浙教版数学九年级上册《相似三角形》习题.docx
4.3 相似三角形 浙教版九年级数学上册同步练习(含答案)
4.3 相似三角形一、选择题（共8小题）1. 如图所示，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于( )A. 5B. 6C. 7D. 42. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x的值为( )A. 7B. 5C. 7或5D. 无数个3. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )A. 5B. 8.2C. 6.4D. 1.84. 已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三边长为3，4，5，如果△DEF的周长为6，那么△DEF中某条边的边长不可能是( )A. 1.5B. 2C. 2.5D. 35. 如图所示，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(1,1)，(4,1)，(6,1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A. (6,0)B. (6,3)C. (6,5)D. (4,2)6. 如图所示，在钝角三角形ABC中，AB=6 cm，AC=12 cm，动点D从点A出发到点B止，动点E从点C出发到点A止，点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )A. 3 s或4.8 sB. 3 sC. 4.5 sD. 4.5 s或4.8 s7. 已知△ABC的三边长分别为2，6，2，△AʹBʹCʹ的两边长分别为1和3，如果△ABC与△AʹBʹCʹ相似，那么△AʹBʹCʹ的第三边长应该是( )A. 2B. 22C. 62D. 338. 如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是( )A. AB2=BC⋅BDB. AB2=AC⋅BDC. AB⋅AD=BD⋅BCD. AB⋅AD=AD⋅CD二、填空题（共6小题）9. 已知△ABC的三边分别是4，5，6，与它相似的△AʹBʹCʹ的最长边为12，则△AʹBʹCʹ的周长是．10. 如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是线段AC的中点，点E在线段AB上，且△ADE∽△ABC，则AE=．11. 如图所示，∠ACB=∠ADC=90∘，AB=5，AC=4，若△ABC∽△ACD，则AD=．12. 如图所示，在△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=6，D为BC中点，E是线段AB上一动点，若△BDE∽△BAC，则BE=．13. 如图所示，在长方形ABCD中，AB=4，AD=3，E是AB边上一点（不与点A，B重合），F是BC边上一点（不与B，C重合）．若△DEF和△BEF是相似三角形，则CF=．14. 如图所示，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=k(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若x△OCD∽△ACO，则直线OA的表达式为．三、解答题（共6小题）15. 如图所示，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36∘，∠D=107∘，△ABC∽△DAC．求：（1）AB 的长．（2）CD 的长．（3）∠BAD 的大小．16. 如图所示，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D ，点 E ，F 分别在 AB ，AC 上，BE =AF ，FG ∥AB 交线段 AD 于点 G ，连接 BG ，EF ．（1）求证：四边形 BGFE 是平行四边形；（2）若 △ABG ∽△AGF ，AB =10，AG =6，求线段 BE 的长．17. 如图所示，已知 △ABG ∽△FBD ，F 是 AB 的中点，求证：BD CD =AE EC ．18. 如图所示，点 C ，D 在线段 AB 上，△PCD 是等边三角形，且 △ACP ∽△PDB ．（1）求 ∠APB 的大小 ⋅（2）说明线段 AC ，CD ，BD 之间的数量关系．19. 如图所示，已知，在平面直角坐标系中有四点：A (―2,4)，B (―2,0)，C (2,―3)，D (2,0)，设 P 是 x 轴上的点，且 PA ，PB ，AB 所围成的三角形与 PC ，PD ，CD 所围成的三角形相似，请求出所有符合上述条件的点 P 的坐标．20. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a，b，c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，问：是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2 ?请说明理由．答案1. B2. C3. D4. D5. B6. A7. A8. A9. 3010. 9411. 16512. 65513. 53或3214. y=2x15. （1）∵△ABC∽△ADC，∴ABAD =BCAC，即AB2=64，∴AB=3．（2）∵△ABC∽△ADC，∴BCAC =ACDC，即64=4DC，∴CD=83．（3）∵△ABC∽△ADC，∴∠CAD=∠B=36∘，∠BAC=∠D=107∘，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107∘+36∘=143∘.16. （1）∵FG∥AB，∴∠BAD=∠AGF．∵∠BAD=∠GAF，∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．∵BE=AF，∴FG=BE．∵FG∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形．（2）BE=3.6．17. ∵△ABG∽△FBD，∴∠G=∠BDF．∴DF∥AG．∵F是AB的中点，∴DF是△ABG的中位线．∴BD=DG．又∵DF∥AG，∴DGCD =AEEC．∴BDCD =AEEC．18. （1）因为△PCD是等边三角形，所以∠PCD=60∘．所以∠ACP=120∘．因为△ACP∽△PDB，所以∠APC=∠B．所以∠APC+∠CPB=∠B+∠CPB．所以∠APB=∠ACP=120∘．（2）因为△ACP∽△PDB，所以AC:PD=PC:BD．所以PD⋅PC=AC⋅BD．因为△PCD是等边三角形，所以PC=PD=CD．所以CD2=AC⋅BD．19. 设OP＝x(x>0)．（1）如图 1 所示，若点P在AB的左边，有两种可能：①若△ABP∽△PDC，则PB:CD≡AB:PD，∴(x―2):3=4:(x+2)，解得x=4．∴点P的坐标为(―4,0)．②若△ABP∽△CDP，则AB:CD＝PB:PD，∴4:3＝(x―2):(x+2)，解得x=―14．不存在．（2）如图 2 所示，若点P在AB与CD之间，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB:CD＝BP:PD，∴4:3=(x+2):(2―x)，解得x=2．7∴点P的坐标为,0．②若△ABP∽△PDC，则AB:PD＝BP:CD，∴4:(2―x)=(x+2):3，方程无解．（3）如图 3 所示，若点P在CD的右边，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB:CD＝BP:PD，∴4:3=(2+x):(x―2)．∴x=14．∴点P的坐标为(14,0)．②若△ABP∽△PDC，则AB:PD＝BP:CD，∴4:(x―2)=(x+2):3，∴x=4或x=―4（舍去）．∴点P的坐标为(4,0)．综止所述，点P的坐标为,0，(14,0)，(4,0)，(―4,0)．20. （1）∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k(k>1)，∴aa1=k，∴a=ka1．又∵c=a1，∴a=kc．（2）取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2．此时aa1=bb1=cc1=2，∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1．（3）不存在这样的△ABC和△A1B1C1．理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1，又∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c．∴b=2c．∴b+c=2c+c<4c=a，而b+c>a，故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．。
浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案(配有卷)
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB落在对角线AC 上，得到折痕AE，那么BE的长度为（）A. B. C. D.2、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交 CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；② △ADC是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB；④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3、如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：① ；②连接，，则为直角三角形；③ ；④若，，则的长为，其中正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.14、如图，在中，，则DF的长为（）A.4B.C.D.35、如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG 分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（）A. B. C. D.6、如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1， l2， l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，DE=4，则DF的长是（）A. B. C.10 D.67、如图，已知l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A，B，C，直线DF分别交l1、l2、l3于D，E，F，DE=4，EF=6，AB=5，则BC的长为（）A. B. C. D.8、如图，直线l1∥l2∥l3 ，直线AC分别交l1 ， l2 ， l3于点A，B，C；直线DF分别交l1 ， l2 ， l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A. B.2 C. D.9、如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为（）A. B. C. D.10、两相似三角形的周长之比为1：4，那么他们的对应边上的高的比为（）A.1∶4B.1∶2C.2∶1D. ∶211、如图，在△ABC中，∠C=90°，过重心G作AC、BC的垂线，垂足分别为D、E，则四边形GDCE的面积与△ABC的面积之比为( )A. B. C. D.12、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（）A.3S1=2S2B.2S1=3S2C.2S1= S2D. S1=2S213、如图，一组互相平行的直线a，b，c分别与直线l1， 12交于点A，B，C，D，E，F，直线11， l2交于点O，则下列各式不正确的是（）A. B. C. D.14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B在反比例函数的图像上，纵坐标分别为1和3，则k的值为（）A. B. C.2 D.315、如图，⊙O的直径为6，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，P在半圆上运动，CP⊥CD交PB的延长线于D点．当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大为（）A.36B.24C.18D.12二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，作EF⊥AE交正方形的外角平分线于点F，连接AF，交CD于点H，连接EH.若AB＝4，则EH的长为________.17、如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为2，则平行四边形ABCD的面积是________.18、如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F.若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝________.19、如图所示，已知点E，F分别是△ABC的边AC，AB的中点，BE，CF相交于点G，FG＝1，则CF的长为________．20、若a：b：c=3：2：5，则=________．21、如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，已知点A的坐标为（1，2），则点C的坐标是________．22、如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C 的坐标为________ ．23、我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为________步。
浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 单元练习(含答案)
