2018秋新版高中数学人教A版必修5：第一章解三角形 1.1.2

【例 2】 已知△ABC 的三边长分别为 a=2 3, ������ = 2 2, ������ = 6 + 2, 求△ABC 的各角度数.
分析利用余弦定理的推论求出两个角,利用三角形的内角和定理
求出第三个角.
解由余弦定理的推论,
得 cos A=
������2+������2-������2 2������������
= (2
2)2+( 6+ 2×2 2×(
2)2-(2 6+ 2)
3)2 =
12,
cos
B=
������2+������2-������2 2������������
=
(2
3)2+( 6+ 2×2 3×(
2)2-(2 6+ 2)
2)2 =
22.
∵A,B∈(0,π),∴A=60°,B=45°.
∴C=180°-A-B=180°-60°-45°=75°.
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【做一做1】 在△ABC中,a=4,b=4,C=30°,则c2等于 ( ).
A.32-16 3 B. 32 + 16 3
C.16
D.48
答案:A
【做一做2】 在△ABC中,a=2,b=5,c=6,则cos B等于( ).
A.
5 8
B.
65 24
3 + 1 , 解此
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方法二:由正弦定理
������ sin������
=
������ sin������
,
得
8 sin������
=
si4n660°.
a2<0,即b2+c2<a2.
由此可得:A为锐角⇔a2<b2+c2;
A为直角⇔a2=b2+c2;
A为钝角⇔a2>b2+c2.
知识拓展a2=b2+c2⇒△ABC为直角三角形;
a2>b2+c2⇒△ABC为钝角三角形;
a2<b2+c2 △ABC为锐角三角形.
说明:a2<b2+c2只能得到cos A>0,即只能得到角A为锐角,但是不
3,
∴c= 6 − 2.
∴cos
A=
������2+������2-������2 2������������
=
(2 2)2+( 6- 2)2-22 2×2 2×( 6- 2)
=
23.
又0°<A<180°,∴A=30°.
∴B=180°-(A+C)=135°.
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所得的解唯一
分类讨论
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已知两边及夹角解三角形 【例1】 在△ABC中,已知a=2,b =2 2, ������ = 15°, 解此三角形. 分析思路一:可先用余弦定理求边c,再用正弦定理求角A,最后用 三角形内角和定理求出角B. 思路二:可先用余弦定理求边c,再用余弦定理的推论求角A,最后 用三角形内角和定理求出角B.
a=
������sin������ sin������
=
3.
故 a=6 或 a=3.
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解法二(利用余弦定理) 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B, 则 32=a2+(3 3)2 − 2������ ·3 3·cos 30°, 即a2-9a+18=0,解得a=6或a=3. 反思当已知两边和其中一边的对角解三角形时,若用余弦定理先 求第三边,可根据求出值的正、负,利用边为正值确定无解、一解, 还是两解,极易判断,不易漏解;若用正弦定理先求另一边的对角时, 需要根据角、边的大小和正弦值的情况判断解的情况,以免漏解.
=
92+82-72 2×9×8
=
23.
设 AC 边上的中线长为 x,
由余弦定理,得 x2=
������������ 2
2
+ ������������2 − 2 ·������2������·ABcos A
=42+92-2×4×9×
2 3
=
49,
故x=7.
所以所求 AC 边上的中线长为 7.
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【变式训练2】 在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,试求AC边上
的中线长.
解由余弦定理和已知条件,
得
cos
A=
������������2+������������ 2-������������2 2·������������·������������
已知三边
已知两边及一边的对角
cos
A=
b 2 +c 2 -a2 2bc
等
解方程 cos A=m,A
∈(0,π)
sin
A=
a ������������������ B b
等
解方程 sin A=m,A∈(0,π)
y=cos x 在(0,π)内 y=sin x 在(0,π)内先增后减,解方
为减函数,解方程 程所得的解不一定唯一,有时需
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【变式训练 1】 在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,c=4
三角形.
