高考数学压轴专题深圳备战高考《复数》解析含答案

高中数学《复数》复习知识点(1)
一、选择题
1．
若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A ．2,3b c ==
B ．2,1b c ==-
C ．2,1b c =-=-
D ．2,3b c =-=
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数
a ，
b 的方程组10
2220
b c b -++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项
【详解】
由题意12+i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0
∴1+22i ﹣2+b 2+bi +c ＝0，即()
12220b c b i -++++=
∴10
2220
b c b -++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v
向左平移一个单位后得到00
O P u u u u v
，则P 0对应的复数为( )
A ．1－i
B ．1－2i
C ．－1－i
D ．－i
【答案】D 【解析】 【分析】
要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v
，从而可求P 0对应
的复数 【详解】
因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v
对应的复数是－1，
所以P 0对应的复数，
即0
OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．
3．设i 为虚数单位，321i
z i
=+-，则||z =（ ）
A ．1 B
C
D 【答案】D 【解析】 【分析】
计算出z ，进而计算z 即可. 【详解】
()()()
3133313222,111222i i i i i z i i i ⋅+-=+
=+=+=+--+
z ∴== 【点睛】
本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力．
4．已知i 是虚数单位，则31i
i
+-=（ ） A ．1-2i B ．2-i
C ．2+i
D ．1+2i
【答案】D 【解析】
试题分析：根据题意，由于33124121112
i i i i
i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算
点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．
5．已知复数2
1i
z =-+，则（ ） A ．2z =
B ．z 的实部为1
C ．z 的虚部为1-
D ．z 的共轭复数为
1i +
【答案】C
分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()
()()
()21211112
i i z i i i ----==
=---+--，
则
2z =，选项A 错误；
z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1z
i =-+，选项D 错误.
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．在复平面内复数83i +、45i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段
AB 的中点，z 为复数z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ） A ．61 B ．13 C ．20 D ．10
【答案】C 【解析】
由题意知点、
的坐标为
、，则点
的坐标为
，
则
，从而
,选C.
7．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．9
【答案】B 【解析】 【分析】
根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】
因为342z i ++≤，
故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离， 故该距离的最大值为()()
22
231412412AB +=
--+--=，
最小值为2412AB -=，故4M m -=.
【点睛】
本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.
8．已知i 是虚数单位，4
4
z 3i (1i)
=-+，则z (= ) A ．10 B ．10
C ．5
D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】
42
44
z 3i 3i 13i (1i)(2i)
=
-=-=--+Q ，22z (1)(3)10∴=-+-=． 故选B ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
9．已知为虚数单位， m R ∈，复数()()
22288z m m m m =-+++-，若z 为负实数，
则m 的取值集合为（ ）
A ．{}0
B ．{}8
C ．()2,4-
D ．()4,2- 【答案】B
【解析】由题设可得2280{280m m m m -=-++<，解之得8m =，应选答案B 。

10．已知复数132z =-，则z z +=（ ） A ．1322i -
- B ．1322
-
+ C ．
1322
i + D ．
1322
- 【答案】C 【解析】
分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得132z z +=
+，从而求得结果.
详解：根据12z =-
，可得12z =-+，且1z =
=，所以有
11122z z +=-++=+，故选C.
点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.
11．已知复数z 满足121i
z i i
+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )
A ．1
B ．2
C D 【答案】D 【解析】 【分析】
按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】
21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i
z i i z i z i i i i i
+-∴
⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，
12||z i z ∴=-+⇒==
故选：D 【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
12．设3443i z i
-=+，()2
1f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．i B ．i -
C ．1i -+
D ．1i +
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】 解：3443i
z i
-=
+Q ()()()()
344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+Q
()()()2
1f z i i i ∴=---+=
故选：A 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
13．已知i 是虚数单位，则复数242i
z i
-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】 解：∵()()()()242232424242105
i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105
z i =
+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32
105
，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，
如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为
.-a bi
14．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案. 【详解】
设z a bi =+，,a b ∈R ，则(
)2
22
2z a b
abi =-+，
2z
为纯虚数220020
a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D. 【点睛】
本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.
15．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ） A ．1188
i + B ．1188
i -+
C ．1188
i --
D ．
1188
i - 【答案】B 【解析】 【分析】 计算得到18
i
z --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】
21111
(12)1,,44888
i i z z z z i i --+=+∴=
==-+-Q . 故选：B . 【点睛】
本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
16．复数
1
1i +的共轭复数是 （ ） A ．1122i + B ．1122i -
C ．1i -
D ．1i +
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数1
1i
+，进而可得结果. 【详解】 因为
()()1111212
11i i i i i -+--==+， 所以
11i
+的共轭复数是1122i +，
故选：A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
17．设i 是虚数单位，若复数()10
3a a R i
-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-1
C ．1
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 因,
故由题设,
故
,故选D ．
考点：复数的概念与运算.
18．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C 【解析】 【分析】
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断. 【详解】
对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,22z i ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
19．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( ) A ．恒等于1
B ．最大值为1，无最小值
C ．最小值为1，无最大值
D ．无最大值，也无最小值
【答案】C 【解析】 【分析】
设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值． 【详解】
解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈， 由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++，
2222(1)(3)x y x y ∴+-=++， 解得1y =-；
||1z ∴=，
即||z 有最小值为1，没有最大值． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．
20．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1
z
=( ) A ．i B ．i -
C ．2i
D ．2i -
【答案】A 【解析】
因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()10
10m m m ⎧-=⎨-≠⎩
，则m =0，所以z i =-，
则
11
i z i
==-.。