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．如果2a =5b ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．a b =25B ．a 5=2b C ．a 2=b 5D ．a 5=b 22．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC =6，DE =3，EF =2，则AB 的长为（ ）A ．3B ．125C ．165D ．1853．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA >PB ，若AB =2，则PA 的长度是（ ）A ．5−1B ．3−5C ．25−4D ．14．如图， 在▱ABCD 中， E 是边AB 上一点， 连结AC ，DE 相交于点F ． 若AE EB =23，则 AF CF 等于（ ）A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．6．△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是( ) A．1：2B．1：4C．1：8D．1:27．如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,∠C=90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为( )A．52B．103C．3D．228．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A1上，若OA:A A1=1:2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（ ）A．1:2B．2:1C．1:3D．3:19．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE,EF，若A C2+D E2=A E2，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）A．1:2B．1:3C．2:3D．2:510．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）A ．4B ．154C ．3D ．114二、填空题11．如图，AC 、BD 交于点O ，连接AB 、CD ，若要使△AOB ∽△COD ，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)12．已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE =1:3，△ABC 与△DEF 的周长比是 ．13．如图，在这架小提琴中，点C 是线段AB 的黄金分割点（BC >AC ）．若AB =60cm ，则BC = cm ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3 6 ，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．16．如图，正方形ABCD 中，BF =FG =CG ，BE =2AE ，CE 交DF 、DG 于M 、N 两点，有下列结论：①DF ⊥EC ；②S △MFC =59S 四边形MFBE ；③DM ：MF =2：1；④MN NC =913．其中，正确的有 ．三、解答题17．（1）已知线段a =2，b =6，求线段a ，b 的比例中项线段c 的长．（2）已知x ：y =3：2，求2x−yx的值．18．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AD BD =32，求DE BC 的值．19．如图，AD 、BC 相交于点P ，连接AC 、BD ，且∠1=∠2，AC =6，CP =4，DP =2，求BD 的长．20． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，∠EAB =∠EBC ．（1）求证：△ABE∽△BEC ；（2）若AB=4，DE=3，求BE的长．21．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB=BC，AC=12，BD=16．（1）求证：四边形ABCD时菱形；（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若∠M=12∠BAC，求MNOM．22．如图，AB∥CD，且AB=2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．（1）求证：△FDM∽△FBM；（2）若F是BC的中点，BD=18，求BM的长；（3）若AD=BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP⋅BP=BF⋅CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=4．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；（3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求△ABE的面积．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】∠A=∠C(答案不唯一)12．【答案】1:313．【答案】(305−30)14．【答案】9415．【答案】21516．【答案】①④17．【答案】（1）解：∵线段a=2，b=6，线段c是线段a、b的比例中项，∴c2=ab=12，∴c=23（负值舍去）；（2）解：∵x：y=3：2，∴可设x=3k，y=2k(k≠0)，∴2x−yx=6k−2k3k=43．18．【答案】3519．【答案】BD=320．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB//CD，∴∠EBA=∠BEC，又∵∠EAB=∠EBC，∴△ABE∽△BEC．（2）解：∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB =DC =4，∵DE =3，∴CE =1，∵△ABE∽△BEC ，∴AB EB =EBEC，∴AB ⋅CE =B E 2=4×1=4，∴BE =2．21．【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD 中，OA=OC ，OB=OD∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∵ AB=BC∴ 平行四边形ABCD 是菱形。
(基础题)浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是（）A.1B.C.2D.42、如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A. B. C. D.3、如图，在平行四边形中，F为BC中点，延长AD至E，连结EF交DC 于点G，若，则（）A.1：2B.1：3C.1：4D.2：94、如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（）A.4个B.3个C.2个D.1个5、已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A.18cmB.5cmC.6cmD.±6cm6、如图，已知点A、B分别是反比例函数y= （x＞0），y= （x＜0）的图象上的点，且，∠AOB=90°，则的值为（）A.4B.C.2D.7、下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A.∠C=∠F=90°，∠A=55°，∠D=35°B.∠C=∠F=90°，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9C.∠C=∠F=90°，D.∠B=∠E=90°，=8、如图，平行四边形ABCD中，点E为AD边中点，连接AC、BE交于点，若的面积为关于的一元二次方程的解，则的面积为（）．A.4B.5C.6D.79、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A.（6+ ）米B.12米C.（4﹣2 ）米D.10米10、如图，已知△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，点B的坐标为(﹣3，2)，则点C的坐标为( )A.(3，﹣2)B.(6，﹣4)C.(4，﹣6)D.(6，4)11、如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC 交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有（）①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；②I到△ABC三个顶点的距离相等；③∠BIC=90°+ ∠BAC；④线段DI是线段DE与DA的比例中项；⑤点D是△BIC的外心．A.1个B.2个C.3个D.4个12、如图，已知△ABC，P是边AB上的一点，连结CP，以下条件中不能确定△ACP与△ABC相似的是（）A.∠ACP=∠BB.∠APC='∠ACB'C.AC 2=AP·ABD.13、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，把沿BC折叠后，与弦AB交于点P，恰好OP⊥AB．若OP=1，AB=4，则BC：AC等于（）A. B. C. D.14、如右图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为0.3米，踏板长为1.6米，支撑点到踏脚的距离为0.6米，原来捣头点着地,现在踏脚着地，则捣头点上升了（）A.1.2米B.1米C.0.8米D.1.5米15、生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b为2米，则a约为（）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC =________cm2.17、如图，B、C、D依次为一直线上4个点，BC=3，△BCE为等边三角形，⊙O 过A、D、E三点，且∠AOD=120°.设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为________.18、如图，已知Rt ABC中，AC=b，BC=a，D1是斜边AB的中点，过D1作D 1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D 5，…，Dn，分别记BD1E1，BD2E2，BD3E3，…，BDnEn的面积为S1， S2， S3，…Sn．则（1）=________，（2）Sn=________．19、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是________．20、如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是________（填一个即可）.21、如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则Sn=________（用含n的式子表示）．22、如图，在菱形中，是的中点，连接，，将沿直线翻折，使得点落在上的点处，连接并延长交于点，则的值为________.23、如果，∠C=∠F=90°，AB=5，BC=3，DE=15，则DF=________．24、若线段MN的长为1，P是MN的黄金分割点(MP＜NP),则MP的长为________.25、如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=________三、解答题(共5题，共计25分)26、已知x：y：z=2：3：4，求的值．27、如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．28、周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C. A共线.已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.29、已知：= = ，x﹣y+z=6，求：代数式3x﹣2y+z的值．30、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、D3、B4、B5、C6、C7、D9、A10、B11、D12、D13、B14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、30、。
九年级数学上册第四章《相似三角形》练习题-浙教版(含答案)
九年级数学上册第四章《相似三角形》练习题-浙教版（含答案）一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.如图，ABC △与DEF △位似，点O 为位似中心，相似比为2:3.若ABC △的周长为4，则DEF △的周长是( ) A.4B.6C.9D.162.若ABC ∆∽DEF ∆，6BC =，4EF =，则ACDF=( ) A.49B.94C.23D.323．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ） A ．16 B ．8C ．2D ．14．设32yx =，则y x y x 523+-的值为（ ）A ．113B ．199 C ．193 D ．167 5.如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE BF =．将AEH △，CFG △分别沿边EH ，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116时，则EB AE 为（ ） A ．53B ．2C ．25D ．356.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点（位于AB 下方），CD 交AB 于点E ，若∠BDC ＝45°，BC ＝62 ，CE ＝2DE ，则CE 的长为（ ） A ．22B ．24C ．53D ．547.如图平行四边形ABCD 中，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使4:3:=AE AD ，连结EF 交DC 于点G ，则=∆∆CPG DEG S S :（ ） A ．2∶3B ．4∶9C ．9∶4D ．3∶28.如图，在四边形ABCD 中，以AB 为直径的O 恰好经过点C ，AC ，DO 交于点E ，已知AC 平分BAD ∠，90ADC ∠=︒，:25CD BC =:CE AE 的值为（ ）A ．2:5B ．4:5C ．5:22D ．5:89.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若AE ＝2BE ，则BHCG的值为（ ） A ．23 B ．