2017-2018年河北省沧州市黄骅中学高二(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

2017-2018学年河北省沧州市黄骅中学高二（上）期中数学试卷
（理科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生是（）
A．42名B．38名C．40名D．120名
2．（5分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．B．C．D．
3．（5分）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是（）A．4 B．C．D．﹣4
4．（5分）如果在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，3）、B（2，3.8）、C（3，5.2）、D（4，6），则与x的回归直线方程是（）
A．=x+1.9 B．=1.04x+1.9
C．=0.95x+1.04 D．=1.05x﹣0.9
5．（5分）已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α⊥β，则λ的值是（）
A．﹣6 B．6 C．﹣D．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）
A．2 B．C．D．
7．（5分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（5分）在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．
9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为（）A．B．C．D．
10．（5分）设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若
在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
11．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（）
A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确
12．（5分）有关下列命题，其中正确命题的个数是（）
（1）命题“x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的否命题为“若x2﹣3x﹣4≠0，则x≠4”
（2）“x＞0”是“x＞5”的必要不充分条件
（3）若q∧q是假命题，则p，q都是假命题
（4）命题“若x＞1且y＜﹣3，则x﹣y＞4”的等价命题是“若x﹣y≤4，则x≤1或y≥﹣3”
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共20分，每小题5分）
13．（5分）把下列各进制的数85（9），210（6），1000（4）按从小到大的顺序排列．14．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．
15．（5分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为．
16．（5分）已知椭圆，过程P（1，1）作直线l，与椭圆交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线l的斜率为．
三、解答题（共70分，写出必要的解题步骤、文字说明）
17．（10分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲6080709070
乙8060708075
求：（1）甲、乙的平均成绩．
（2）甲、乙的平均成绩的方差．并判断谁的平均成绩较好，谁的各门功课发展较平衡？
18．（12分）已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，
直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A，B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求线段AB的长．
19．（12分）如图是某地某公司1000名员工的月收入后的直方图．根据直方图估计：
（1）该公司员工月收入的众数；
（2）该公司月收入在1000元至1500 元之间的人数；
（3）该公司员工的月平均收入；
（4）该公司员工月收入的中位数．
20．（12分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减，Q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（）上为增函数，“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，求实数c的取值范围．
21．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角S﹣CM﹣A的余弦值；
（3）求点B到平面SCM的距离．
22．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2
（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．
四、附加题（共两个题，20分）
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f 将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿着折线A﹣B﹣C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（）
A．B．C．
D．
24．已知椭圆的长轴长为4，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；
（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．
2017-2018学年河北省沧州市黄骅中学高二（上）期中数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生是（）
A．42名B．38名C．40名D．120名
【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，
由分层抽样原理，应抽取120×=40名．
故选：C．
2．（5分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有C62=15种不同的取法，
6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×3=6种；
则两球颜色为一白一黑的概率P==；
故选：B．
3．（5分）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是（）A．4 B．C．D．﹣4
【解答】解：因为双曲线，a=1，b=，
又虚轴长是实轴长的2倍，即2=4，所以m=4．
故选：A．
4．（5分）如果在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，3）、B（2，3.8）、C（3，5.2）、D（4，6），则与x的回归直线方程是（）
A．=x+1.9 B．=1.04x+1.9
C．=0.95x+1.04 D．=1.05x﹣0.9
【解答】解：∵==2.5，==4.5，
