著名机构数学讲义春季18-七年级培优版-期末复习-压轴题(1)--教师版

教师姓名学生姓名年级初二上课时间
学科数学课题名称期末复习—压轴题（1）
期末复习—压轴题（1）
知识模块Ⅰ：角度的不变性
本节主要运用三角形的内外角之间的关系进行换算和求解在动点下产生不变角的问题，特别是外角定理的运用在本节中非常重要．
【例1】如图，已知∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上，∠OAB的内角平分线与∠OBA的
外角平分线所在的直线交于点C．
（1）试说明∠C与∠O的关系；
（2）当点A、B分别在射线OM 、ON上移动时，试问∠C 的大小是否发生变化，若保
持不变，求出∠C的大小；若发生变化，求出其变化范围．
【答案】（1）2∠C=∠O；（2）不变，为45°．
【例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y轴交于点C．（1）若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；
（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，
求∠A的度数；
（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△AOB绕O
点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生变化?若不变，请求出其度数；若改变，请说明理由
【答案】（1）∵△AOB是直角三角形
∴∠A+∠B=90°，∠AOC+∠BOC=90°
∵∠A=∠AOC，∴∠B=∠BOC．
（2）∵∠A+∠ABO=90°，∠DOB+∠ABO=90°
∴∠A=∠DOB，即∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA
∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°∴∠A=30°．
（3）∠P的度数不变，∠P=25°
∵∠AOM=90°-∠AOC，∠BCO=∠A+∠AOC
又OF平分∠AOM，CP平分∠BCO
∴∠FOM=45°-1
2
∠AOC，∠PCO=
1
2
∠A+
1
2
∠AOC
∴∠P=180°-（∠PCO+∠FOM+90°）=45°-1
2
∠A=25°．
知识模块Ⅱ：旋转问题
A
B
C
D
M
N
O
A
B
C D
E x
y
O
A
B
C
P
M
F
x
y
O
A
B
C
D
E
M
H
旋转问题是七年级几何证明中的一个难点，在旋转的过程中，找出隐含的边角之间的关系是解决旋转类问题的关键；本节的另一个难点是考察空间想象力，找出旋转之后的图形位置．
【例3】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE +CF =AB ． 【答案】∵ABCD 是正方形，
∴OB =OC ，∠BAO =∠BCO =45°，
由题意可得，∠EOB =∠COF =90°-∠BOF ， ∴△EOB ≌△FOC ， ∴CF =BE ，
∴AB =AE +BE =AE +CF ．
【例4】如图，在ABC ∆形外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，使90BAD ∠=︒，
90CAE ∠=︒，作AH BC ⊥于H ，延长HA ，交DE 于M ，求证：DM = ME ．
【答案】作DG ∥AE 交AM 的延长线于点G
∵90BAD CAE ∠=∠=o ， ∴+180DAE BAC ∠∠=o 又∵+180DAE GDA ∠∠=o ∴∠GDA =∠BAC
∵DG ∥AE ∴∠DGA =∠EAM ， 又∵AH ⊥BC ，
∴∠EAM +∠CAH =90°=∠CAH +∠ACB ∴∠DGA =∠ACB ． ∵AD =AB ， ∴△DGA ≌△ACB ， ∴DG =AC =AE ， ∴△DGM ≌△EAM ， ∴DM =ME ．
【例5】在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别由两点M ，N ，D 为ABC ∆外
一点，且60,120MDN BDC ∠=︒∠=︒，BD =CD ．探究：当点M ，N 分别在直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．
A B
C
D
E
F G
H
K O
A
B
C
D
E
M
H
G
（1）如图（1），当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM =DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是_________；此时
_______Q
L
=． (2)如图（2），当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明．
（3）如图（3），当点M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN x =，则Q =______(用含x 、L 的式子表示) ．
【答案】（1）如图，BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM +NC =MN ． 此时23
Q L =．
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：延长AC 至E ，使CE =BM ，连接DE ． ∵BD =CD ，且∠BDC =120°，