2C ．7103 D ．553 10.将一张以AB 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ，其中90A ∠=︒，9AB =，7BC =，6CD =，2AD =，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( ) A.252B.454C.10D.354二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图，线段AB 两个端点的坐标分别为()12,12A ，()4,16B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的21后得到线段CD ，则端点D 的坐标为12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥BC ，且AE ：EB ＝2：3，CD ＝15，则FC ＝ 13．如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有______________14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，平移的距离为_____________ 15．如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B 停止，动点E 从点C 出发到点A 停止，点D 运动的速度为1cm/s ，点E 运动的速度为2cm/s ，如果两点同时开始运动，那么以点A ，D ，E 为顶点的三角形与ABC 相似时的运动时间为_______________16.如图，四边形ABCD 是正方形，点E 在边AD 上，BEF △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，EF ，BF 分别交CD 于点M ，N ，过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点G .连接DF ，请完成下列问题：（1）FDG ∠=_______°；（2）若1DE =，22DF =，则MN =________.三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题6分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 上的点，∠AED ＝∠B ，△ABC 用平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F ．（1）求证：△AED ∽△ABC ．（2）设23AD AC，求AG AF的值．18.（本题8分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．M 为AD 中点，连接CM 交BD 于点N ．（1）求DN ：BN 的值；（2）若△OCN 的面积为2，求四边形AONM 的面积．19（本题8分）如图，在ABC △中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，14DE BC =.（1）若8AB =，求线段AD 的长.（2）若ADE △的面积为1，求平行四边形BFED 的面积.20.（本题10分）如图，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线AG 交⊙O 于点G ，交BC 边于点F ，连接BG ．（1）求证：△ABG ∽△AFC ．（2）已知AB ＝a ，AC ＝AF ＝b ，求线段FG 的长（用含a ，b的代数式表示）．（3）已知点E 在线段AF 上（不与点A ，点F 重合），点D 在线段AE 上（不与点A ，点E 重合），∠ABD ＝∠CBE ，求证：BG 2＝GE •GD ．21.（本题10分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AC 上一点，射线BE 与CD 的延长线交于点P ，与边AD 交于点F ，连接FC ．（1）若∠ABF ＝∠ACF ，求证：CE 2＝EF •EP ； （2）若点D 是CP 中点，BE ＝32，求EF 的长．22（本题12分）．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm /s ，点Q 运动的速度是2cm /s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR ∥BA 交AC 于点R ，连接PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ．23（本题12分）如图，已知抛物线24y ax ax =-交x 轴于点A ，与直线12y x =交于点B （非原点），过点B 作BC ∥x 轴交抛物线于点C ，6BC =．（1）求a 的值．（2）若P 是线段BC 上一点，过点P 作x 轴的垂线分别交直线OB 与抛物线于E ，F ．求线段EF 的最大值．（3）若P 是射线BC 上一点，作点F 关于直线BC 的对称点G ，连结PG ，BG ．是否存在BPG ∆与PBE ∆相似，若不存在请说明理由，若存在请求出点G 的坐标．参考答案一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.答案：B解析：由两个位似图形的周长比等于位似比可知，23ABC DEF C C =△△， 334622DEF ABC C C ∴==⨯=△△.故选B.2.答案：D解析：~ABC DEF △△， BC ACEF DF∴=， 6BC =，4EF =，6342AC DF ∴==. 故选择：D3.答案：B解析：设另一个三角形的周长为x ，则 4：x ＝41， 解得：x ＝8．故另一个三角形的周长为8， 故选：B ．4.答案：C 解析：∵32y x = ∴y x 32=，∴19331953425322323523==+-=+⨯-⨯=+-y y y y y y y y yy y x y x ． 故选：C ．5.答案：D解析：设重叠的菱形边长为x ，BE =BF =y ，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME 、四边形BENF 是菱形， ∴AE =EM ，EN =BE =y ，EM =x +y ，∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116，且两个菱形相似， ∴AB =4MN =4x ， ∴AE =AB -BE =4x -y ， ∴4x -y =x +y ， 解得：x =23y ，∴AE =53y ，∴5533yAE EB y ==， ∴35BE AE =， 故选：D ．6.答案：D解析：连接CO ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，连接AD ，∵∠BDC ＝45°， ∴∠CAO ＝∠CDB ＝45°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°， ∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°， ∵BC ＝62， ∴AB ＝ 2BC ＝12， ∵OA ＝OB ， ∴CO ⊥AB ，∴∠COA ＝∠DGE ＝90°， ∵∠DEG ＝∠CEO ， ∴△DGE ∽△COE ， ∴CDDGOE GE CE DE ===21， ∵CE ＝2DE ，设GE ＝x ，则OE ＝2x ，DG ＝3， ∴AG ＝6﹣3x ，BG ＝6＋3x ， ∵∠ADB ＝∠AGD ＝90°， ∠DAG ＝∠BAD ， ∴△AGD ∽△ADB ， ∴DG 2＝AG •BG ，∴9＝（6﹣3x ）（6＋3x ）， ∵x ＞0， ∴x ＝3， ∴OE ＝23 ，在Rt △OCE 中，由勾股定理得：CE ＝34361222=+=+OC OE ，故答案为：D ．7.答案：B解析：∵4:3:=AE AD ∴设x AE x AD 4,3==， ∴x x x AD AE DE =-=-=34， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴x AD BC BC AD 3,//==，∵点F 是BC 的中点，xBC CF 2321==∴BC AD //FCG EDG CFG DEG ∠=∠∠=∠∴,∴△DEG ∽△CFG,942322=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆∆x x CF DE S S CFGDEG故答案为：B ．8.答案：D解析：如图所示，连接OC ∵AB 是圆的直径， ∴∠ACB =∠ADC =90°， ∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC =∠CAB ，∠DAB =2∠CAB ， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴5CD AC ADBC AB AC==， ∴25AC AB =， ∴225BC AB AC AB =-=，455AD AC AB == ∴255CD AB ==，又∵∠BOC =2∠CAB ， ∴∠BOC =∠DAB ， ∴AD ∥OC ， ∴△OCE ∽△DAE ，∴152485AB CE OC AE DA AB ===，故选D ．9.答案：C解析：如图，过点G 作GT ⊥CF 交CF 的延长线于T ，设BH 交CF 于M ，AE 交DF 于N ．设BE ＝AN ＝CM ＝DF ＝a ，则AE ＝BM ＝CF ＝DN ＝2a ， ∴EN ＝EM ＝MF ＝FN ＝a ， ∵四边形ENFM 是正方形，∴∠EFH ＝∠TFG ＝45°，∠NFE ＝∠DFG ＝45°， ∵GT ⊥TF ，DF ⊥DG ，∴∠TGF ＝∠TFG ＝∠DFG ＝∠DGF ＝45°， ∴TG ＝FT ＝DF ＝DG ＝a ， ∴CT ＝3a ，CG ＝()a a a 10322=+，∵MH ∥TG ， ∴△CMH ∽△CTG ， ∴CM ：CT ＝MH ：TG ＝1：3， ∴MH ＝a 31， ∴BH ＝a a a 37312=+， ∴71033710==a a BH CG ，故选：C ．10.答案：A 解析：如图1所示，由已知可得，~DFE ECB △△， 则DF FE DEEC CB EB==， 设DF x =，CE y =， 则9672x yy x+==+， 解得274214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2145644DE CD CE ∴=+=+=，故选项B 不符合题意； 2735244EB DF AD =+=+=，故选项D 不符合题意； 如图2所示，由已知可得，DCF FEB △△， 则DC CF DF FE EB FB==， 设FC m =，FD n =， 则6927m nn m ==++， 解得810m n =⎧⎨=⎩，10FD ∴=，故选项C 不符合题意； 8614BF FC BC =+=+=，如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和7； 故选A.二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.答案：（8，2）解析：∵线段AB 端点B 的坐标分别为B （16，4），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的21后得到线段CD ， ∴端点D 的横坐标和纵坐标都变为B 点的一半，∴端点D 的坐标为：（8，2）．故答案是：（8，2）．12.答案：9解析：∵AD ∥BC ∥EF ，AE ：EB ＝2：3，∴32==EB AE FC DF ， ∴35=FC DC ， ∵CD ＝15，∴FC ＝9．故答案为：9．13.答案：三条解析：过点M 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，∵截得的三角形与△ABC 相似，∴过点M 作AB 的垂线，或作AC 的垂线，或作BC 的垂线，所得三角形满足题意∴过点M 作直线l 共有三条．15.答案：4解：如图，设正方形D ′C ′O ′E ′是正方形OCDE 沿x 轴向右平移后的正方形，∵顶点A ，B 的坐标分别为（-2，6）和（7，0），∴AC =6，OC =2，OB =7，∴BC =9，∵四边形OCDE 是正方形，∴DE =OC =OE =2，∴O ′E ′=O ′C ′=2，∵E ′O ′⊥BC ，∴∠BO ′E ′=∠BCA =90°，∴E ′O ′∥AC ，∴△BO ′E ′∽△BCA ， ∴E O BO AC BC ='''， ∴269BO '=， ∴BO ′=3，∴OO ′=7-3=4，15.答案：3s 或4.8s ．解析：设以点A ，D ，E 为顶点的三角形与ABC 相似时的运动时间为s t ， 根据题意得：cm AD t = ，2cm CE t = ，则()122cm AE t =- ，当ADE ABC ，即AD AE AB AC = 时， ∴122612t t -=，解得：3t = ； 当ADE ACB ，即AD AE AC AB = 时， ∴122126t t -=，解得： 4.8t = ， 综上所述，以点A ，D ，E 为顶点的三角形与ABC 相似时的运动时间为3s 或4.8s ．16.答案：045 1526 解析：（1）90A BEF G ∠=∠=∠=︒，BE EF =，易证ABE GEF ≅△△，EG AB AD ∴==，GF AE =，DG AE GF ∴==，DFG ∴△是等腰直角三角形，45FDG ∴∠=︒.（2）由（1）可知DFG △是等腰直角三角形.又22DF =，2DG GF ∴==，123CD BC AB EG ED DG ∴====+=+=.如图，分别延长GF ，BC ，两线交于点H ，则//CD GH ，3GH CD ==，2CH DG ==，EDM EGF ∴△△，BNC BFH △△，MD ED GF EG ∴=，NC BC FH BH=， 即123MD =，33232NC =-+， 23MD ∴=，35NC =， 232633515MN CD MD NC ∴=--=--=.三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.解析：（1）∵∠AED ＝∠B ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△AED ∽△ABC ；（2）∵△AED ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠ACB ，∵AF 平分∠BAC ，∴∠DAG ＝∠CAF ，∴△ADG ∽△ACF ， ∴2=3AG AD AF AC =．18.