高考数学一轮总复习 47正弦定理和余弦定理课后强化作业 北师大版

高考数学一轮总复习 47正弦定理和余弦定理课后强
化作业北师大版
基础达标检测
一、选择题
1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()
A．北偏东10°B．北偏西10°
C．南偏东10°D．南偏西10°
[答案] B
[解析]由图可知∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°，
∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝1
2(180°－80°)＝50°.
∵CE∥BD，∠CBD＝∠BCE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD－∠CBA＝60°－50°＝10°，
∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()
A．5n mile B．53n mile
C．10n mile D．103n mile
[答案] C
[解析]依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA
＝10，在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是
5
0.5
＝10(n mile/h)．
3．如图所示，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(α<β)，则点A 离地面的高度AB 等于( )
A.a sin αsin βsin (β－α)
B.a sin αsin βcos (α－β)
C.a cos αcos βsin (β－α)
D.a cos αcos βcos (α－β)
[答案] A
[解析] 在△ADC 中，∠DAC ＝β－α，
由正弦定理，AC sin α＝a sin (β－α)，得AC ＝a sin α
sin (β－α).
在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin β＝a sin αsin β
sin (β－α)
.
4．已知A 、B 两地间的距离为10km ，B 、C 两地间的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地间的距离为( )
A ．10km B.3km C ．105km D ．107km [答案] D
[解析] 利用余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°＝102＋202－2×10×20×(－12
)
＝700，
∴AC ＝107(km)．
5．为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼顶D 处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是( )
A ．20⎝
⎛⎭
⎫
1＋
33m B ．20⎝
⎛⎭
⎫1＋
32m C ．20(1＋3)m D ．30m
[答案] A
[解析] 如图所示，四边形CBMD 为正方形，而CB ＝20(m)，所以BM ＝20(m)． 又在Rt △AMD 中， DM ＝20m ，∠ADM ＝30°， ∴AM ＝DM tan30°＝2033(m)，
∴AB ＝AM ＋MB ＝20
33＋20
＝20⎝
⎛⎭
⎫
1＋
33(m)． 6．(文)(2014·济南模拟)已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，AB 两船距离为3km ，则B 到C 的距离为( )
A.19km B ．(6－1)km C ．(6＋1)km D.7km
[答案] B
[解析] 由条件知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°， 设BC ＝x km ，则由余弦定理知9＝x 2＋4－4x cos120°，
∵x >0，∴x ＝6－1.
(理)一人向东走了x km 后转向南偏西60°走了3km ，结果他离出发点恰好3km ，则x 的值为( )
A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3
[答案] C
[解析] 如图所示，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得，
(3)2＝32＋x 2－2×3×x ×cos30°，
即x 2－33x ＋6＝0，解得x 1＝3，x 2＝2 3.经检验均合题意． 二、填空题
7．海上有A 、B 两个小岛相距10n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 的距离是________．
[答案] 56n mile
[解析] 在△ABC 中由正弦定理得10sin45°＝BC sin60°，
∴BC ＝5 6.
8．我舰在岛A 南50°西12n mile 的B 处，发现敌舰正从岛沿北10°西的方向以每小时10n mile 的速度航行，若我舰要用2h 追上敌舰，
则速度为________．
[答案]14n mile/h
[解析]设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在△ABC中，AC＝20，AB＝12，∠BAC ＝120°.
∴BC2＝784，∴v＝14n mile/h.
9．(2014·潍坊模拟)如图，一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是________n mile/h.
[答案]32
[解析]设航速长v n mile/h
在△ABS中，AB＝1
v，BS＝82，∠BSA＝45°，
2
由正弦定理得：82
sin30°＝12v sin45°，∴v ＝32.
三、解答题
10．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .
现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35
.
(1)求索道AB 的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ [解析] (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝3
5，
所以sin A ＝513，sin C ＝4
5.
从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )] ＝sin(A ＋C )
＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝63
65
. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝12606365×4
5
＝1040(m)．
所以索道AB 的长为1040m.
(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，
所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×12
13＝200(37t 2－70t
＋50)，
因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝35
37
(min)时，甲、乙两游客距离最短．
能力强化训练
一、选择题
1．据新化社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )
A.206
3米
B ．106米 C.1063米
D ．202米
[答案] A
[解析] 如图所示，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.
由正弦定理知，AO sin45°＝20sin60°，
∴AO ＝206
3
(米)．
2．(2014·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km ，速度为1 000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)( )
A．11.4 B．6.6 C．6.5 D．5.6 [答案] B
[解析]AB＝1 000×1 000×1
60
＝50 000
3(m)，
∴BC＝AB
sin45°·sin30°＝50 000
32
(m)．
∴航线离山顶h＝50 000
32
×sin75°≈11.4(km)．
∴山高为18－11.4＝6.6(km)．
二、填空题
3．在直径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________m.
[答案]5 3
[解析]轴截面如图，则光源高度h＝15
tan60°
＝53(m)．4.
海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距10n mile 的C 处，现甲船以30n mile/h 的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向20n mile 的B 处的乙船，甲船需要________h 到达B 处．
[答案]
7
3
[解析] 由题意，对于CB 的长度，由余弦定理，得 CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos120° ＝100＋400＋200＝700. ∴CB ＝107(n mile)，
∴甲船所需时间为10730＝73(h)．
三、解答题
5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50s ，升旗手应以多少m/s 的速度匀速升旗？
[解析] 在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°，CD ＝106(m)， 由正弦定理，得BC ＝CD sin45°sin30°＝203(m)；
在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin60°＝203×3
2
＝30(m)． 所以升旗速度v ＝AB t ＝30
50＝0.6(m/s)．
答：升旗手应以0.6m/s 的速度匀速升旗．
6．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，求电视塔的高度．
[解析] 如图，设电视塔AB 的高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°得BC ＝x .
在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°， ∴BC ＝3x .
在△BDC 中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD
·cos120°，
即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，
解得x＝40，∴电视塔高为40米．
11。