∴∠DBC =∠DCB =30°．又△ABC 是等边三角形， ∴∠MBD =∠NCD =90°．
在△MBD 与△ECD 中：BM =CE ，∠MBD =∠ECD ，BD =DC ， ∴△MBD ≌△ECD （SAS ）． ∴DM =DE ，∠BDM =∠CDE ． ∴∠EDN =∠BDC ﹣∠MDN =60°．
在△MDN 与△EDN 中：DM =DE ，∠MDN =∠EDN ，DN =DN ， ∴△MDN ≌△EDN （SAS ）．∴MN =NE =NC +BM ． ∴AMN 的周长Q =AM +AN +MN =AM +AN +（NC +BM ） =（AM +BM ）+（AN +NC ）=AB +AC =2AB ．
A
B
C
D （1）
M N
A
B
C
D （2）
M
N
C
D （3）
A
B
N
M
而等边△ABC 的周长L =3AB ． ∴
23
Q L ； （3）如图，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN =x ， 则Q =2x +
2
3
L （用x 、L 表示）． 知识模块Ⅲ：构造全等类
本节主要针对常规图形，添加合适的辅助线，如截长补短、倍长中线，添加平行线等构造全等的三角形，该类型题目综合性较强，考察同学们全等三角形判定和性质的综合运用能力．
【例6】数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC
的中点．∠AEF =90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的平分线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE =EF ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
【答案】解：（1）成立．
证明：在AB 上取一点M ，使AM =EC ，连接ME ． ∴BM =BE ，∴∠BME =45°，∴∠AME =135°，
∵CF 是外角平分线，∴∠DCF =45°，∴∠ECF =135°， ∴∠AME =∠ECF ，
∵∠AEB +∠BAE =90°，∠AEB +∠CEF =90°，
A
B
C
D
E 图2
F
G A
B
C D
E 图1
F
G
A
B
C 图3
D
E F
G
∴∠BAE =∠CEF ， ∴△AME ≌△ECF （ASA ）， ∴AE =EF ．
（2）正确．
证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN =CE ，连接NE ． ∴BN =BE ，∴∠N =∠NEC =45°，
∵CF 平分∠DCG ，∴∠FCE =45°，∴∠N =∠ECF ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BE ，∴∠DAE =∠BEA ， 即∠DAE +90°=∠BEA +90°，∴∠NAE =∠CEF ， ∴△ANE ≌△ECF （ASA ）∴AE =EF ．
【例7】直线CD 经过∠BCA 的顶点C ，CA =CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，
且∠BEC =∠CF A =∠α．
（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①图1，若∠BCA =90°，∠α=90°，则EF __________|BE -AF |（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0°<∠BCA <180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA 应满足的关系是__________；
M
N
3
21
（2）如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠BCA =∠α，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．
【答案】解：（1）①=；
②所填的条件是：∠α+∠BCA =180°，
证明：在△BCE 中，∠CBE +∠BCE =180°-∠BEC =180°-∠α， ∵∠BCA =180°-∠α，∴∠CBE +∠BCE =∠BCA ， ∵∠ACF +∠BCE =∠BCA ， ∴∠CBE =∠ACF
又∵BC =CA ，∠BEC =∠CF A ， ∴△BCE ≌△CAF （AAS ） ∴BE =CF ，CE =AF ，
又∵EF =CF -CE ，∴EF =|BE -AF |； （2）EF =BE +AF ．
∵∠1+∠2+∠BCA =180°，∠2+∠3+∠CF A =180° ∵∠BCA =∠α=∠CF A ，∴∠1=∠3；
又∵∠BEC =∠CF A =∠α，CB =CA ，∴△BEC ≌△CF A （AAS ）， ∴BE =CF ，EC =F A ，∴EF =EC +CF =BE +AF ．
A B
C
D
E
F A B C
D
E F A
B
C D
E
F 图1 图2
图3
【习题1】用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD .把一个含60°角的三
角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转．
（1） 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图1），通过 观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论?并证明你的结论；