解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴∠MDN ＝∠CBN ，又∵∠BNC ＝∠DNM ，∴△MND ∽△CNB ，∴BNDN BC DM =， ∵M 为AD 的中点， ∴BC AD DM 2121==， ∴DN ：BN ＝1：2；（2）连接OM ，∵△MND ∽△CNB ，DN ：BN ＝1：2；∴MN ：CN ＝1：2，∴MC ：CN ＝3：2，∴S △OCM ：S △OCN ＝3：2，∵S △OCN ＝2，∴S △OCM ＝3，∴S △ACM ＝2S △OCM ＝6，∴S 四边形AONM ＝S △ACM ﹣S △OCN ＝6﹣2＝4．19.解析：（1）由题意，得//DE BC ，所以ADE ABC ∽△△， 所以14AD DE AB BC ==. 因为8AB =，所以2AD =.（2）设ABC △的面积为S ，ADE △的面积为1S ，CEF △的面积为2S . 因为14AD AB =, 所以21116S AD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 因为11S =,所以16S =.因为34CE CA =, 所以同理可得29S =，所以平行四边形BFED 的面积126S S S =--=.20.解析：（1）证明：∵AG 平分∠BAC ，∴∠BAG ＝∠FAC ，又∵∠G ＝∠C ，∴△ABG ∽△AFC ；（2）由（1）知，△ABG ∽△AFC ，∴ACAG AF AB =， ∵AC ＝AF ＝b ，∴AB ＝AG ＝a ，∴FG ＝AG ﹣AF ＝a ﹣b ；（3）∵∠CAG ＝∠CBG ，∠BAG ＝∠CAG ，∴∠BAG ＝∠CBG ，∵∠ABD ＝∠CBE ，∴∠BDG ＝∠BAG +∠ABD ＝∠CBG +∠CBE ＝∠EBG ，又∵∠DGB ＝∠BGE ，∴△DGB ∽△BGE ， ∴GE BG BG GD =， ∴GD GE BG ⨯=2．21.解析：（1）∵平行四边形ABCD ，射线BE 与CD 的延长线交于点P ， ∴AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠P ，∵∠ABF ＝∠ACF ，∴∠ACF ＝∠P ，∵∠CEF ＝∠PEC ，∴△CEF ∽△PEC ，∴CEEF PE CE =， 即CE 2＝EF •PE ；（2））∵平行四边形ABCD ，射线BE 与CD 的延长线交于点P ， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∴∠ABF ＝∠P ，∵∠AEB ＝∠CEP ，∴△BEA ∽△PEC ，∴CPAB PE BE =， ∵点D 是CP 的中点， ∴CP ＝2CD ＝2AB ，点F 是BP 的中点，∴2132=PE解得：34=PE ，∴PF ＝21BP ＝21（BE +PE ）＝33 ∴EF ＝PE ﹣PF ＝322.解析：（1）△BPQ 是等边三角形当t ＝2时AP ＝2×1＝2，BQ ＝2×2＝4∴BP ＝AB ﹣AP ＝6﹣2＝4∴BQ ＝BP又∵∠B ＝60°∴△BPQ 是等边三角形；（2）过Q 作QE ⊥AB ，垂足为E在Rt △BEQ 中，∠BQE ＝90°﹣∠B ＝30°，QB ＝2t ， ∴BE ＝t ，QE ＝3t 由AP ＝t ，得PB ＝6﹣t∴S △BPQ ＝21×BP ×QE ＝21（6﹣t ）×3t ＝t t 33232+- ∴t t s 33232+-=； （3）∵QR ∥BA∴∠QRC ＝∠A ＝60°，∠RQC ＝∠B ＝60°∴△QRC 是等边三角形∴QR ＝RC ＝QC ＝6﹣2t∵BE ＝BQ •cos60°＝21×2t ＝t ∴EP ＝AB ﹣AP ﹣BE ＝6﹣t ﹣t ＝6﹣2t∴EP ∥QR ，EP ＝QR∴四边形EPRQ 是平行四边形∴PR ＝EQ ＝3t又∵∠PEQ ＝90°，∴∠APR ＝∠PRQ ＝90°∵△APR ∽△PRQ ， ∴AP PR PR QR =， ∴t t tt 3326=- 解得t ＝56 ∴当t ＝56时，△APR ∽△PRQ ．23.解析：（1）抛物线24y ax ax =-，令120,0,4y x x === ， 抛物线对称轴为422a x a-=-= ， ∵B 点在抛物线上，且BC =6，∴B 点横坐标为6252+= ， ∵B 点在直线12y x =上， ∴代入B 点横坐标求得52y =，即55,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 将55,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入24y ax ax =-，得：525202a a =-，解得12a = ； （2）由（1）知12a =，所以抛物线为2122y x x =- ， ∵P 是线段BC 上一点，PF x ⊥轴，∴E 、F 的横坐标15x -≤≤ ， 设EF 的最大值为M ，E 、F 横坐标相同，则22111522222M x x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，为开口向下的抛物线，有最大值，2215404252214842ac b M a ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-⨯，∴EF 的最大值为258； （3）存在， 如图：EF 交x 轴于点M∵//BC x 轴，∴OEM BEP ， ∵BEP GBP ， ∴OEM GBP ， ∴OM EM GP BP= ， ∵P 在射线BC 上且可形成△GPB ，55,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设P 点横坐标为x ，∴P 点横坐标5x < ,∴5PB x =- ，G 点、E 点、F 点横坐标都为x ， ∵E 在直线12y x =上， ∴1,2OM x EM x == ， ∵G 为点F 关于直线BC 的对称点，且F 在抛物线2122y x x =-上， ∴21,22F x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 即2122MF x x =- ， ∴215222PF x x =-+ ， ∴215222PG x x =-+ ， ∴OM EM GP BP ==212155222x x xx x =--+ 解得：123,5x x == ，∵5x <，∴取3x = ， ∴2152422PG x x =-+= ， ∴G 点纵坐标为513422+= ，∴133,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
【九年级】九年级上册第4章相似三角形单元试题(浙教版带答案)
【九年级】九年级上册第4章相似三角形单元试题（浙教版带答案）M第4章相似三角形检测题（本试卷满分120分，时间：120分钟）一、（每小题3分，共30分）1.已知四条线段是成比例线段，即，下列说法错误的是（）A．B.C.D．2.若，且，则的值是（）A.14B.42C.7D.3.下列四组图形中，不是相似图形的是（）4.已知两个相似多边形的面积比是9?16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为( )A.48 cmB.54 cmC.56 cmD.64 cm5.如图，在△ 中，点分别是的中点，则下列结论：① ；②△ ∽△ ；③ .其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个6.如图，已知 // ， // ，分别交于点，则图中共有相似三角形（）A.4对B.5对C. 6对D.7对7.如图，在△ 中，∠ 的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（）A. B. C. D.8.已知△ 如图所示，则下列4个三角形中，与△ 相似的是（）9.（2021•四川中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（）A. 1?2B. 1?3C. 1?4D. 1?510.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）二、题（每小题3分，共24分）11.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________．1 2.已知，且，则 _______.13.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC ＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．14. 若，则 .15.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是_____ .16.已知五边形∽五边形，17.如图，在△中，分别是边上的点， , 则 _______．18.如图，△ 三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心，将△ 缩小，位似比为，则线段的中点变换后对应点的坐标为_________.三、解答题（共66分）19.（8分）已知：如图，是上一点，∥ ，，分别交于点，∠1=∠2，探索线段之间的关系，并说明理由.20.(8分)已知：如图所示，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥A B于点F，EG⊥AD于点G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．21.(8分)试判断如图所示的两个矩形是否相似.22.（8分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点.（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1 2；（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）.23.（8分）已知：如图，在△ 中，∥ ，点在边上，与相交于点，且∠ ．求证：（1）△ ∽△ ；（2）24．（8分）如图，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的长．25.(8分)下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似的，它们的一切对应线段之比都等于相似比a∶b．设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则．又设Ｖ甲、Ｖ乙分别表示这两个正方体的体积，则．（1）下列几何体中，一定是相似体的是（）A．两个球体 B．两个圆锥体C．两个圆柱体D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于______；②相似体的表面积的比等于______；③相似体的体积的比等于_______．（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了八年级时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）26.（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图①，在 ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若 =3,求的值.（1）尝试探究在图①中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是，CG和EH的数量关系是，的值是 .（2）类比延伸如图②，在原题的条件下，若 =m(m＞0）,则的值是 (用含m的代数式表示），试写出解答过程.（3）拓展迁移如图③，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F.若=a, =b (a＞0，b＞0)，则的值是 (用含a、b的代数式表示）.第4章相似三角形检测题参考答案一、1.C 解析：由比例的基本性质知A、B、D项都正确，C项不正确.2.D 解析：设，则所以所以 .3.D 解析：根据相似图形的定义知，A、B、C项都为相似图形，D项中一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形.4.A 解析：两个相似多边形的面积比是9?16，则相似比为3?4，所以两图形的周长比为3?4，即36?48，故选A.5.A 解析：因为点分别是的中点，所以是△ 的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确.6.C 解析：△ ∽△ ∽△ ∽△ .7. B 解析：在△ 中，∠ 由勾股定理得因为所以 .又因为所以△ ∽△ 所以，所以，所以 .8.C 解析：由对照四个选项知，C项中的三角形与△ 相似.9.A 解析:易证△BCD与△BAC相似，而周长比等于相似比，相似比等于对应边的比,△BCD与△BAC的相似比＝，且∠BCD ＝∠A=30°，由30°角所对的直角边等于斜边的一半,可得＝ .10.D 解析：选项A中，将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交，利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等，因此两三角形相似；B中，由于任意两个等边三角形相似，因此B中两三角形相似；同理C中两正方形相似；D 中内、外两矩形对应边不成比例，故两矩形不相似.二、题11.90，270 解析：设另一三角形的其他两边长分别为由题意得，所以又因为所以三角形是直角三角形，所以周长为12.4 解析：因为，所以设，所以所以13. 或2 解析：设，由折叠的性质知，当△ ∽△ 时，，∴ ，解得 .当△ ∽△ 时, ，∴ ，解得.∴ 的长度是或2.14. 解析：设，则，，，∴ .15.8 解析：由反射角等于入射角知∠ ∠ ，所以△ ∽△ 所以，所以，所以16. 解析：因为五边形∽五边形所以 .又因为五边形的内角和为所以 .17. 解析：在△ 和△ 中，∵ , ,∴ △ ∽△ .∴ ∴ ∴ .18. 或解析：∵ （2，2），（6，4），∴ 其中点坐标为（4，3），又以原点为位似中心，将△ 缩小，位似比为，∴ 线段的中点变换后对应点的坐标为或 .三、解答题19.解： . 理由如下：∵ ∠ ∠ ，∴ .又∵ ∴ △ ∽△ ，∴ ，即 .20.分析：通过观察可以知道四边形是正方形，的值与的值相等，从而可以求出的长；根据相似多边形的面积比等于相似比的平方可以求出四边形的面积.解:已知正方形ABCD，且EF⊥AB，EG⊥AD,∴ EF∥CB，EG∥DC.∴ 四边形AFEG是平行四边形.∵ ∠1 ∠2 45°,∴ .又∵ ∠ ，∴ 四边形AFEG是正方形，∴ 正方形ABCD∽正方形AFEG，∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=AB2∶AF2（相似多边形的面积比等于相似比的平方）.