2个等式：a 2
=，
第3个等式：a 3
，
第4个等式：a 42
=， ……
∴第n
=
=
（2）123(21)(32)(23)(1)n a a a a n n +++=-+-+-+++-
=121n +++
=1-；
1-．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题
15．；．
【分析】
根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．
【详解】
观察表
【分析】
根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．
【详解】
观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=
∵第（n-1，
∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是
．
．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．
16．【解析】
试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，
（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第
解析：
【解析】
试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，
（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，
∴(5，4)与(9，4)
故答案为
17．2018
【解析】
试题解析：
，
令，，
显然，
∴，
∴，
∵与奇偶数相同，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2018.
解析：2018
【解析】 试题解析：
y ==
=
令a =
b = 显然0a b >≥，
∴224036a b -=，
∴()()4036a b a b +-=，
∵()a b +与()-a b 奇偶数相同，
∴20182a b a b +=⎧⎨-=⎩
， ∴10101008a b =⎧⎨=⎩
， ∴2018y a b =+=．
故答案为：2018.
18．－
【分析】
首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】
解：∵，且有意义，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是 解析：
【分析】
首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】
解：∵0xy > ∴00x y ＜，＜，
∴x ==．
故答案为．
【点睛】 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即
(0)
(0)
a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩=（a ≥0，
b >0）． 19．-2
【详解】
∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4，
即 =4，
又∵1＜x ＜2,
∴=-2，
故答案为-2.
【点睛】
本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是 解析：-2
【详解】
∵x+11x -=7，∴x-1+11x -=6，∴（x-1）-2+11
x -=4，
即2
=4， 又∵1＜x ＜2,
∴
， 故答案为-2.
【点睛】
本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.
20．x≥0．
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】
∵有意义，∴x≥0，
故答案为x≥0．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．解析：x≥0．
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】
有意义，∴x≥0，
故答案为x≥0．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无。