（2） 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图2）， 你在（1）中得到的结论还成立吗?简要说明理由．
【答案】（1）BE =CF ．
证明：在△ABE 和△ACF 中，
∵∠BAE +∠EAC =∠CAF +∠EAC =60°，∴∠BAE =∠CAF ．
∵AB =AC ，∠B =∠ACF =60°，∴△ABE ≌△ACF （ASA ）．∴BE =CF ； （2）BE =CF 仍然成立． 证明：在△ACE 和△ADF 中，
∵∠CAE +∠EAD =∠F AD +∠DAE =60°，∴∠CAE =∠DAF ， ∵∠BCA =∠ACD =60°，∴∠FCE =60°，∴∠ACE =120°， ∵∠ADC =60°，∴∠ADF =120°， 在△ACE 和△ADF 中，FAD CAE
AC AD ADF ACE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ACE ≌△ADF ，∴CE =DF ，∴BE =CF ．
【习题2】如图17(1)，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． ①若∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ；
②若△AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF =45º，问△CEF 的周长是否△AEF 位置的变化而变化? （2）如图17(2)，已知正方形ABCD 的边长为1，
BC 、CD 上各有一点E 、F ，如果△CEF
A
B C
D
E
F
A
B
F E
C D
图1
图2
G
的周长为2，求∠EAF 的度数．
（3）如图17(2)，已知正方形ABCD ，F 为BC 中点，E 为CD 边上一点，且满足 ∠BAF =∠F AE ，求证：AE =BC +CE ．
【答案】（1）证明：延长CB 到G ，使GB =DF ， 连接AG （如图）
∵AB =AD ，∠ABG =∠D =90°，GB =DF ， ∴△ABG ≌△ADF （SAS ）， ∴∠3=∠2，AG =AF ，
∵∠BAD =90°，∠EAF =45°，
∴∠1+∠2=45°，∴∠GAE =∠1+∠3=45°=∠EAF ， ∵AE =AE ，∠GAE =∠EAF ，AG =AF ，
∴△AGE ≌△AFE （SAS ），∴GB +BE =EF ，∴DF +BE =EF ． （2）辅助线如上图所示：
∵△CEF 的周长为2，∴EF =BE +CF =BE +BG =EG ，
在△AGE 和△AFE 中EF EG
AE AE AG AF =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，∴△AGE ≌△AFE （SSS ），∴∠1+∠3=∠EAF ，
又∵∠1+∠2+∠EAF =90°，∠3=∠2，∴∠EAF =45°． （3）过F 点作FG ⊥AE 交AE 于点G ，
在△ABF 和△AFG 中，∠BAF =∠F AE ，AF =AF ，∠ABF =∠AGF =90°， ∴△ABF ≌△AFG ，∴AF =FG =FC ， 又∵FE =FE ，∠FGE =∠FCE =90°，
∴△FGE ≌△FCE ，∴CE =EG ，∴AE =AG +GE =AB +EC ．
【习题3】已知：如图，MN ⊥PQ ，垂足为O ，点A 、B 分别在射线上OM 、OP 上，直线
BE 平分∠PBA 与∠BAO 的平分线相交于点C ． （1）若∠BAO =45°，求∠ACB ；
（2）若点A 、B 分别在射线上OM 、OP 上移动，试问∠ACB 的大小是否会发生变化?如果保持
图17（2）
F
E
D
C
B
A
F
E D
C
B
A
图17（1）
B
P F
不变，请说明理由；如果随点A、B 的移动发生变化，请求出变化的范围．
【答案】（1）∵MN⊥PQ，∴∠BOA =90°，
在△ABO中，∠PBA=∠BAO+∠BOA=45°+90°=135°，
∵∠PBA与∠BAO的平分线相交于点C，
∴∠BAC=1
2
∠BAO=
1
2
×45°=22.5°，
∠FBA=1
2
∠PBA=
1
2
×135°=67.5°
在△ABC中，∠ACB=∠FBA﹣∠BAC=67.5°﹣22.5°=45°；
（2）∵MN⊥PQ，∴∠BOA=90°，在△ABO中，∠PBA=∠BAO+∠BOA=∠BAO+90°，∴∠PBA与∠BAO的平分线相交于点C，
∵∠BAC=1
2
∠BAO，∠FBA=
1
2
∠PBA=
1
2
（∠BAO+90°）=
1
2
∠BAO+45°，
在△ABC中，∠ACB=∠FBA﹣∠BAC=1
2
∠BAO+45°﹣
1
2
∠BAO=45°．
【习题4】等边△ABD和等边△CBD的边长均为1，E是AD上异于A、D的任意一点，BE⊥AD，F是CD上一点，满足AE+CF=1，当E、F移动时，试判断△BEF的形状．
A
B C
D
E
F
【答案】等边三角形．
【习题5】复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC 中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A 顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．
【答案】∵∠QAP=∠BAC，
∴∠QAP+∠P AB=∠P AB+∠BAC，
∴∠QAB=∠P AC，
在△ABQ和△ACP中，
AQ=AP，∠QAB=∠P AC，AB=AC，
∴△ABQ≌△ACP，∴BQ=CP．
A
B C
P
Q P
Q
A
B C。