在△ABC中，EF∥CB ,∴ AE∶EC=AF∶FB=2∶1.又,∴ .∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=36∶16，∴ .21.分析：要判定两个多边形相似，必须对应角相等，对应边成比例，因矩形的四个角都是直角，符合对应角相等，只要证明对应边成比例即可.解：因为两个图形都是矩形，显然它们的四个角都分别相等.从图中数据观察可知小矩形的长为20，宽为10，于是两个矩形的长之比为 = ,宽之比为 ,符合对应边成比例，对应角相等，故这两个矩形是相似的.22.解：（1）如图.（2）四边形的周长=4+6 .23.证明：（1）∵ ，∴ ∠ ．∵ ∥ ，∴ ，．∴ ．∵ ，∴ △ ∽△ ．（2）由△ ∽△ ，得．∴ ．由△ ∽△ ，得．又∵ ∠ ∠ ，∴ △ ∽△ ．∴ ．∴ ．∴ ．24.（1）证明：在正方形中，， .∵ ∴ ，∴ ，∴ .（2）解：∵ ∴ ，由(1)得，∴ ，∴ .由∥ ，得，∴ △ ∽△ ，∴ ，∴ .25.分析：本题是相似图形的推广，理解相似正方体的概念和性质，由此类比，从而得出相似体的性质.解：（1）A（2）①相似比②相似比的平方③相似比的立方（3）可由相似体的特征，直接列方程求解．设他的体重为千克，则．解得（千克）．答：他的体重为60.75千克.26.分析：（1）∵ EH∥AB,∴ ∠BAF=∠HEF,∠ABF=∠EHF,∴ △ABF∽△EHF.∴ = =3,∴ AB=3EH.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD.又EH∥AB，∴ EH∥CD.∴ △BEH∽△BCG,∴ = =2,即CG＝2EH.∴ ＝＝＝ .（2）作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB,△BEH∽△BCG,∴ 可证AB＝mEH，CG ＝2EH，从而＝＝ .（3）过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则△BCD∽△BEH,△ABF∽△EHF，∴ = , = .∴ EH= , = =ab.解：（1）AB＝3EH；CG＝2EH； .（2） .解答过程如下：作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB.∴ = =m,∴ AB=mEH.∵ AB=CD,∴ CD=mEH.∵ EH∥AB∥CD,∴ △BEH∽△BCG.∴ ＝＝2，∴ CG＝2EH.∴ = = .(3)ab.5 Y感谢您的阅读，祝您生活愉快。
【浙教版】九年级数学上册 第4章《相似三角形》检测题(含答案)
九(上)第4章检测题(时间：120分钟 满分：120分)一.选择题(每小题3分，共30分)1.若互不相等的四条线段a ，b ，c ，d 满足a b ＝c d ，m 是任意实数，则下列各式中，一定成立的是( D ) A.a c ＝d b B.a ＋m b ＝c ＋m dC.a ＋m b ＋m ＝c ＋m d ＋mD.a ＋cm c ＝b ＋dm d2.如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB ＝4，CD ＝7，AD ＝10，则AP 的长等于( A )A.4011B.407C.704D.7011第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图3.如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使EF ＝DE ，连结CF ，则S △CEF ∶S 四边形BCED 的值为( A )A.1∶3B.2∶3C.1∶4D.2∶54.如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是( B )A.(6，0)B.(6，3)C.(6，5)D.(4，2)5.如图，直线AC ，AD 分别交⊙O 于点B ，C ，D ，E ，BD ，CE 相交于点F ，连结CD 和BE ，则图中共有相似三角形( C )A.2对B.3对C.4对D.5对6.如图，给出下列条件，其中能单独判定△ABC ∽△ACD 的个数为( C )①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝AB BC；④AC 2＝AD ·AB . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.已知a 4＝b 5＝c 6，且a －b ＋c ＝10，则a ＋b －c 的值为( A ) A.6 B.5 C.4 D.38.如果线段AB ＝15，点C 是AB 上靠近点B 的黄金分割点，那么AC 的值约为( B )A.0.618B.9.27C.9.27或5.73D.5.739.如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角形的直角顶点与O 重合，转动三角板使两直角边始终与BC ，AB 相交，交点分别为M ，N .如果AB ＝4，AD ＝6，OM ＝x ，ON ＝y ，则y 与x 的表达式是( D )A.y ＝23xB.y ＝6xC.y ＝xD.y ＝32x 10.如图，四边形ABCD .CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连结BG ，DE ，DE 和FG 相交于点O .设AB ＝a ，CG ＝b (a >b ).下列结论：①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③DG GC ＝GO CE；④(a －b )2·S △EFO ＝b 2·S △DGO .其中结论正确的个数是( B )A.4个B.3个C.2个D.1个二.填空题(每小题4分，共24分)11.已知线段a ＝3 cm ，b ＝6 cm ，若线段b 是线段a 与c 的比例中项，则c ＝__12__cm. 12.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处.已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝1.2米，BP ＝1.8米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度是__8__米.第12题图 第14题图 第15题图 第16题图13.在△ABC 中，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，在AB 边上有一点D ，AD ＝4 cm ，在AC 边上有一动点E .试问：当AE ＝__3或163__cm 时，△ABC 与△ADE 相似.14.如图，△ABC 的中位线DE ＝5 cm ，把△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上的点F 处，若A ，F 两点间的距离是8 cm ，则△ABC 的面积为__40__cm 2.15.如图，在直角坐标系中有两点A (4，0)，B (0，2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合).当点C 的坐标为__(1，0)或(－1，0)或(－4，0)__时，使得由点B ，O ，C 组成的三角形与△AOB 相似.16.如图，△ABC 是边长为6 cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，被截成相同高度的三等份，则图中阴影部分的面积为__33__cm2.三.解答题(共66分)17.(7分)如图，▱ABCD中，AC，BD交于点O，BC＝18，OE＝2，BO＝4，求AF.解：1218.(7分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G.求证：BC2＝BG·BF.解：证△BCG∽△BFC19.(8分)小彬星期天到郊外玩，来到一条不能到达对岸的河边，如图，他决定测量一下小河的宽度(河岸大致平行).小彬找到与河岸大致垂直的A，B两个目标，顺河岸找到点D，使C点与A，B在同一条直线上，E点与A，D在同一条直线上，并使CE∥BD，测得BC＝a，BD＝b，CE＝c.(1)求小河的宽度AB；(用含a，b，c的代数式表示)(2)请你再设计一种利用皮尺和标杆测量河宽的方案，画出图形，用a，b，…，表示测量所得的数据，并求出小河的宽度.解：(1)AB ＝ab c －b(2)如图BC ＝a ，CD ＝b ，DE ＝c ，则AB ＝ac b 20.(8分)如图，在△ABC 中，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于E 点，交△ABC 的外接圆⊙O 于D 点.(1)求证：△ABE ∽△ADC ；(2)连结BD ，OB ，OC ，OD ，且OD 交BC 于点F ，若点F 恰好是OD 的中点.求证：四边形OBDC 是菱形.解：(1)∵∠BAC 的角平分线AD ，∴∠BAE ＝∠CAD ，∵∠ABE ＝∠ADC ，∴△ABE ∽△ADC (2)∵∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ︵＝CD ︵，∵OD 为半径，∴DO ⊥BC ，∵F 为OD 的中点，∴OB ＝BD ，OC ＝CD ，∵OB ＝OC ，∴OB ＝BD ＝CD ＝OC ，∴四边形OBDC 是菱形21.(8分)如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，连结DE ，点P 从点D 出发，沿DE 方向匀速运动，速度1 cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2 cm/s ，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动，连结PQ ，设运动时间为t (s)(0<t <4)，当t 为何值时，PQ ⊥AB?解：由△PEQ ∽△ABC ，则有4－t 10＝2t －58，解得t ＝411422.(8分)如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ，连结FG .(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长.解：(1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM (不唯一) (2)53 点拨：由△AMF ∽△BGM ，得出BG ＝83.∠A ＝∠B ＝45°，可推出∠FCG ＝90°，以及AC ＝BC ＝4.在Rt △CFG 中，FG ＝12＋（43）2＝5323.(10分)在锐角△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，∠ACB ＝45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1.(1)如图①，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；(2)如图②，连结AA 1，CC 1.若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积.解：(1)90° (2)证△ABA 1∽△CBC 1，由S △ABA1S △CBC 1＝(AB BC )2＝1625，又∵S △ABA 1＝4，∴S △CBC 1＝25424.(10分)如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 边上有一动点P ，连结PD ，线段PD 绕点P 顺时针旋转90°后，得到线段PE ，且PE 交BC 于点F ，连结DF ，过点E 作EQ ⊥AB 的延长线于点Q .(1)求线段PQ 的长；(2)点P 在何处时，△PFD ∽△BFP ，并说明理由.解：(1)根据题意得：PD ＝PE ，∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠QPE ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°，∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠ADP ＝∠QPE ，∵EQ ⊥AB ，∴∠A ＝∠Q ＝90°.在△ADP 和△QPE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝PE ，∴△ADP ≌△QPE (AAS )，∴PQ ＝AD ＝1(2)∵△PFD ∽△BFP ，∴PB BF ＝PD PF.∵∠ADP ＝∠EPB ，∠CBP ＝∠A ，∴△DAP ∽△PBF ，∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝PB BF ，∴PA ＝PB ，∴PA ＝12AB ＝12.∴当P 在AB 的中点时，△PFD ∽△BFP。
浙教版九年级数学上册 第四章《相似三角形》基础训练卷(含答案)