解由余弦定理, 得 b2=a2+c2-2accos B
=82+[4( 3 + 1)]2 − 2 × 8 × 4( 3 + 1)cos 60°
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解法二 cos 15°=cos(45°-30°)=
6+ 4
2,
由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C
=4+8-2×2×2
2×
6+ 4
2 = 8−4
能保证角B,C也为锐角,所以不能得到△ABC为锐角三角形.
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2.利用正弦定理、余弦定理求角的区别 剖析如表所示.
相同点 条件
依据 不 同 求角 点
检验
余弦定理
正弦定理
先求某种三角函数值,再求角
1.1.2 余弦定理
-1-
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1.了解余弦定理的推导过程,掌握余弦定理及其推论. 2.能利用余弦定理解三角形,并判断三角形的形状.
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【变式训练3】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
A=
π 3
,
������
=
3, ������ = 1, 则������等于(
).
∴sin A= 22.
∵b>a,c>a,∴a最小,即A为锐角.
因此A=45°.
故C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
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已知三边解三角形
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余弦定理
文字 语言 符号 语言
推论
作用
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去
这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
在△ABC 中, a2=b2+c2-2bccos A, b2=c2+a2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C
C.
19 20
D.
−
7 20
解析:cos
B=
������2+������2-������2 2������������
=
22+62-52 2×2×6
=
58.
答案:A
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1.确定三角形中内角的范围
sin
C=
������sin������ ������
=
23.
∵0°<C<180°,∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,则有 A=180°-(B+C)=90°,
于是
a=
������sin������ sin������
=
6;
当 C=120°时,则有 A=180°-(B+C)=30°,
于是
2.余弦定理适用的题型: (1)已知三边求三角,用余弦定理,有解时只有一解; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他的角,用余弦定理,必 有一解. 3.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例,余弦 定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,是解三角形的重要工 具.
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解法一 cos 15°=cos(45°-30°)=
6+ 4
2,
sin 15°=sin(45°-30°)=
64
2.
由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C
=64+16(4+2
3) − 64(
3
+
1)
×
1 2
=
96,
∴b=4 6.
方法一:cos
A=
������2+������2-������2 2������������
=
96+16( 3+1)2-64 2×4 6×4( 3+1)
=
22.
∵0°<A<180°,∴A=45°.
故C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
剖析由余弦定理可得,在△ABC
中,cos
A=
������2
+������2-������2 2������������
.
若A为锐角,则cos A>0,有b2+c2-a2>0,即b2+c2>a2;若A为直角,则
cos A=0,有b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2;若A为钝角,则cos A<0,有b2+c2-
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反思已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解)的步骤: 方法一: (1)利用余弦定理求出第三边; (2)利用正弦定理求出另外一个角; (3)利用三角形内角和定理求出第三个角. 方法二: (1)利用余弦定理求出第三边; (2)利用余弦定理的推论求出另外一个角; (3)利用三角形内角和定理求出第三个角. 此时方法一中(2)通常需要分类讨论,因此建议应用方法二解三角 形.
在△ABC 中,
cos A= b2+c2-a2,
2bc
cos B= c2+a2-b2,
2ac
cos
C=
a 2 +b 2 -c2 2ab
解三角形、判断三角形的形状等
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归纳总结1.余弦定理的每个等式中包含四个不同的量,它们分别 是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,便可求得第四个量, 即“知三求一”.
A.1
B.2
C.2或-1 D. 3
解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得c2-c-2=0,解得c=2或c=1(舍去).
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已知两边及一边的对角解三角形
【例3】 在△ABC中,已知b=3,c =3 3, ������ = 30°, 求边������的长.
解法一(利用正弦定理)
由正弦定理,可得
=4+8-2×2×2
2×
6+ 4
2 = 8−4
3,
∴c= 6 − 2.
由正弦定理,得
sin
A=
������ ������
sin
C=
2 6-
2×
64
2
=
12.
∵0°<A<180°,∴A=30°或A=150°.
又b>a,∴B>A.∴角A为锐角.
∴A=30°.∴B=180°-(A+C)=135°.
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反思已知三边解三角形的步骤: (1)分别用余弦定理的推论求出两个角; (2)用三角形内角和定理求出第三个角.
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