∴这组数据的样本中心点是（2.5，4.5）
把样本中心点代入四个选项中，只有y=1.04x+1.9成立，
故选：B．
5．（5分）已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α⊥β，则λ的值是（）
A．﹣6 B．6 C．﹣D．
【解答】解：由题意可知：平面α和β的法向量分别是（2，3，﹣1）和（4，λ，﹣2），
由平面α⊥β，可得它们的法向量垂直，
故（2，3，﹣1）•（4，λ，﹣2）=8+3λ+2=0，
解得λ=，
故选：C．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）
A．2 B．C．D．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k=0，s=1
满足条件k＜3，执行循环体，k=1，s=2
满足条件k＜3，执行循环体，k=2，s=
满足条件k＜3，执行循环体，k=3，s=
不满足条件k＜3，退出循环，输出s的值为．
故选：B．
7．（5分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：2a＞2b⇒a＞b，
当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，
反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．
故选：B．
8．（5分）在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AC与
BD的交点，若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，
=+，=，
∴=+
=++．
故选：A．
9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为（）A．B．C．D．
【解答】解：本题是几何概型问题，
与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，
其体积为：V1=
“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为23﹣，
则点P与点O距离大于1的概率是=．
故选：B．
10．（5分）设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若
在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，
由勾股定理知可知|PF1|=2 =4b
根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，
代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=；
∴e====．
故选：B．
11．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（）
A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确
【解答】解：∵E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，
∴∠AEA1=90°，
又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
∴A1D1⊥AE，
∴AE⊥平面A1ED1，
故选：B．
12．（5分）有关下列命题，其中正确命题的个数是（）
（1）命题“x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的否命题为“若x2﹣3x﹣4≠0，则x≠4”
（2）“x＞0”是“x＞5”的必要不充分条件
（3）若q∧q是假命题，则p，q都是假命题
（4）命题“若x＞1且y＜﹣3，则x﹣y＞4”的等价命题是“若x﹣y≤4，则x≤1或y≥﹣3”
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①、命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的否命题为“若x2﹣3x﹣4≠0，则x≠4”，故①正确；
②“x＞0”不能得到“x＞5”，但是x＞5⇒x＞0，“x＞0”是“x＞5”，的必要不充分条件，故②正确；
③、若p∧q是假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故③错误；
④、命题“若x＞1且y＜﹣3，则x﹣y＞4”的逆否命题是：“若x﹣y≤4，则x≤1或y≥﹣3”．
∴命题“若x＞1且y＜﹣3，则x﹣y＞4”的等价命题是“若x﹣y≤4，则x≤1或y ≥﹣3”，故④正确．
∴正确命题的序号是①②④．
故选：C．
二、填空题（本题共20分，每小题5分）
13．（5分）把下列各进制的数85（9），210（6），1000（4）按从小到大的顺序排列1000
（4）＜85
（9）
＜210
（6）
．
【解答】解：85
（9）
=8×91+5×90=77，210（6）=2×36+1×6=78，
1000（4）=43=64，
故1000
（4）＜85
（9）
＜210
（6）
，
故答案为：1000
（4）＜85
（9）
＜210
（6）
14．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．
【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定
命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．
故答案为：∃x∈R，sinx＞1．
15．（5分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为．
【解答】解：正方形的面积S=0.5×0.5=0.25，
若铜钱的直径为2cm，则半径是1，圆的面积S=π×12=π，
则随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率P==，
故答案为：．
16．（5分）已知椭圆，过程P（1，1）作直线l，与椭圆交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线l的斜率为﹣．
【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），
∵A、B两点在椭圆上，∴，
两式相减可得：（x12﹣x22）+（y12﹣y22）=0，化简得=﹣．又∵点P（1，1）是AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2，
因此可得直线l的斜率k==﹣=﹣．
故答案为：﹣
三、解答题（共70分，写出必要的解题步骤、文字说明）
17．（10分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲6080709070
乙8060708075
求：（1）甲、乙的平均成绩．
（2）甲、乙的平均成绩的方差．并判断谁的平均成绩较好，谁的各门功课发展较平衡？
【解答】解：（1）甲的平均成绩：
=（60+80+70+90+70）=74．
乙的平均成绩：
=（80+60+70+80+70）=72．
（2）甲的平均成绩的方差：
S2甲=[（60﹣74）2+（80﹣74）2+（70﹣74）2+（90﹣74）2+（70﹣74）2]=104，乙的平均成绩的方差：
S2乙=[（80﹣72）2+（60﹣72）2+（70﹣72）2+（80﹣72）2+（70﹣72）2]=57，
∵＞，S2
甲＞S2
乙
，
∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．
18．（12分）已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A，B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求线段AB的长．
【解答】（本小题12分）
解：（1）依题意可设：抛物线C的方程为y2=2px（p＞0）
由点M（3，﹣6）在抛物线C上可得：（﹣6）2=2p×3=6p，
∴p=6．
故所求抛物线C的方程为y2=12x；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y2=12x联立化简整理可得：4x2﹣8x+1=0∴x=1±
由弦长公式可得：|AB|=•=．
即：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
19．（12分）如图是某地某公司1000名员工的月收入后的直方图．根据直方图估计：
（1）该公司员工月收入的众数；
（2）该公司月收入在1000元至1500 元之间的人数；
（3）该公司员工的月平均收入；
（4）该公司员工月收入的中位数．
【解答】（本小题12分）
解：（1）该公司员工月收入的众数为2500元；
（2）该公司月收入在1000元至1500 元之间的人数为：
[1﹣（0.0004+0.0005+0.0005+0.0003+0.0001）×500]×1000=100人，
（3）该公司员工的月平均收入约为：
0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400元（4）该公司员工月收入的中位数约为2400元（面积分为相等的两部分）﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
20．（12分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减，Q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（）上为增函数，“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，求实数
c的取值范围．
【解答】解：∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．
即p：0＜c＜1，
∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．
又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．
即q：0＜c≤，
∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．
又∵“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，
∴p真q假，或p假q真．
①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|＜c＜1}．
②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c≤}=∅．
综上所述，实数c的取值范围是{c|＜c＜1}．
21．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角S﹣CM﹣A的余弦值；
（3）求点B到平面SCM的距离．
【解答】解：（1）证明：取线段AC的中点O，连接OS，OB．
因为SA=SC，BA=BC，所以AC⊥SO且AC⊥BO．
因为平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，所以SO⊥平面ABC，
所以SO⊥BO．…（1分）
建立如图所示空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（﹣2，0，0），S（0，0，2），B（0，，0），
=（﹣4，0，0），=（0，﹣，2），
因为═（﹣4，0，0）•（0，﹣，2）=0，
所以，
即AC⊥SB…（3分）
（2）=（0，0，2），为平面ABC的一个法向量．…（4分）
由（1）得：M（1，，0），=（3，，0），=（2，0，2），．
设=（x，y，z），为平面SCM的一个法向量，则
即
取x=1，则y=﹣，z=﹣1，
∴=（﹣1，，1），
所以cos…（8分）
由图可知：二面角S﹣CM﹣A是锐角二面角，…（9分）
所以二面角S﹣CM﹣A的余弦值为．…（10分）
（3）由（1）（2）可得：=（2，，0），═（﹣1，，1），为平面SCM 的一个法向量．…（11分）
所以，点B到平面SCM的距离d=．…（13分）
22．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2
（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．
【解答】解：（1）设椭圆C的方程为．
根据题意知，解得，
故椭圆C的方程为．
（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．
当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．
由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，
因为，所以，即
=
=
=，解得，即k=．
故直线l的方程为或．
四、附加题（共两个题，20分）
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f 将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿着折线A﹣B﹣C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（）
A．B．C．
D．
【解答】解：点P沿着线段AB运动时
X=1，Y∈[0，1]
此时P'（2xy，x2﹣y2）的坐标为（2y，1﹣y2），消掉参数y后，得到动点P'的轨迹是y=
点P沿着线段BC运动时
X∈[0，1]，Y=1
此时P'（2xy，x2﹣y2）的坐标为（2x，x2﹣1），消掉参数x后，得到动点P'的轨迹是
故动点P'的轨迹是
故选：A．
24．已知椭圆的长轴长为4，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；
（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．由题意知，
所以．所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）证明：（ⅰ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），
由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．
所以直线PM的斜率k1==，直线QM的斜率k2==﹣，
此时=﹣3．所以为定值﹣3．
（ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y=kx+m，
直线QB的方程为y=﹣3kx+m．
联立整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣4=0．
由，可得，
所以．同理．所以，
，
所以．由m＞0，x0＞0，可知k＞0，
所以，等号当且仅当时取得，
此时，即，
所以直线AB 的斜率的最小值为．
第21页（共24页）
第24页（共24页）。