第四章《相似三角形》基础测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各组线段的长度成比例的为（）A. 2 cm ，3 cm ，4 cm ，5 cmB. 2.5 cm ，3.5 cm ，4.5 cm ，6.5 cmC. 1.1 cm ，2.2 cm ，4.4 cm ，8.8 cmD. 1 cm ，3 cm ，4 cm ，6 cm2. 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1：2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为（ ）A ．1：2B ．2：1C ．1：4D ．4：13. 如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ，BC 的中点M ，N ，并测量出MN 的长为12m ，由此他就知道了A 、B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）A. AB =24mB. MN ∥ABC. △CMN ∽△CABD. CM ：MA =1：24.已知,则的值为 ( )0432≠==c b a cb a +A. B. C.2 D.5445215．用一个2倍的放大镜照一个ΔABC ，下列命题中正确的是（）A.ΔABC 放大后角是原来的2倍B.ΔABC 放大后周长是原来的2倍C.ΔABC 放大后面积是原来的2倍D.以上的命题都不对3. 已知线段=9cm , =4cm , 是, 的比例中项，则等于（ ）a b x a b x A. 6cm B. －6cm C. ±6cm D. cm 8147. 下列叙述正确的是（ ）A. 任意两个等腰三角形相似;B. 任意两个等腰直角三角形相似C. 两个全等三角形不相似;D. 两个相似三角形的相似比不可能等于18．下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是 （ ）A ．B ．C ．D ．9.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ：FC 等于（ ）A ． 3：2B ．3：1C ．1：1D ．1：2第9题 第10题10．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件①∠B ＋∠DAC ＝90° ②∠B ＝∠DAC ③CD ：AD ＝AC ：AB ④AB 2＝BD ·BC其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有()A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个二、填空题（每题4分，共24分）11.已知，则=_________26y x y x :12.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的中点，则S △ADE ：S △ABC = ．第12题 第13题 第14题13.如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB =12m ，则旗杆AB 的高为 m ．14.如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件 ，使△ABC ∽△ACD ．（只填一个即可）15.如图，AC ⊥CD ，垂足为点C ，BD ⊥CD ，垂足为点D ，AB 与CD 交于点O ．若AC =1，BD =2，CD =4，则AB = ．16.△ABC 中，D 、E 分别是边AB 与AC 的中点，BC =4，下面四个结论：①DE =2；②△ADE ∽△ABC ；③△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1：4；④△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为 1：4；其中正确的有 ．（只填序号）三、简答题（共66分）17、（本题6分）已知a =3 cm ，b =6 cm ，求a ，b ，(a +b )的第四比例项.18、（本题8分）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D =90°，AB=DE =3，AC =2DF =4．判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？E F19、（本题8分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．20、（本题10分）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？21．（本题10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度.22、（本题12分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．23、（本题12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题题号12345678910答案C C D B B A B B D A二、填空题三、简答题17、解：设a 、b 、(a +b )的第四比例项为x ，则有，x ba b a +=∴，x 963=x =18.18、解：(1) 不相似．在中，，；∵Rt BAC △90A ∠=°34AB AC ==，在中，，，Rt EDF △90D ∠=°32DE DF ==，．．与不相似．12ABACDE DF ==∴，AB ACDE DF ≠∴Rt BAC ∴△Rt EDF △20、解：由题意得，∠BAD =∠BCE ，∵∠ABD =∠CBE =90°，∴△BAD ∽△BCE ，∴=，即=解得BD=13.6米．答：河宽BD是13.6米．21、（1）证明： A与C关于直线MN对称∴AC⊥MN∴∠COM=90°在矩形ABCD中，∠B=90°∴∠COM=∠B又 ∠ACB=∠ACB∴△COM∽△CBA（2） 在Rt△CBA中，AB=6，BC=8∴AC=10∴OC=5△COM∽△CBA∴OC OM=BC AB∴OM=15423、解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．∵CD⊥AB，∴S△ABC=BC•AC=AB•CD．∴CD===4.8．∴线段CD的长为4.8．（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．由题可知DP=t，CQ=t．则CP=4.8﹣t．∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°．∴∠CHP=∠ACB．∴△CHP∽△BCA．∴．∴．∴PH=﹣t．∴S△CPQ=CQ•PH=t（﹣t）=﹣t2+t．②存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．∵S△ABC=×6×8=24，且S△CPQ：S△ABC=9：100，∴（﹣t2+t）：24=9：100．整理得：5t2﹣24t+27=0．即（5t﹣9）（t﹣3）=0．解得：t=或t=3．∵0≤t≤4.8，∴当t=秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100．。
浙教版九年级上《第四章相似三角形》期末复习试题(有答案)
期末复习：浙教版九年级数学学上册第四章相似三角形一、单选题（共10题；共30分）1.若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：162.如图，在△ABC中，点D，E分AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A. 3B. 4C. 6D. 83.△ABC和△DEF相似，且相似比为，那么它们的周长比是（）A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ，下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ = ；④AB2=BD•BC ．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A. 1B. 2C. 3D. 45.若把△ABC的各边扩大到原的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（）A. △ABC∽△A′B′C′B. △ABC与△A′B′C′的相似比为14C. △ABC与△A′B′C′的对应角相等D. △ABC与△A′B′C′的相似比为136.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：167.如图,斜靠在墙上的梯子AB,梯脚B距墙面1．6米,梯上一点D距墙面1．4米,BD长0．55米,则梯子AB 的长为( )米A. 3．85B. 4．00C. 4．4D. 4．50．8.两个相似多边形的一组对分别是3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是，那么较大的多边形的面积是（）A. 44.8B. 42C. 52D. 549.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A. 10米B. 9.6米C. 6.4米D. 4.8米10.如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；③2OH+DH=BD；④BG=√2DG；⑤S△BEC：S△BGC＝√3+1。
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形 单元测试(含答案)
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．已知c 是a 和b 的比例中项，a =2，b =18，则c =（ ）A ．±6B ．6C ．4D ．±32．如图，DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是（）A ．AD DB =AEECB ．DE BC =AEEC C ．AB AD =AC AED ．DB EC =ABAC3．如果两个相似三角形的周长之比为5：7，那么这两个三角形的面积之比为（ ）A ．5：7B ．7：5C ．25：49D ．49：254．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AE =9，AC =6，BD =4，则BF 的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为15米（如图），然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC 为3米，则楼高为（ ）A ．10米B ．12米C ．15米D ．22.5米6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．7．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）．A．1：2B．1：3C．1：4D．1：58．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为5，则下列结论中正确的是（ ）A．m=5B．m=45C．m=35D．m=109．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，BDCD =73，则ADAC的值为（ ）A．12B．33C．13D．3210．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．如图，线段AC 、BD 交于点O ，请你添加一个条件： ，使△AOB ∽△COD ．12．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝ ．13．在某市建设规划图上，城区南北长为120cm ，该市城区南北实际长为36km ，则该规划图的比例尺是 ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图， EB 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 P 处与地面 BE 的距离为1.6米，车头 FACD 近似看成一个矩形，且满足 3FD =2FA ，若盲区 EB 的长度是6米，则车宽 FA 的长度为 米．16．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF=x，EF=y．（1）当BE⊥AC，x=9，y=3时，AD的长是 ；（2）当BD=BF，2x=7y时，△DEF与△ABD的面积之比是 ．三、解答题17．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，ADBD =32，求DEBC的值．18．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C.（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．19．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部设计为多高？（结果保留小数点后两位）参考数据：2=1.414，3=1.732，5=2.23620．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E是边BC上的一点（不与B、C重合），DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；S△ABE，求BE的长．（2）若S△DFA=1321．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC=3，AD=2，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）设EF=x(0<x<2)，矩形EFGH的周长为y，求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH为正方形时，求正方形EFGH的面积．22．如图，矩形ABCD中，点M在对角线BD上，过点A、B、M的圆与BC交于点E．（1）若AM=4，EB=EM=3，求BM．（2）若AB=6，BC=8，①求AM:ME．②若BM=7，求BE．23．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长交BC于点E，过点Q作QF//AC，交BD于点F，设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为S(c m2)，试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，当S五边形OECQF：S△ACD=9：16时.直接写出t的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】AB∥CD（答案不唯一）12．【答案】6．13．【答案】1:3000014．【答案】9415．【答案】12716．【答案】5；1417．【答案】3518．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA（2）解：设DC＝x，∵△ABD∽△CBA，∴ABBD=BCAB，∴63=2+x6，解得，x＝9；即CD＝719．【答案】1.24米．20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC=4，∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠B=∠DFA，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵△ABE∽△DFA，S△DFA=13S△ABE，∴(AEAD )2=S△ABES△DFA=3，∴AEAD=3或AEAD=−3（负数不符合题意，舍去），∴AE=3AD=43，∴BE=AE2−AB2=(43)2−62=12=23，∴BE的长为23．21．【答案】（1）解：设AD，EH交于点M，∵矩形EFGH，∴EH∥BC，AM⊥EH，∴△ABC∼△AEH，∴EHBC=AMAD∵EF=DM=x，AD=2∴AM=2−x∴EH3=2−x2∴EH=32(2−x)∴y=2(EH+EF)=2(3−32x+x)=−x+6(0<x<2)∴y关于x的函数解析式为∴y=−x+6(0<x<2)（2）解：当EFGH为正方形时，∴EF=EH，由（1）得：EF =x ，EH =32(2−x)，∵EF =EH ，∴x =3(2−x)2，∴x =65，即EF =65．正方形EFGH 的面积=65×65=3625.22．【答案】（1）245（2）①43，②17423．【答案】（1）解：在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，∴AC =10，①当AP =PO =t ，如图1，过P 作PM ⊥AO 于点M ，∴AM =12AO =52，∵∠PMA =∠ADC =90°，∠PAM =∠CAD ，∴△APM∽△ACD ，∴AP AC =AM AD，∴AP =t =258，②当AP =AO =t =5，∴当t 为258或5时，△AOP 是等腰三角形；（2）解：如图2，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，则OH =12CD =12AB =3cm ，由矩形的性质可知∠PDO =∠EBO ，DO =BO ，又得∠DOP =∠BOE ，∴△DOP≌BOE(ASA)，∴BE =PD =8−t ，则S △BOE =12BE ⋅OH =12×3(8−t)=12−32t.∵FQ//AC ，∴△DFQ∽△DOC ，相似比为DQ DC =t6，∴S △DFQ S △DOC =t 236，∵S △DOC =14S 矩形ABCD =14×6×8=12c m 2，∴S △DFQ =12×t 236=t 23，∴S 五边形OECQF =S △DBC −S △BOE −S △DFQ =12×6×8−(12−32t)−t 23=−13t 2+32t +12；∴S 与t 的函数关系式为S =−13t 2+32t +12；（3）t =3或32。
