2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考卷数学

长沙市一中2024届高三月考试卷(四)
学
满分：150分
得 分
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a ∈M}, 则集合M∩N 等于
A.{0}
B.{0,1}
C.{1,2}
D.{0,2}
2.已知平面向量AB=(-1,2), 则与AB 方向相同的单位向量是
3.第19届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择 A 餐厅或者B 餐厅就 餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第二天 去A 餐厅的概率为0.7;如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的 概率为0.5,运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为 A.0.75 B.0.6 C.0.55 D.0.45
部分图象如图所示，下列说法不正确的是 A. 函数y=f(x) 的图象关于点
)对称
B. 函 数 y=f(x) 的图象关于直线 对称
C. 函数y=f(x) 单调递减
D.该图象向右平移个单位可得y=2sin 2x 的图象
5.若与y 轴相切的圆C 与直线 也相切，且圆C 经过点P(2,
√ 3),则圆C 的半径为
A.1
B. 或 D.1
6.若函数f(x)= a ⁴+b¹(a>0,b>0,a≠1,b ≠1)是偶函数，则的最
小值为
数 时量：120分钟
密 封 线 内 不 要 答 题
班 级 姓 名
学 校
学 号
C
7. 已知函数f(x)=kx, ,g(x)=e*, 若f(x),g(x) 图象上分别
存在点M,N 关于直线y=x 对称，则实数k 的取值范围为
C.
8.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方
形，AP=AB=4, 侧棱PA⊥ 底面ABCD,T 是CD
的中点，Q 是△PAC 内的动点，TQ⊥BP,则 Q 的
轨迹长为
A.√2
B.√3
C.2√2
D.2√3
二、选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分
选对的得2分)
9. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中
的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩第0行
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第n行
I
I 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是
A. 由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之
和”猜想C+1=C;-¹+C
B.由“第n 行所有数之和为2””猜想：C +C,+C? 十…十C,=2”
C. 第20行中，第10个数最大
D.第15行中，第7个数与第8个数的比为7:9
10.设等比数列{an}的公比为q, 其前n 项和为S,, 前n 项积为T,, 且a₁>
1,a₆a₇>1, ,则下列结论正确的是
A.0<q<1
B.0<a₇ag<1
C.S, 的最大值为S₇
D.T, 的最大值为T₆
11.如图，等边三角形ABC 的边长为4 ,E 为边
AB 的中点，ED⊥AC 于D. 将△ADE 沿DE
翻折至△A₁DE 的位置，连接A₁C. 那么在翻C
折过程中，下列说法当中正确的是
A.DELA₁C
数学试题(一中版)第2页(共8页)
C. 存在某个位置，使A₁E⊥BE
D. 在线段A₁C上，存在点M 满,使BM 为定值
12. 已知双曲线C:x²—y²=2, 点M 为双曲线右支上的一个动点，过点M
分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 两点，则下列说法正确的是
A. 双曲线的离心率为√2
B.存在点M, 使得四边形OAMB 为正方形
C.直线AB,OM 的斜率之积为2
D. 存在点M, 使得 |MA|+|MB|=√3
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.已知角θ的终边过点A(4,a), 且,则tan θ=
14.已知圆台的上、下底面直径分别为2和4,高为1,则该圆台外接球的表
面积为
15.设F为抛物线y=8x的焦点，A,B,C为该抛物线上不同的三点，若FA
+FB+FC=OF,O 为坐标原点，则|FA|+|FBl+|FCl=
16.函数f(x)=sin 2xcos²x的值域为
四、解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)
在平面四边形ABCD 中，,∠ADC
,BC=4.
(1)若△ABC 的面积为2 √3,求AC;
(2)若AD=3√3, ,求tan ∠ACD.
某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为9:11,评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”,并将部分评价结果整理如下表所示.
评价性别喜欢不喜欢合计
男性15
女性
合计50 100
(1)根据所给数据，完成上面的2×2列联表；依据α=0.005的独立性
检验，能否认为性别因素与评价结果有关系?
(2)电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，按比例分层抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为,评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为X, 求X 的分布列及数学期望.
α0.010 0.005 0.001
Xa 6.635 7.879 10.828
事
已知等差数列{an}的前n 项和为S,,a₁=-5,a₂为整数，且S,≥S₃
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{b,}满足b,=(-1)"a,an+1, 且数列{b,}前 n 项和为Tn,若
T,≥tn²对n∈N”恒成立，求实数t的取值范围.
如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为B 2.M,N 分别为B₁D₁与C₁D 上的点，且
MNL B₁D₁,MN⊥C₁D,
(1)求证：MN//A₁C,
(2)求平面B₁DM 与平面DMN 的夹角的余弦值.
已知经过点)的椭圆C₁ 的上焦点与抛物
线C₂:x²=2py(p>0) 焦点重合，过椭圆C₁上一动点Q 作抛物线C₂的两条切线，切点分别为A,B.
(1)求C₁和C₂的方程；
(2)当Q 在椭圆C₁位于x 轴下方的曲线上运动时，试求△QAB 面积
的最大值.
(1)若k=2, 判断函数f(x)的单调性，并说明理由；
(2)若x>1 时，f(x)>0 恒成立.
(i)求实数k 的取值范围；。