浙教版九年级数学上册第四章：相似三角形基本模型练习题(含答案)
相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，结论：AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DEAC AB BC== 图③双A 字型，结论：DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）IH G FED CB AGFEDC BAEDCB A ED C BA图① 图② 图③ 图④8字型图①8字型，结论：AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD==、四点共圆 图③双8字型，结论：AE DF BE CF=，图④A 8字型，结论：111AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ⋅=⋅△△△△EFD C BA F ED C BAOD C BAODC BAGFED CB A图① 图② 图③ 图④ 图⑤一线三等角型结论：出现两个相似三角形HE DC B AE DC BAEDCBAC60°F E DCB AFED CB A图① 图② 图③ 图④角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论：AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BDAC CD= 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =⋅，图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =⋅，2、2CD AD BD =⋅，3、2BC BD BA =⋅D C BD BCAEDB AD B A梅涅劳斯型常用辅助线G FEDCBAGFEDCBA G E DC B ADEFCBA四、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：如图：1212ABC ACDBC AHS BCS CD CD AH ⋅⋅==⋅⋅△△． 图1：“山字”型H DC B A如图：1212ABC BCDBC AHS AH AO S DG OD BC DG ⋅⋅===⋅⋅△△． 图2：“田字”型G HODCBA如图：ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB ADS S S AE AC AE AC⋅=⋅=⋅=⋅△△△△△△．图3：“燕尾”型CDEB A考点一：相似三角形【例1】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.EDCBA【答案】∵AD AC AE AB ⋅=⋅ ∴AD ABAE AC=∵DAE BAC ∠=∠∴DAE ∆∽BAC ∆∴ADE B ∠=∠ 【例2】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.ED CB A【答案】∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠ ∴ABD ∆∽CBE ∆∴BE BCBD AB=∵EBD CBA ∠=∠ ∴BED ∆∽BCA ∆∴11322DEDE AC AC===⇒== 【例3】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB =________．PCBA【解析】120APB BPC ∠=∠=︒，60BAP ABP ABC ABP CBP ∠=︒-∠=∠-∠=∠，故ABP BCP △∽△，2PB PA PC =⋅．【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A【答案】45︒ 【解析】连接DF 、CG ，则45EDF EBF DFB ∠=∠+∠=︒，若DFB EBG ∠=∠，则EBF EBG ∠+∠可求，问题的关键是证明BCG FDB △∽△．考点二：相似三角形与边的比例☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用A 字形与8字形【例5】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PE D CBA MPED C BA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴CM PC BD PB =， ∵CM AB ∥，∴CEM AED ∆∆∽， ∴CM AD CE AE =， ∵BD CE =， ∴CM CM CE BD =， ∴PC AD PB AE=， ∴AD BP AE CP ⋅=⋅【例6】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE= PEDCBA4321MPE D CBA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴BP BD CP CM =， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BD CP CE= 【例7】 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .求证：3EF DE =.F NMED CBAK HF N MG ED CBA【答案】过M ，N 分别作AC 的平行线交AB 于H ，G 两点，NH 交AM 于K ，∵BM MN NC ==， ∴BG GH HA ==，易知12HK GM =，12GM HN =，∴14HK HN =，即13HK KN =，又∵DF HN ∥， ∴13DE HK EF KN ==，即3EF DE =. 考点三：相似三角形与内接矩形☞考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。
浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案(精品)
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，正方形ABCD中，，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将沿EF翻折，得到，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则的周长是（）A. B. C. D.2、如图，已知l1∥l2∥l3， DE=4，DF=6，那么下列结论正确的是（）A.BC：EF=1：1B.BC：AB=1：2C.AD：CF=2：3D.BE：CF=2：33、如图，在△ABC中，E,G分别是AB，AC上的点，∠AEG=∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，若，则（）A. B. C. D.4、若非零实数x，y满足4y=3x，则x：y等于（）A.3：4B.4：3C.2：3D.3：25、一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A.第4张B.第5张C.第6张D.第7张6、如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）A.△PAB∽△PCAB.△ABC∽△DBAC.△PAB∽△PDAD.△ABC∽△DCA7、已知如图，DE∥BC，，则=（）A. B. C.2 D.38、如图，点A是反比例函数y= （x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB=2OA，连接AB，当点A在反比函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数图象y= 上移动，k的值为（）A.2B.﹣2C.4D.﹣49、如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点B的坐标为（-1，2），则点B1的坐标为（）A.（2，-4）B.（1，-4）C.（-1，4）D.（-4，2）10、把一个三角形变成和它相似的三角形，若面积扩大5倍，则边长扩大；若边长扩大5倍，则面积扩大。
浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 综合测试卷(原卷+答案)
第四章综合测试卷 相似三角形班级 学号 得分 姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1.己知 ab =25,则a +b b的值为( )A 25B 35C 75D 232.如图,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,则下列等式一定成立的是( )A.BC DF=12 B.∠A 的度数∠D 的度数=12C.△ABC的面积△def 的面积= 12 D. △ABC 的周长△def 的周长= 123.如图,在直角坐标系中,△OAB 的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O 为位似中心,在第三象限内作与△OAB 的位似比 13的位似图形△OCD,则点C 坐标为( )A. (-1,-1)B.(−43,−1)C.(−1,−43) D. (-2,-1)4. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出 △ABP 与△ECP 相似的是( )A.∠APB=∠EPCB. ∠APE=90°C. 点 P 是BC 的中点D. BP: BC=2:35.如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,连结AD,点E 在AC 边上,过点E 作EF∥BC,交 AD 于点F,过点E 作EG∥AB,交BC 于点G,则下列式子一定正确的是( ) A.AE EC=EF CDB.EF CD=EG ABC.AFFD=BG GCD.CG BC=AF AD6. 如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE(DE=BC=0.5m ，A ，B ，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点 G 处，测得CG=15m ，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得 EG=3m ，小明身高EF=1.6m,则凉亭的高度AB 约为( )A. 8.5mB. 9mC. 9.5mD. 10m7. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )A. ①处B. ②处C. ③处D. ④处8. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步，分别以点A ，D 为圆心，以大 12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M ，N第二步,连结MN 分别交AB,AC 于点E,F;第三步,连结DE,DF.若BD=6,AF=4,CD=3,则BE 的长是( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 如图,在△ABC 中,点 D 为BC 边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB,过点 D 作DE⊥AD,DE 交AC 于点E,若DE=1,则△ABC 的面积为( )A. 2B. 4C.25D. 810. 在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH 垂直平分 AC,点 H 为垂足.设AB=x ，AD=y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为( )二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图所示，点 E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交 CD 于点F ，连结BF.写出图中任意一对相似三角形： .12. 已知 a6=b5=c4,且a+b-2c=6,则a 的值为 .13. 如图,在平行四边形ABCD 中,AB=10,AD=6,点E 是AD 的中点,在AB 上取一点F,使△CBF∽△CDE,则 BF 的长是 .14. 如图，在一块斜边长为30cm 的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC=1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的面积为 .15.如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为16. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2).如果点C 在x 轴上，且点 C 与点O 及点A 不重合，当点 C 的坐标为 时，使得由点B ，O ，C 构成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个符合条件的点).三、解答题(本大题有8小题，共66分)17.(6分)如图,在△ABC中，DE‖BC,EF‖AB,求证：△ADEO△EFC.18. (6分)如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少?19.(6分)如图,点 P 是⊙O的直径AB 延长线上一点,且AB=4,点 M为A AB上一个动点(不与A，B重合)，射线 PM与⊙O交于点 N(不与M重合).(1)当M在什么位置时，△MAB的面积最大? 并求出这个最大值；(2)求证:△PAN∽△PMB.20. (8 分)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.21. (8分)如图,在△ABC中,点 D,E分别在边AB,AC上,且∠ABE=∠ACD,BE,CD交于点G,连结DE.(1)求证:△AEDO△ABC;(2)如果BE平分∠ABC,求证:DE=CE.22.(10分)如图,在 △ABC 中,点D,E,F 分别在AB,BC,AC 边上, DE‖AC,EF‖AB.(1)求证: △BDEO △EFC.(2)设AF FC=12,①若. BC =12,，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20,求△ABC 的面积.23.(10分)在矩形ABCD 中,AE⊥BD 于点E,点 P 是边AD 上一点.(1)若BP 平分∠ABD,交 AE 于点G,PF⊥BD 于点F,如图①,证明四边形 AGFP 是菱形;(2)如图②,若PE⊥EC,求证:AE·AB=DE·AP;(3)在(2)的条件下,若AB=1,BC=2,求AP 的长.24.(12分)如图,已知 △ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB,BC 匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是2cm/s,当点 Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动.设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1) 当 t =2时，判断 △BPQ 的形状，并说明理由；(2)设 △BPQ 的面积为 S (cm²),求S 与t 的函数表达式；(3)如图,作 QR//BA 交AC 于点R,连结PR,当t 为何值时,△APR∽△PRQ?第四章综合测试卷 相似三角形1. C2. D3. B4. C5. C6. A7. B8. D9. B 10. D 11. △ADF∽△ECF(答案不唯一)12. 12 13. 1.8 14. 100cm² 15.24516. (-1,0)或(1,0)或(-4,0)(答案不唯一)17. 证明:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵EF∥AB,∴△EFC∽△ABC,∴△ADE∽△EFC.18. 解：设这个正方形零件的边长为 xmm ，则△AEF 的边EF 上的高AK=(80-x) mm.∵四边形EF-HG是正方形,∴EF∥GH,即 EF∥BC.∴△AEF CABC.∴EF BC=AK AD,即 x 120=80−x 80⋅∴x =48.∴这个正方形零件的边长是48mm.19. (1)解:当点 M 在 AB 的中点处时，△MAB 的面积最大，此时( OM⟂AB,∵OM =12AB =12×4=2,∴S ABM =12AB ⋅OM =12×4×2=4. (2)证明:∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,∴△PAN∽△PMB.20. 解: ∵BD 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD =∠CBD,∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠D=∠CBD,∴BC=CD.∵BC=4,∴CD=4.∵AB∥ CD,∴ABECDE,∴AB CD=AE CE,∴84=AE CE,∴AE=2CE,∵AC=6=AE+CE,∴AE=4.21. 证明:(1)∵∠ABE=∠ACD,且∠A 是公共角, ∴ABEACD.∴AE AD=AB AC,即AEAB =ADAC ,又∵∠A 是公共角,∴△AED∽△ABC. (2)∵∠ABE=∠ACD,∠BGD=∠CGE,∴△BGD∽ CGE.:DG EG=BG CG,即DG BG=EG CG.又∵∠DGE=∠BGC,∴△DGE∽△BGC.∴∠GBC=∠GDE,∵BE 平分∠ABC,∴∠GBC=∠ABE,∵∠ABE=∠ACD,∴∠GDE=∠ACD.∴DE=CE.22. (1)证明:∵DE∥AC,∴∠BED=∠C.∵EF∥AB,∴∠B=∠FEC,∴△BDE∽△EFC.(2)解:①∵EF//AB,∴BE EC=AF FC=12.∵BC = 12,∴BE12−BE =12,∴BE =4.②∵EF∥AB,∴△EFC∽△BAC,∴S△BC= (EC BC)2⋅∴BE EC=12,∴EC BC=23.又∵△EFC 的面积是20, ∴20SABC=(23)2,∴SABC=45,即△ABC 的面积是45.23. (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,∵AE⊥BD,∴∠AED=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°,∠EAD+∠ADE=90°,∴∠BAE=∠ADE,∵BP 平分∠ABD,∴∠ABG=∠PBD.∵∠AGP=∠BAG+∠ABG,∠APB =∠ADE+∠PBD,∠ABG=∠PBD,∴∠AGP=∠APG,∴AP=AG,∵PA⊥AB,PF⊥BD,BP 平分∠ABD,∴PA=PF,∴PF=AG,∵AE⊥BD,PF⊥BD,∴PF∥AG,∴四边形AGFP 是平行四边形,∵PA=PF,∴四边形AGFP 是菱形.(2)证明:∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AED=∠PEC=90°,∴∠AEP=∠DEC,∵∠EAD+∠ADE=90°,∠ADE+∠CDE=90°,∴∠EAP=∠EDC,∴△AEP∽△DEC,∴DE·AP.(3)解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=√AB²+AD² =5,∵AE ⊥BD,∴S ABD =12⋅BD ⋅AE = 12⋅AB ⋅AD,∴AE =255,∴DE =AD 2−AE 2=455,∵AE ⋅AB =DE ⋅AP,∴ AP =255×1455=12.24. 解:(1)△BPQ 是等边三角形.当t=2时,AP=21 =2( cm),BQ=2×2=4( cm),∴BP=AB-AP=6-2=4( cm),∴BQ=BP,又∵∠B = 60°,∴△BPQ 是等边三角形.(2)如图,过点 Q 作QE⊥AB,垂足为 E,由 QB=2tcm,∠B=60°,∠BEQ=90°,得 QE =3tcm,由AP= tcm,得 PB =(6−t )cm,∴S =12BP ⋅QE = 12×(6−t )×3t =−32t 2+33t.(3)∵QR‖BA,∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°,∴△QRC是等边三角形,∴QR=RC=QC=(6-2t)cm⋅:BE=12BQ=12×2t=t(cm),∴EP=AB−AP−BE=6−t−t=6−2t(cm),∵EP‖QR,EP=QR,∴四边形 EPRQ是平行四边形,∴PR=EQ3tcm.又∵∠PEQ=90°,∴∠APR∠PRQ=90°,∴△APR∽△PRQ,∴∠QPR=∠A=60∘,QRPR=6−2t3t=3,解得t=65.∴当t=65时,△APR∽△PRQ.。
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【易错题解析】浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1•已知「夕，则?的值是（）3 4 y2. 如图1, A ABC和4GAF是两个全等的等腰直角三角形，图屮相似三角形（不包括全等）共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对3. 图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A.点PB.点OC.点MD.点N4. 在ZiABC 和△ DEF 屮，ZA=40°, ZD=60°, ZE=80°,字=器，那么ZB 的度数是（）AC FEA.40°B.60°C.80°D.100°5. 如图，锐角AABC的高CD和BE相交于点0,图中与△ ODB相似的三角形有（）6. 如图，在平行四边形ABCD中，AE： AD=2： 3,连接BE交AC于点F,若△ ABF和四边形CDEF的面积分别记为Si , S2 ,贝iJSi： S2% （）A. 2： 3B.4： 9C. 6： 11D. 6： 137. 如图，在AABC中，点D, E分别是AB, C的中点，则S AADE：S A ABC=（）A. 1： 2B. 1： 3C. 1： 4D. 1： 58. （2017*淄惮）如图，在RtA ABC 中，ZABC=90°, AB=6, BC=8, ZBAC, ZACB 的平分线相交于点E,过点E作EF〃BC交AC于点F,则EF的长为（）9.如图，点D是AABC的边AC的上一点，且ZABD=ZC；如果= |，那么譽=（）CD 3 D LF八…! f►•10.如图，RtA ABC 中，BC=2V3 ，ZACB=90°, ZA=30°, 6 是斜边 AB 的中点，过 6 作 DiEi 丄AC 于 Ei二、填空题（共10题；共30分）AB=4, CD=3, OD=2,那么线段OA 的长为22.如果两个相似三角形周长的比是2:3 ,那么它们面积的比是 ____________ •13. 如图，已知直线 I] || l 2 II $，分别交直线 m 、n 于点 A^ C^ D 、E 、F, AB = 5cm, AC=15cm, DE = 3cm,则EF 的长为 ________ cm.14. ________________________________________________________________________________ 已知AABCsADEF,相似比为3:5, A ABC 的周长为6,则△ DEF 的周长为 ___________________________________ .15. ________________________________________________________________________________________________ 已知△ ABC^ADEF, △ ABC 的周长为1, △ DEF 的周长为3,则厶ABC 与氐DEF 的面积之比为 _________________ .16. 若两个相似三角形的周长之比为2：3,较小三角形的面积为8crY?,则较大三角形面积是 ____________ cm 2 . 17. 如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线4C 于点F ,若AB = 4 f18. 如图，已知ZAOB=60。
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《相似三角形》习题
一．填空题
1．如图，ABC ∆∽MNP ∆，则它们的对应角分别是A ∠与∠_____，∠B 与∠_____，
C ∠与∠_____；对应边成比例的是________=_________=_________；若AB =2.7cm ，cm MN 9.0=，cm MP 1=，则相似比=_________，=BC _________cm .
B
A
G
F
E
D
C
B
A
N
P
M
C （第2题）
（第1题）
2．如图，四边形ABCD 中，AD ∥EF ∥BC ，AC 交EF 于G .图中能相似的三角形共有_______对，它们分别是_________、___________，小明通过这两对相似三角形推出了比例式：AB
BE
AD FG =，对不对，为什么？ 二．填空题
3．如图，ABC ∆和DEF ∆的三边长分别为7、2、6和12、4、14，且两三角形相似，则A ∠与∠_____，
∠B 与∠_____，C ∠与∠_____，)
()()(AC
DF AB ==
. （第5题）
（第4题）
（第3题）
C
G
F
E
D C
B
A
F
E
B
A
E
F
D
C
B A
4．如图，ABC ∆∽AEF ∆，写出三对对应角：_________=_________，_________=________，
________=_________，并且)
()
()()()(==AF ，若ABC ∆与AEF ∆的相似比是3：2，cm EF 8=，则________=BC .
5．如图，ABC ∆中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、G ，图中共有______对相似三角形，它们是______________________________________.
6．如图，平行四边形ABCD 中，，上的一点，
是4
3
=EC BE BC E ，于点交F BD AE =BF 的值。
及，求
DF DA
BE
cm 6 F
E D
C
B
A
三．选择题
1．下列命题中不正确的是( )
A ．如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似.
B ．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等.
C ．如果两个三角形与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似.
D ．如果两个三角形相似，那么这两个三角形全等.
2．给出下列四个命题，其中真命题有( )
(1)等腰三角形都是相似三角形 (2)直角三角形都是相似三角形 (3)等腰直角三角形都是相似三角形 (4)等边三角形都是相似三角形
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
四．综合题
如图，AD ∥AB BC ,、EF E E CD 作，过点相交于点∥，于点，交F AC AD 写出图中所有相似三角形，并说明理由.
F
E
D
C
B
A
初中数学试卷。